Индуктивность контура. Самоиндукция

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное по­ле, индукция которого, по закону Био — Савара—Лапласа (см. (110.2)), пропор­циональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорциона­лен току I в контуре:

Ф=LI, (126.1)

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться э.д.с. Возникновение э.д.с. индукции в прово­дящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Из выражения (126.1) определяется единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн — индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб:

1 Гн=1 Вб/А=1В•с/А.

 

31) Всякое вещество является магнетиком, т. е. оно способно под действием магнитно­го поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Магнетики — материалы, вступающие во взаимодействие с магнитным полем, выражающееся в его изменении, а также в других физических явлениях — изменение физических размеров, температуры, проводимости, возникновению электрического потенциала и т. д. В этом смысле к магнетикам относятся практически все вещества (поскольку ни у какого из них магнитная восприимчивость не равна нулю точно), большинство из них относится к классам диамагнетиков (имеющие небольшую отрицательную магнитную восприимчивость — и несколько ослабляющие магнитное поле) или парамагнетиков (имеющие небольшую положительную магнитную восприимчивость — и несколько усиливающие магнитное поле); более редко встречаются ферромагнетики (имеющие большую положительную магнитную восприимчивость — и намного усиливающие магнитное поле) электронные орбиты атома под действием внешнего магнитного поля совершают прецессионное движе­ние, которое эквивалентно круговому то­ку. Так как этот микроток индуцирован внешним магнитным полем, то, согласно правилу Ленца, у атома появляется со­ставляющая магнитного поля, направлен­ная противоположно внешнему полю. На­веденные составляющие магнитных полей атомов (молекул) складываются и обра­зуют собственное магнитное поле вещест­ва, ослабляющее внешнее магнитное по­ле. Этот эффект получил название диа­магнитного эффекта, а вещества, на­магничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называют­ся диамагнетиками.

В отсутствие внешнего магнитного по­ля диамагнетик немагнитен, поскольку в данном случае магнитные моменты элек­тронов взаимно компенсируются, и сум­марный магнитный момент атома (он ра­вен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) составляющих атом электронов) равен нулю. К диамагнетикам относятся многие металлы (на­пример, Bi, Ag, Au, Cu), большинство органических соединений, смолы, углерод и т. д.

Так как диамагнитный эффект обус­ловлен действием внешнего магнитного поля на электроны атомов вещества, то диамагнетизм свойствен всем веществам. Однако наряду с диамагнитными ве­ществами существуют и парамагнитные — вещества, намагничивающиеся во внеш­нем магнитном поле по направлению поля.

У парамагнитных веществ при отсутст­вии внешнего магнитного поля магнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, и атомы (молекулы) парамагнети­ков всегда обладают магнитным момен­том. Однако вследствие теплового движе­ния молекул их магнитные моменты ори­ентированы беспорядочно, поэтому парамагнитные вещества магнитными свой­ствами не обладают. При внесении пара­магнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ори­ентация магнитных моментов атомов по полю (полной ориентации препятствует тепловое движение атомов). Таким обра­зом, парамагнетик намагничивается, со­здавая собственное магнитное поле, со­впадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным. При ослабле­нии внешнего магнитного поля до нуля ориентация магнитных моментов вследст­вие теплового движения нарушается и па­рамагнетик размагничивается. К парамаг­нетикам относятся редкоземельные эле­менты, Pt, Al и т. д. Диамагнитный эффект наблюдается и в парамагнетиках, но он значительно слабее парамагнитного и по­этому остается незаметным.

Из рассмотрения явления парамагне­тизма следует, что его объяснение совпа­дает с объяснением ориентационной (дипольной) поляризации диэлектриков с по­лярными молекулами (см. §87), только электрический момент атомов в случае поляризации надо заменить магнитным моментом атомов в случае намагничения.

Подводя итог качественному рассмот­рению диа- и парамагнетизма, еще раз отметим, что атомы всех веществ являют­ся носителями диамагнитных свойств. Ес­ли магнитный момент атомов велик, то парамагнитные свойства преобладают над диамагнитными и вещество является па­рамагнетиком; если магнитный момент атомов мал, то преобладают диамагнит­ные свойства и вещество является диамагнетиком.

