ГИДРАВЛИКА
Задание к РГР
Белгород 2008
Номера задач
| Предпоследняя цифра шифра | Последняя цифра шифра | |||||||||
| 9,14,25 | 8,16,23 | 10,15,22 | 1,17,26 | 2,19,28 | 7,18,29 | 6,11,30 | 5,20,21 | 4,13,27 | 3,12,24 | |
| 4,17,28 | 5,19,22 | 6,18,29 | 7,11,30 | 8,20,25 | 9,12,21 | 1,13,24 | 3,15,26 | 2,16,30 | 4,19,27 | |
| 3,15,29 | 4,17,28 | 5,20,26 | 6,18,24 | 9,12,21 | 8,11,23 | 9,14,27 | 7,16,29 | 10,12,22 | 1,13,25 | |
| 6,11,30 | 3,12,22 | 9,17,24 | 5,20,28 | 4,18,23 | 1,19,25 | 7,16,23 | 2,14,27 | 5,15,26 | 10,11,29 | |
| 8,12,25 | 7,11,26 | 8,13,21 | 9,14,23 | 10,20,24 | 2,15,28 | 1,19,29 | 4,18,22 | 3,17,25 | 5,16,30 | |
| 1,20,27 | 9,13,25 | 7,12,28 | 3,16,22 | 5,14,30 | 10,18,26 | 2,15,21 | 8,11,23 | 7,19,29 | 6,17,22 | |
| 5,16,26 | 1,15,24 | 4,11,30 | 2,13,25 | 6,17,22 | 3,14,27 | 8,12,28 | 9,19,30 | 1,18,21 | 7,20,23 | |
| 2,13,21 | 10,14,27 | 1,16,23 | 4,12,29 | 3,11,26 | 5,17,22 | 10,18,25 | 6,13,24 | 8,20,28 | 9,15,21 | |
| 10,18,22 | 2,20,21 | 3,14,25 | 8,15,27 | 1,13,29 | 4,16,24 | 5,17,26 | 10,12,28 | 6,11,23 | 2,18,26 | |
| 7,19,23 | 6,18,29 | 2,20,27 | 10,11,21 | 7,15,25 | 6,13,30 | 3,20,22 | 1,17,25 | 9,14,24 | 8,13,28 |
ВВЕДЕНИЕ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Гидравлика (или техническая механика жидкостей) - наука о законах равновесия и движения жидкостей, о способах применения этих законов к решению практических задач.
Жидкостью называют вещество, находящееся в таком агрегатном состоянии, которое сочетает в себе черты твердого состояния (весьма малая сжимаемость) и газообразного (текучесть). Законы равновесия и движения капельных жидкостей в известных пределах можно применять и к газам.
На жидкость могут действовать силы, распределенные по ее массе (объему), называемые массовыми, и по поверхности, называемые поверхностными. К первым относятся силы тяжести и инерции, ко вторым - силы давления и трения.
Давлением называется отношение силы, нормальной к поверхности, к площади. При равномерном распределении
 .
|
Касательным напряжением называется отношение силы трения, касательной к поверхности, к площади:
 .
|
Если давление р отсчитывают от абсолютного нуля, то его называют абсолютным (рабс), а если от условного нуля (т.е. сравнивают с атмосферным давлением ра), то избыточным (ризб):
| рабс = ризб + рa. |
Если pвак < ра, то имеется вакуум, величина которого
| рвак = ра - рaбс. |
Основная физическая характеристика жидкости - плотность ρ (кг/м3) - определяется для однородной жидкости отношением ее массы т к объему W:
 .
|
Плотность пресной воды при температуре Т = 4°С ρ = 1000 кг/м3.
Важнейшие физические параметры жидкостей, используются в гидравлических расчетах: сжимаемость, температурное расширение, вязкость, испаряемость.
Сжимаемость жидкостей характеризуется модулем объемной упругости К, входящим в обобщенный закон Гука
 .
|
где ΔW - приращение (в данном случае уменьшение) объема жидкости W, обусловленное увеличением давления на Δр.
Например, для воды Квод ≈ 2∙103 МПа.
