§4 Критерии проверки и оценка решений заданий 16 (18 в 2015 г., С4 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ–2016
В планиметрических заданиях заметное структурное и содержательное изменение произошло в 2014 году. В пункте а теперь нужно доказать геометрический факт, в пункте б – найти (вычислить) геометрическую величину.
С точки зрения разработчиков включение проверяемого элемента на доказательство в задание 16 должно повысить уровень подготовки школьников. Кроме того, такое доказательство является естественным продолжением практики использования заданий на доказательство в экзамене за курс основной школы. По фактическим данным выполнения задание 16 является границей, разделяющий высокий и повышенный уровень подготовки участников ЕГЭ.
В 2016 году изменений в структуре и тематическом содержании этих заданий нет. С учетом опыта проведения ЕГЭ–2015 небольшая корректировка проведена лишь в критериях выставления 1 и 2 баллов.
| Содержание критерия, задание №16 (=18), 2016 г. | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
Задача 1
Точка 
лежит на отрезке 
. Прямая, проходящая через точку 
, касается окружности с диаметром 
в точке 
и второй раз пересекает окружность
с диаметром 
в точке 
. Продолжение отрезка 
пересекает окружность с диаметром в точке 
.
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника 
, если 
и 
.
Решение.
|
а) Точки и лежат на окружностях с диаметрами и соответственно, поэтому
.
Прямые и перпендикулярны одной и той же прямой 
, следовательно, прямые и параллельны.
б) Пусть 
— центр окружности с диаметром . Тогда прямые 
и 
перпендикулярны. Учитывая, что прямые 
и перпендикулярны, получаем, что прямые и параллельны. Обозначим через 
. Треугольник 
подобен треугольнику 
с коэффициентом 5, поэтому 
.
Опустим перпендикуляр 
из точки на прямую . Так как четырёхугольник 
— прямоугольник,
, 
.
По теореме Пифагора 
, откуда 
. Получаем, что 
.
Поскольку прямые и параллельны,
.
Значит, треугольники и 
равновелики. Следовательно,
.
Ответ: б) 30.
Задача 2.
Дан прямоугольный треугольник 
с прямым углом 
. На катете взята точка . Окружность с центром и диаметром 
касается гипотенузы в точке 
.
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника 
, если 
и 
.
Решение.
|
а) Поскольку прямые и перпендикулярны, прямая — касательная к окружности. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, прямая перпендикулярна прямой 
. Точка лежит
на окружности с диаметром , поэтому 
. Прямые и перпендикулярны одной и той же прямой , следовательно, они параллельны.
б) Пусть 
, 
. Тогда 
, 
, 
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому — биссектриса треугольника . По свойству биссектрисы
.
Пусть 
, 
. Тогда по теореме Пифагора
.
Поэтому 
. Следовательно, 
.
Пусть отрезки и пересекаются в точке 
. Тогда — середина , а 
— средняя линия треугольника 
. Поскольку 
, прямоугольные треугольники и 
подобны, откуда
; 
.
Из прямоугольного треугольника 
находим:
; 
.
По формуле площади трапеции 
.
Ответ: б) 7.
Как и во всякой сложной геометрической задаче, весьма деликатным является вопрос о степени и характере обоснованности построений и утверждений. Позиция разработчиков КИМ состоит в том, что при решении задания №16 (=18=С4) невозможно от выпускников школ на экзамене требовать изложения, приближающегося к стилю учебников и методических статей. Достаточным является наличие ясного понимания геометрических конфигураций искомых объектов, верного описания (предъявления) этих конфигураций и грамотно проведённых рассуждений и вычислений. Обратим также внимание на то, что часто при решении геометрических задач школьники ссылаются на весьма невразумительный чертёж, а иногда чертёж вообще отсутствует (если рисунок сделан на бланке карандашом, то эта область не сканируется). Снижать оценку только за это не рекомендуется.