Помимо рассмотренных двух классов ве­ществ — диа- и парамагнетиков, называе­мых слабомагнитными веществами, су­ществуют еще сильномагнитные вещест­ва — ферромагнетики — вещества, обла­дающие спонтанной намагниченностью, т. е. они намагничены даже при отсутствии внешнего магнитного поля. К ферромагне­тикам кроме основного их представите­ля — железа (от него и идет название «ферромагнетизм») — относятся, напри­мер, кобальт, никель, гадолиний, их спла­вы и соединения.

Ферромагнетики помимо способности сильно намагничиваться обладают еще и другими свойствами, существенно отли­чающими их от диа- и парамагнетиков.

Магнитное поле в веществе

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В) является обобщением закона:

где I и I ' — соответственно алгебраиче­ские суммы макротоков (токов прово­димости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным за­мкнутым контуром L. Таким образом, цир­куляция вектора магнитной индукции В по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную. Вектор В, таким образом, характеризует результирующее поле, созданное как макроскопическими токами в проводниках (токами проводимости),

 

 

так и микроскопическими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции В не имеют источников и явля­ются замкнутыми.

Магнитная пронициаемость магнетика

Магнитная проницаемость зависит как от свойств вещества, так и от величины и направления магнитного поля (а кроме того от температуры^[3], давления итд).

Также зависит от характера изменения поля со временем, в частности, для синусоидального колебания поля — зависит от частоты этого колебания (в этом случае вводят комплексную магнитную проницаемость чтобы описать влияние среды на сдвиг фазы 'B' по отношению к 'H'). При достаточно низких частотах (небольшой быстроте изменения поля) ее можно обычно считать в этом смысле константой.

 

Магнитная проницаемость сильно зависит от величины поля для нелинейных сред (типичный пример — ферромагнетики, для которых характерен гистерезис). Для таких сред магнитная проницаемость как независящее от поля число может указываться приближенно, в рамках линеаризации^[4].

Для парамагнетиков и диамагнетиков линейное приближение достаточно хорошо для широкого диапазона величин поля.

Подавляющее большинство веществ относятся либо к классу диамагнетиков (), либо к классу парамагнетиков (). Но ряд веществ — (ферромагнетики), например железо, обладают более выраженными магнитными свойствами.

У ферромагнетиков вследствие гистерезиса, понятие магнитной проницаемости, строго говоря, неприменимо. Однако в определенном диапазоне изменения намагничивающего поля (чтобы можно было пренебречь остаточной намагниченностью, но до насыщения) можно в лучшем или худшем приближении всё же представить эту зависимость как линейную (а для магнитомягких материалов ограничение снизу может быть и не слишком практически существенно), и в этом смысле величина магнитной проницаемости бывает измерена и для них.

Магнитная проницаемость сверхпроводников равна нулю.

Абсолютная магнитная проницаемость воздуха приблизительно равна магнитной проницаемости вакуума и в технических расчетах принимается равной^[5] Гн/м

 

32) Согласно Максвеллу, если всякое пере­менное магнитное поле возбуждает в окру­жающем пространстве вихревое электри­ческое поле, то должно существовать и об­ратное явление: всякое изменение элек­трического поля должно вызывать появле­ние в окружающем пространстве вихрево­го магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изме­няющимся электрическим полем и вызыва­емым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток сме­щения.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 196). Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор

«протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники.

Выражение (138.2) и было названо Мак­свеллом плотностью тока смещения.

из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружаю­щем пространстве магнитное поле. Таким образом, ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем про­странстве магнитное поле (линии индук­ции магнитных полей токов смещения при зарядке и разрядке конденсатора показа­ны на рис. 197 штриховой линией).

