Взаимосвязные электромеханические системы

В соответствии с задачами и общим алгоритмом синтеза элект­ромеханических подсистем можно раздельно сформулировать и за­дачи синтеза электромагнитных и механических подсистем.

Задача синтеза электромагнитной подсистемы формулируется из условия получения минимумов динамических ошибок воспроиз­ведения управляющих воздействий. Синтез электромагнитных под­систем из этого условия чаще всего может быть сведен к синтезу уп­равляемого полупроводникового преобразователя с заданной поло­сой пропускания управляющих воздействий, так как именно огра­ничения по этой полосе частот и являются препятствием в реализа­ции контуров управления с заданными полосами частот, обеспечи­вающими воспроизведение спектра управляющих воздействий прак­тически без искажений.

Задача синтеза упругих многомассовых механических под­систем формулируется из условия получения заданных динами­ческих подсистем в существенных для систем управления движе­ниями полосах частот.

Задача синтеза ВМП формулируется по результатам синтеза электромеханической системы управления из условия получения за­данной полосы пропускания системы и соответственно минималь­ных частот упругих колебаний ВМП.

Для исходной конструкции механизма решается задача опре­деления структуры механической модели ВМП и инерционно - жесткостных и демпфирующих параметров, обеспечивающих малую ин­тенсивность упругих колебаний механизма в заданных полосах ча­стот. В соответствии с этим выполняется уточнение конструктив­ных параметров механизма.

В общем случае необходимо так выбрать параметры ВМП, чтобы спектр матрицы G находился в заданном соотношении с полосой пропускания системы управления, а относительные ам­плитуды колебаний принимали заданные значения. При синтезе ВМП в составе системы управления достаточно ограничиться ниж­ней частью спектра и рассматривать два-три минимальных зна­чения , наиболее влияющих на динамику системы управления. Полагая, что, кроме колебательных движений элементов ВМП, она может совершать движение как единое целое и, следователь­но, и минимальным значением, характеризующим колеба­тельные движения ВМП, будет . Тогда задача синтеза ВМП бу­дет сводиться к синтезу значений инерционно-жесткостных па­раметров, при которых:

; ; ;

; ,

где , - коэффициенты соотношения собственных значений мат­рицы G; ^- заданное собственное значение, устанавливаемое по минимально допустимой для системы управления частоте упру­гих колебаний ; , заданные пределы из­менения коэффициентов.

Значения коэффициентов и могут быть выбраны исходя из двух следующих условий. Первое условие: необходимость исклю­чения биений в ВМП, возникающих при близких значениях мини­мальных частот свободных колебаний. Спектр матрицыG для это­го случая рассматривается не соприкасающимся с полосой пропус­кания системы управления. Второе условие: необходимость обеспе­чения при соприкасающихся спектрах по соотношений ; ; , которых возможна компенсация упругих ко­лебаний на частоте средствами управления.

Задача синтеза ВМП по условию (13.25) может быть расши­рена так, что, кроме синтеза заданных значений , выполняет­ся синтез и значений относительных амплитуд свободных коле­баний. В частности, условие

, (13.26)

где - относительная амплитуда свободных колебаний j -го эле­мента ВМП на r-й частоте, приводит к частичному сокращению ну­лей и полюсов передаточных функций и улучшает динамические свойства ВМП.

В теории машиностроения рассматриваются задачи анализа и синтеза механизмов, в соответствии с которыми на стадии проекти­рования находятся сочетания инерционно - жесткостных параметров, обеспечивающих работу механизма вне диапазона резонансных ко­лебаний. Распространенной задачей синтеза механизмов является задача разделения резонансных частот механизма от частот, действу­ющих на него возмущений. Для этой цели на основе варьирования коэффициентов матриц М и С уравнения (13.14) выполняют син­тез механизма преимущественно поисковыми методами в различных их модификациях с привлечением методов планирования экспери­мента и дисперсионного анализа собственных частот колебаний по всем варьируемым коэффициентам. При этом приходится проводить большой объем исследований для того, чтобы получить достоверную информацию о синтезируемых параметрах из дисперсионного ана­лиза. Если кроме собственных частот колебаний рассматривать так­же и относительные амплитуды колебаний, то решение задачи син­теза значительно усложняется.

