Оценка эксперта: 1 балл.

§7. Критерии проверки и оценка решений заданий 19 (21 в 2015 г., С6 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ-2016

Содержательно задание №19 (бывшее 21 и С6) проверяет в первую очередь не уровень математической (школьной) образованности, а уровень математической культуры. Вопрос формирования соответствующей культуры – вещь деликатная и, в целом, формируемая на протяжении нескольких лет.

В то же время, изменения в формате ЕГЭ связаны, в частности, с тем, что это задание по своему тематическому содержанию стало элементарнее, а для его решения, формально, достаточно простейших сведений. По этой причине, например, в ЕГЭ–2015 даже в весьма средней группе с первичным баллом от 11 до 14 положительные баллы за выполнение задания №21 получили 7,2% участников, т.е. оно перестало отпугивать выпускников.

В связи этим хотелось бы подчеркнуть, что никаких фактов из теории чисел типа теоремы Вильсона, чисел Мерсенна, малой теоремы Ферма, теории сравнений и т.п. для решения этих заданий не требуется. Тот, кто эти факты знает, разумеется, может их использовать, но, подчёркиваем, при решении всегда можно обойтись и без них.

Условия задания №19, как и прежних заданий С6, разбиты на пункты. По существу, задача разбита на ряд подзадач (частных случаев), последовательно решая которые можно в итоге справится с ситуацией в целом. Как правило, решение п. а весьма несложно и использует умение сконструировать некоторый конкретный пример. В соответствии с таким делением условий, критерии, начиная с 2011 года стали более формализованными. Их текст практически никак не использует тематическую или содержательную фабулу конкретной задачи. Такие изменения были предприняты для большей согласованности и унификации выставляемых экспертами оценок.

Ниже процитированы три задачи из материалов ЕГЭ 2014 и 2015 гг., их решения, ответы и критерии проверки, действовавшие на соответствующий год проведения экзамена. Интересно отметить, что в самой ранней задаче 3 еще не было деления на пункты. В задаче 1 в скобках приведены также числовые параметры версии этой же задачи из другого варианта. Далее в Части 1 приведены 6 примеров решений этих задач на ЕГЭ вместе с комментариями по оценке и самими оценками. Подчеркнём, что каждая задача оценивалась по критериям соответствующего года проведения ЕГЭ. В Части 2 также приведены примеры решений этих же задач, но оценки верности этих решений следует проверить самостоятельно. В Части 3 для проведения зачёта выбраны только решения задач 2 и 3 (ЕГЭ-2015) или ихверсий.

Задача 1.

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 (от 1 до 15) включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются

наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ? ()?

б) Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ? ()?

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Решение.

Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через , а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе оценивания, через .

а) Заметим, что , , где и — некоторые натуральные числа. Значит, . Если , то , что невозможно. Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, не может равняться .

б) Например, для оценок экспертов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равна

.

в) Пусть — наименьшая из оценок, — наибольшая, а — сумма остальных пяти оценок. Тогда

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 разность равна . Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равно . Ответ: а) нет (нет); б) да (да); в) .

Задача 2.

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого
в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Решение.

а) Произведение цифр числа 2529 равно 180, а сумма цифр равна 18, то есть
в 10 раз меньше.

б) Предположим, что такое число существует и , , , — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе
их произведение было бы равно нулю. Имеем: . Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Так как при перестановке местами цифр числа равенство остаётся верным, то без ограничения общности можно считать, что в числе цифры и равны 5. Тогда . Получаем противоречие.

в) Предположим, что такое число существует и , , , — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: . Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Без ограничения общности будем считать, что . Тогда . Так как правая часть последнего равенства делится на 2, то либо , либо делится на 2. Будем считать, что на 2 делится .

Если , то , что невозможно.

Если , то ; , что невозможно.

Если , то ; ; . Число и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи.

Если , то ; ; . Этот вариант также получается
из предыдущего перестановкой цифр.

Ответ: а) например, 2529; б) нет; в) Число 8655 и все числа, получаемые
из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

Задача 3.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы
в каждой группе было хотя бы одночисло. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы
из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

Решение.

а) Например, для групп и средние значения равны 7.

б) Допустим, что это возможно. Пусть все средние значения равны .
В каждой группе от 1 до 8 натуральных чисел, поэтому , где — натуральное число и . С другой стороны, пусть группы состоят из , и чисел. Тогда суммы чисел в группах равны , и соответственно, а общая сумма всех 10 чисел равна 61 и равна . Поэтому ; . Это противоречит тому, что знаменатель числа не превосходит 8.

в) Пусть группы состоят из , и чисел, а средние значения равны , и соответственно. Если , , , то

,

что противоречит условию. Значит, хотя бы одно из чисел , ,
не меньше 6,1. Поэтому максимальное из этих чисел не меньше 6,1. При этом каждое из этих чисел имеет вид , где — натуральное число
и , поэтому максимальное из этих чисел не меньше .

Покажем, что максимальное из этих чисел не может равняться .
Пусть . Тогда первая группа состоит из 8 чисел, сумма которых
равна . Значит, каждая из других двух групп состоит из одного числа, причём сумма двух чисел из второй и третьей групп равна 12.
Но тогда одно из этих чисел больше 6, поэтому максимальное среднее не меньше 7. Получаем, что максимальное из чисел , , не меньше .

Покажем, что максимальное из чисел , , может равняться . Это так для групп , , : , .

Ответ: а) да; б) нет; в) .