В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Так как, согласно (89.2), D =e₀ E + P, где Е — напряжен­ность электростатического поля, а Р — поляризованность (см. § 88), то плотность тока смещения

где e₀ д E / д t — плотность тока смещения

от

в вакууме, д P / д t — плотность тока поляри­зации — тока, обусловленного упорядо­ченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в не­полярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах). Возбуждение магнитного поля токами поляризации пра­вомерно, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости. Однако то, что и другая

(e₀ д E / д t),

часть плотности тока смещения (e₀ д E / д t),

не связанная с движением зарядов, а обус­ловленная только изменением электричес­кого поля во времени, также возбуждает магнитное поле, является принципиально новым утверждением Максвелла. Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля приводит к возникно­вению в окружающем пространстве маг­нитного поля.

Введение Максвеллом понятия тока сме­щения привело его к завершению создан­ной им единой макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование кото­рых было впоследствии подтверждено.

В основе теории Максвелла лежат рас­смотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле (см. § 137) мо­жет быть как потенциальным (E _Q), так и вихревым (Е _B), поэтому напряженность суммарного поля Е = Е _Q+ Е _B. Так как циркуляция вектора E _Q равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора Е _B оп­ределяется выражением (137.2), то цир­куляция вектора напряженности суммар­ного поля

Это уравнение показывает, что источни­ками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняю­щиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):

Это уравнение показывает, что магнит­ные поля могут возбуждаться либо дви­жущимися зарядами (электрическими то­ками), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D (см. (89.3)):

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плот­ностью r, то формула (139.1) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В (см. (120.3)):

Итак, полная система уравнений Максвел­ла в интегральной форме:

 

Величины, входящие в уравнения Мак­свелла, не являются независимыми и меж­ду ними существует следующая связь (изотропные не сегнетоэлектрические и не ферромагнитные среды):

D =e₀e E,

В= m₀m Н,

j =g E,

где e₀ и m₀ — соответственно электриче­ская и магнитная постоянные, e и m— соответственно диэлектрическая и магнит­ная проницаемости, g — удельная прово­димость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля мо­гут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные по­ля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими заря­дами (электрическими токами), либо пере­менными электрическими полями. Уравне­ния Максвелла не симметричны относи­тельно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе су­ществуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

 

33) Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опре­деленной повторяемостью во времени. Ко­лебательные процессы широко распро­странены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебатель­ном движении маятника изменяется ко­ордината его центра масс, в случае пере­менного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колеба­ний может быть разной, поэтому различа­ют колебания механические, электромаг­нитные и др. Однако различные колеба­тельные процессы описываются одинако­выми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесооб­разность единого подхода к изучению ко­лебаний различной физической природы. Колебания называются свободными (или собственными), если они совершают­ся за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний явля­ются гармонические колебания — колеба­ния, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно но двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периоди­ческие процессы (процессы, повторяющие­ся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармо­нических колебаний. Гармонические коле­бания величины s описываются уравнени­ем типа.

s= A cos(w₀t+j), (140.1)

где А - максимальное значение колеблю­щейся величины, называемое амплитудой колебаний, w₀ круговая (циклическая) частотой, j - начальная фаза колебаний

в момент времени t=0, (w₀t+j)— фаза колебаний в момент времени t. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может, принимать значения от + А до - А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, по­вторяются через, промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за кото­рый фаза колебания получает приращение 2p, т. е.

w₀(t+T ) +j=(w₀t +j)+2p,

откуда

T=2p/w₀. (140.2)

Величина, обратная периоду коле­баний,

v=1/T, (140.3)

т. о. число полных колебаний, совершае­мых в единицу времени, называется часто­той колебаний.

Единица частоты — герц (Гц):1Гц — частота периодического процесса, при ко­торой за 1 с совершается один цикл про­цесса.

диффе­ренциальное уравнение гармонических ко­лебаний

d²s/dt²+w²₀s=0 (140.6)

 

34) Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические ве­личины (заряды, токи) периодически изме­няются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колеба­ний используется колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последо­вательно катушки индуктивностью L, кон­денсатора емкостью С и резистора сопро­тивлением R.

согласно закону сохранения энергии, полная энергия

так как она на нагревание не расходуется.