Температурное расширение определяется соответствующим коэффициентом, равным относительному изменению объема, при изменении температуры на 1°С:
 .
|
Вязкость - способность жидкости сопротивляться сдвигу. Различают динамическую (μ) и кинематическую (ν) вязкости. Первая входит в закон жидкостного трения Ньютона, выражающий касательное напряжение τ через поперечный градиент скорости dV/dy.
 .
|
Кинематическая вязкость связана с динамической соотношением
 .
|
Единицей кинематической вязкости является м2/с.
Испаряемость жидкостей характеризуется давлением насыщенных паров в функции температуры.
Давлением насыщенных паров можно считать то абсолютное давление, при котором жидкость закипает при данной температуре. Следовательно, минимальное абсолютное давление, при котором вещество находится в жидком состоянии, равно давлению насыщенных паров рн.
Глава 1
ГИДРОСТАТИКА
Давление в неподвижной жидкости называется гидростатическим и обладает следующими двумя свойствами:
1. на внешней поверхности жидкости оно всегда направлено по нормали внутрь объема жидкости;
2. в любой точке внутри жидкости оно по всем направлениям одинаково, т.е. не зависит от угла наклона площадки, по которой действует
Уравнение, выражающее гидростатическое давление р в любой точке неподвижной жидкости в том случае, когда из числа массовых сил на нее действует лишь одна сила тяжести, называется основным уравнением гидростатики
 ,
| (1) |
где р0 - давление на какой-либо поверхности уровня жидкости, например на свободной поверхности;
ρ - плотность жидкости;
g - ускорение свободного падения;
h - глубина расположения рассматриваемой точки, отсчитанная от поверхности с давлением р0.
В тех случаях, когда рассматриваемая точка расположена выше поверхности с давлением р0, второе слагаемое в формуле (1) отрицательно. Другая форма записи того же уравнения (1) имеет вид:
 ,
| (2) |
где z и z0 - вертикальные координаты произвольной точки и свободной поверхности, соответственно отсчитываемые от горизонтальной поверхности вверх;
- пьезометрическая высота.
Сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению гидростатического давления рс в центре тяжести площади стенки на площадь стенки S, т.е.
 .
| (3) |
Центр давления (точка приложения силы Д) расположен ниже центра тяжести площади или совпадает с последним в случае горизонтальной стенки.
Расстояние между центром тяжести площади и центром давления в направлении нормали к линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости равно
 .
| (4) |
где I0 - момент инерции площади стенки относительно оси, проходящей через ее центр тяжести и параллельной линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости;
ус - координата центра тяжести площади.
Сила давления жидкости на криволинейную стенку, имеющую вертикальную ось симметрии, определяется как векторная сумма горизонтальной Fr и вертикальной Fв составляющих:
 .
| (5) |
Горизонтальная составляющая Fr равна силе давления жидкости на площадь Sв вертикальной проекции данной стенки:
 .
| (6) |
Вертикальная составляющая Fв равна весу жидкости в объеме W, заключенным между данной стенкой, свободной поверхностью жидкости и вертикальной проецирующей поверхностью, проведенной по контуру стенки. Если избыточное давление р0 на свободной поверхности жидкости отлично от нуля, то при расчете следует эту поверхность мысленно поднять (или опустить) на высоту (пьезометрическую высоту) 
.
Указания к решению задач
При решении задач по гидростатике нужно усвоить и не смешивать такие понятия, как давление р и сила F. При решении задач на определение давления в той или иной точке неподвижной жидкости следует пользоваться основным уравнением гидростатики (1). Второй член в правой части этого уравнения может быть как положительным, так и отрицательным. Очевидно, что при увеличении глубины давление возрастает, а при подъеме - уменьшается.
Необходимо твердо различать давления абсолютное, избыточное и вакуум и знать связь между давлением, удельным весом и высотой, соответствующей этому давлению (пьезометрической высотой).
При решении задач, в которых даны поршни или системы поршней, следует писать уравнение равновесия, т.е. равенство нулю суммы всех сил, действующих на поршень (систему поршней).
Примеры решения задач
Пример 1. Определить давление газа в сосуде А по показанию двухжидкостного U-образного манометра, заполненного жидкостями с плотностями ρ1, и ρ2.
Решение
Выбираем поверхность уровня, т.е. поверхность с одинаковым давлением во всех её точках, на уровне 0-0 и рассматриваем давление на этом уровне в левой и правой трубках U-образного манометра.