В связи с вышеизложенным становится актуальной разработ­ка методов, обеспечивающих возможность прямого решения зада­чи синтеза и поиск форм математического описания ВМП, при ко­торых прямо определяются связи значений собственных частот и относительных амплитуд свободных колебаний с коэффициентами дифференциальных уравнений.

В постановке задачи, рассмотренной выше, удобен метод син­теза ВМП, который основан на переходе от дифференциальных урав­нений (13.14) в обобщенных координатах к дифференциальным уравнениям в главных координатах:

, (13.27)

где - вектор главных координат, , причем - матрица относительных амплитуд колебаний; - ди­агональные и матрицы приведенных коэффициентов инерции и коэффициентов жесткости.

Такой подход, по существу, является декомпозицией на уров­не математической модели ВМП, так как каждая главная коорди­ната совершает только моногармоническое колебательное движение, описываемое уравнением:

,

где - амплитуда колебаний j-и главной координаты.

Поскольку матрицы М* и С* являются диагональными, то соб­ственные значения матрицы находятся по формуле .

Элементы диагональных матриц определяются:

; (13.28)

(13.29)

Кроме того, параметры ВМП связаны условием ортогональнос­ти главных координат, которые записываются в виде:

; (13.30)

. (13.31)

На основании (13.28) - (13.31) можно составить математичес­кое описание ВМП для решения задачи синтеза по условиям (13.25) и (13.26). Это удобно сделать в форме нормированных урав­нений, приняв за базовые значения коэффициентов значения и . Перейдя к относительным коэффициентам и выполнив пре­образования, получим:

(13.32)

, (13.33)

где - малая, отличная от нуля, величина, определяющая грани­цу в значении при его устремлении к нулю и обуславливающая значимость системы уравнений по .

Решение системы нелинейных уравнений (13.32), удовлетворя­ющих неравенствам (13.33), возможно методами нелинейного про­граммирования с ограничениями, ориентированными на примене­ние ЭВМ. Обозначив квадрат левой части s-го уравнения системы (13.32) как и воспользовавшись методом штрафных фун­кции, для решения задачи нелинейного программирования с огра­ничениями запишем целевую функцию в виде

, (13.34)

где - функция штрафа по g - ум варьируемому параметру, вво­димая как функция ограничений; h — число варьируемых пара­метров.

Для каждого варьируемого параметра , представляющего со­бой коэффициент инерции или жесткости и имеющего ограничения в виде неравенств , функция штрафа может быть образо­вана из условия:

;

,

где - значение варьируемого параметра на k -м шаге вариации; - среднее значение варьируе­мого параметра, - весовой коэффициент.

Начальный вектор варьируемых параметров определяет­ся по данным ВМП, соответствующим исходной конструкции меха­низма. Алгоритм синтеза основан на итерационной процедуре мак­симизации значения в рамках условия (13.25). На каждом шаге итерации осуществляется минимизация целевой функции . При этом могут возникнуть ситуации, при которых условие (13.25) не удовлетворяется из-за малых границ варьируемых параметров. Тог­да условие (13.25) фактически сводится к условию:

; ;

В противном случае может быть выполнен синтез для с расширением границ варьируемых параметров. При этом алгоритм синтеза ВМП основывается на итерационных процедурах максими­зации вплоть до значения оценкой чувствительности и на последовательном расширении границ параметров, по которым оценки чувствительности являются максимальными.

Изложенный метод синтеза эффективно используется в задачах синтеза многомассовых механических подсистем, входящих в со­став электромеханических систем управления. При его использова­нии предельно ясно определяются все взаимосвязи переменных, и со­храняется физическая интерпретация промежуточных и конечных результатов синтеза. Трудности применения метода могут возник­нуть при большой размерности ВМП из-за роста числа нелинейных уравнений. Обойти эти трудности можно путем упрощения сложной ВМП. Для этого можно воспользоваться известными методиками или, используя описание ВМП в главных координатах (как и в зада­че синтеза), осуществить его упрощение путем решения системы не­линейных уравнений меньшей размерности с сохранением нижнего спектра частот свободных колебаний.