В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рас­сматриваемые колебания представляют собой свободные колебания. Если сопротивление R= 0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда получим дифференциальное урав­нение свободных гармонических колеба­ний заряда в контуре:

Из выражений и вы­текает, что заряд Q совершает гармониче­ские колебания по закону

Q = Q_m cos(w₀t+j), (143.3)

где Q_m — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой w₀, называемой собственной частотой конту­ра, т. е.

w₀=1/ÖLC, (143.4)

и периодом

T=2pÖLC. (143.5)

Формула (143.5) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона.

Сила тока в колебательном контуре

где I _m=w₀ Q_m — амплитуда силы ток Напряжение на конденсаторе

где U_m=Q_m/C —амплитуда напряже­ния.

Из выражений (143.3) и (143.6) вы­текает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на p/2, т. е., когда ток достигает максимального значе­ния, заряд (а также и напряжение (см. (143.7)) обращается в нуль, и наобо­рот.

Переменный ток

Переменный ток можно считать квазиста­ционарным, т. е. для него мгновенные зна­чения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изме­нения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распро­страняются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам (эти законы уже использовались при рассмот­рении электромагнитных колебаний).

Рассмотрим последовательно процес­сы, происходящие в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, при приложении к ней перемен­ного напряжения

U=U_mcoswt, (149.1)

где U_m — амплитуда напряжения.

1. Переменный ток, текущий через ре­зистор сопротивлением R (L®0, С®0). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется законом Ома:

I=U/R=(U_m/R)coswt=I_mcoswt, где амплитуда силы тока l_m=U_m/R.

2. Переменный ток, текущий через ка­тушку индуктивностью L (R®0, C®0). Если в цепи приложено пере­менное напряжение (149.1), то в ней по­течет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции

ξ_s =-LdI/dt. Тогда закон Ома для рассматриваемого участка цепи имеет вид

U_mcoswt-LdI/dt=0,

откуда

LdI/dt=U_mcoswt.

3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R®0, L ®0 )

 

 

(рис. 215, а). Если переменное напряже­ние (149.1) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи потечет переменный ток. Так как все внеш­нее напряжение приложено к конденсато­ру, а сопротивлением подводящих прово­дов можно пренебречь, то

Q/C=U_C=U_mcoswt. Сила тока

Величина

R_C=1/(wС)

называется реактивным емкостным сопро­тивлением (или емкостным сопротивлени­ем). Для постоянного тока (w=0) R_C=¥, т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может.

 

Цепь переменного тока, содержа­щая последовательно включенные ре­зистор, катушку индуктивности и конден­сатор. На рис. 216, а представлена цепь, содержащая резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение (149.1). В цепи возникнет переменный ток, который вы­зовет на всех элементах цепи соответству­ющие падения напряжения U_R, U_L и U_C. На рис. 216, б представлена векторная ди­аграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U_R), катушке (U_L) и кон­денсаторе (U_C). Амплитуда U_m приложен­ного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 216, б, угол j определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что

Из прямоугольного треугольника получаем ,

откуда амплитуда силы тока имеет значение

Следовательно, если напряжение в це­пи изменяется по закону

U=U_m cosw t,

то в цепи течет ток

I = I_mcos(wt-j)

Величина

называется полным сопротивлением цепи, а величина

— реактивным сопротивлением.

Резонанс напряжений

Если в цепи переменного тока, содержа­щей последовательно включенные конден­сатор, катушку индуктивности и резистор (см. рис. 216),

wL= 1/(wС), (150.1)

то угол сдвига фаз между током и на­пряжением (149.9) обращается в нуль (j=0), т. е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (150.1) удовлетворяет частота

w_рез=l/ÖLC. (150.2)

В данном случае полное сопротивление цепи Z (149.12) становится минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопро­тивлением, принимая максимальные (воз­можные при данном U_m) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряже­нию, приложенному к цепи (U_R=U), а па­дения напряжений на конденсаторе (U_C) и катушке индуктивности (U_L) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом на­пряжений (последовательным резонан­сом), а частота (150.2) — резонансной частотой.