Давление в левой трубке на уровне 0-0 согласно уравнению (1)
,
давление в правой трубке
,
где ра - атмосферное давление.
Общее уравнение
откуда
| (7) |
Этот результат можно получить и другим методом, двигаясь последовательно от одной поверхности уровня к другой и соблюдая правило:
опускаемся вниз от выбранного уровня - давление растет, поднимаемся вверх - давление падает, что соответствует знаку «минус» перед вторым слагаемым формулы (1).
Попробуем для примера двигаться по трубкам манометра слева направо.
На свободной поверхности жидкости с плотностью ρ1 давление газа рГ, на уровне 0-0 давление согласно (1) будет равно сумме
.
Поднимаясь от уровня 0-0 к свободной поверхности жидкости с плотностью ρ2, будем иметь на свободной поверхности давление
Выразив отсюда значение рГ, получим формулу (7).
Если в формулу (7) подставить значение атмосферного давления ра, то получим абсолютное давление газа, т.е. значение рГ в абсолютной системе измерения. Если же не учитывать атмосферное давление, приняв ра=0, получим избыточное давление газа.
| (8) |
При следующих значениях величин, входящих в формулу (8):
h1 = 80 см; h2 = 40 см;
ρ1 = 800 кг/м3; ρ2 = 13,6 103 кг/м3,
величина избыточного давления газа равна: рГ = 47088 Па ≈ 47,1 кПа.
Пример 2. Квадратное отверстие со стороной а в стенке бака закрыто плоской заслонкой, которая может поворачиваться вокруг оси шарнира О. Размеры заслонки соответствуют размерам отверстия в стенке. Определить силу F, которую необходимо приложить к верхнему краю заслонки, чтобы удерживать её в закрытом состоянии при заполнении бака водой.
Решение
Согласно формуле (3), сила давления воды на заслонку будет равна:
,
поскольку учитывается только та площадь заслонки, которая контактирует с жидкостью.
Очевидно, что центр тяжести этой площади будет расположен на глубине а/4 от свободной поверхности воды. Тогда
,
при этом обязательно следует учитывать, что заслонка разгружена от атмосферного давления и давление рс всегда измеряется в избыточной системе, т.е.
Тогда
| (9) |
Однако для определения силы F следует составить уравнение моментов относительно оси шарнира О, а для этого надо знать точку приложения силы Fж. Можно воспользоваться формулой (4) и определить величину Δ, на которую вниз от центра тяжести рассматриваемой площади смещена точка приложения силы Fж. Но для прямоугольной заслонки удобно использовать эпюру избыточного давления. Согласно основному закону гидростатики, она для рассматриваемой задачи имеет форму треугольника. Известно, что равнодействующая в этом случае приложена на 1/3 от основания, т.е. на расстоянии а/6 от оси шарнира. Тогда уравнение моментов будет иметь вид:
.
Выразив отсюда F с учетом формулы (9), получим
.
Для конкретных значений: а = 1 м и ρ = 1000 кг/м3, получим: F ≈ 204 Н.
Пример 3. Определить давление жидкости в полости А гидроцилиндра рА, (см. рис. 3), при котором поршень гидроцилиндра, нагруженный силой предварительного поджатия пружины FП и силой на штоке F, будет находиться в покое.
Решение
Решение задач подобного типа всегда надо начинать с составления уравнения сил, приложенных к некоторому подвижному телу, в данном случае к поршню. Приняв за положительное направление действия сил слева направо, условию равновесия поршня соответствует уравнение:
| (10) |
где Fж - сила давления жидкости на поршень в полости А.
При определении силы Fж для реальных размеров гидроцилиндров, применяемых в машиностроении, можно не учитывать изменение давления от верхней до нижней точек поршня и считать, что давление всегда распределяется по всей площади равномерно и, следовательно, центр тяжести совпадает с точкой приложения силы. Тогда:
 .
| (11) |
Решая совместно уравнения (10) и (11), получим:
 .
| (12) |
Подставим в (12) конкретные значения: FП = 300 Н; F = 1800 Н; D = 100 мм; d = 40 мм, получим: рА ≈ 0,323 МПа.
Глава 2