Построение матрицы жёсткости для стержневого элемента

В качестве методического примера рассмотрим построение матрицы жёсткости стержневого элемента K_j и матрицы неразрывности П, связывающей суммарные векторы обобщённых координат элементов q и узловых точек при поперечном изгибе стержней. Расчленим стержень узловыми точками на отдельные элементы (рис. 2.5). Над стержнем показаны номера узловых сечений, а под стержнем номера элементов.

Рис. 2.5

Аппроксимационную функцию прогиба внутри j -го элемента представим в виде

(7.3.1)

или в матричной форме

	(7.3.2)
где .

Компонентами вектора обобщённых координат служат поперечные перемещения и углы поворота обоих сечений элемента

.

(7.3.3)

При использовании гипотезы прямой нормали угол поворота сечения равен производной от прогиба

	(7.3.4)
	(7.3.5)

С учётом аппроксимационных соотношений (7.3.1), (7.3.5) определим обобщённые координаты на концах j -го стержневого элемента (здесь используется локальная система координат)

		(7.3.6)

или в матричном виде

.

(7.3.7)

Отсюда следует

(7.3.8)

Вектор перемещений согласно равенству (7.3.2) с учётом (7.3.8) представим в форме

(7.3.9)

Вариацию потенциальной энергии стержневого элемента запишем в виде

(7.3.10)

Здесь – кривизна нейтральной линии изогнутого стержня

(при малых углах изгиба)

(7.3.11)

L – оператор дифференцирования ,

изгибающий момент, связанный с кривизной равенством

.

(7.3.12)

Здесь – изгибная жёсткость.

С учётом соотношения для прогиба (7.3.9) кривизна (7.3.11) и изгибающий момент (7.3.12) следующим образом выражаются через обобщённые координаты стержневого элемента

(7.3.13)

(7.3.14)

После подстановки соотношений (7.3.13) и (7.3.14) в (7.3.10) придем к равенству

(7.3.15)

Выражение для матрицы жёсткости имеет вид

(7.3.16)

где учтено, что от х зависит только L Ф _j (величина в пределах элемента считается постоянной).

Так как , произведение равно следующей матрице:

.

(7.3.17)

После вычисления интегралов от элементов матрицы (7.3.17) и умножения результирующей матрицы слева и справа соответственно на матрицы и матрица жёсткости для стержневого элемента примет вид

(7.3.18)

Следует отметить, что для однородного стержня матрица жёсткости может быть получена более простым путем, однако здесь проиллюстрирован общий алгоритмический подход к построению матриц жёсткости, который применим к элементам любого вида.

Теперь необходимо построить матрицу неразрывности П, связывающую суммарный вектор элементов с суммарным вектором узлов Нумерация улов и элементов показана на рис. 2.5. Матрица неразрывности П будет иметь следующий вид:

(7.3.19)

здесь

(7.3.20)

Матрица масс и вектор внешних сил строятся на основе соотношения (7.3.9) по формулам, аналогичным (7.2.7)– (7.2.10). При этом в векторе необходимо в силу граничных условий защемленных краев первую и последнюю компоненты (для нулевого и N ₁-го узлов) положить равными нулю

.

Глобальные матрицы масс М, жёсткости K и вектор внешних сил F строятся по схеме (7.2.2.11.) – (7.2.2.13), (7.2.2.17).