Первой в списке операций логично поставить сравнение событий.

Если событие В происходит всегда, когда произошло событие А, то говорят что из А следует В и эту ситуацию обозначают символом АÌВ.

Например, если при бросании кубика А=”выпала цифра 2’’ и В=”выпало четное число”, то АÌВ. Однако в данной ситуации очевидно из В не следует А, т.е. ВËА. Таким образом все случайные события относительно друг друга находятся в отношении следствия с ответом “да” или “нет”.

Первичным элементом математических операций является равенство.

События А и В называются равными, если из А следует В и наоборот, т.е. АÌВ и ВÌА Û А=В. Например, если при бросании кубика А=”выпало четное число”, а В=”выпало или 2 или 4 или 6”, то А=В.

Суммой двух событий называется событие А+В, которое состоит в том, что произошло событие или А или В или оба одновременно. Здесь “одновременно” не просто слово, а термин, понимаемый не буквально как реализация событий физически в один момент времени, а в смысле “вместе”. В этом определении “или” имеет не исключающий характер, поскольку допускает совместное возникновение событий. Если в эксперименте со стрельбой =”попасть в мишень в первом выстреле”, а =”попасть в мишень во втором выстреле”, то + =”попасть или в первом выстреле или во втором выстреле или попасть одновременно в первом и втором выстреле, т.е. дважды”, что означает в серии из двух выстрелов попасть хотя бы один раз. Таким образом, рассматривается одновременное (в смысле вместе) попадание в двух выстрелах, хотя одновременно произвести два выстрела из одного и того же оружия принципиально невозможно.

Применение к случайным событиям символики теории множеств объясняется глубоким идейным сходством таких объектов как множества и случайные события. Поэтому аналогично теории множеств в теории вероятностей операции над случайными

А

В

событиями иллюстрируются кругами Эйлера. Сумма событий является аналогом объединения множеств и обозначается соответственно как заштрихованная область.

 

Из определения суммы событий следует, что она обладает свойствами коммутативности (перестановочности слагаемых)

А+В=В+А

и ассоциативности (изменения порядка суммирования)

А+(В+С)=(А+В)+С.

Очевидно, что АÌА+В "В, а также А+А=А. Последний результат свидетельствует о принципиальном отличии алгебры событий от привычной алгебры чисел.

Упражнение. При бросании кубика представить случайное событие А=”выпало четное число” в виде суммы событий его составляющих, введя соответствующие обозначения.

В

А

А×В

А×В

Произведением двух событий А и В называется событие А×В или просто АВ, которое заключается в том, что события А и В произошли одновременно. Геометрическая интерпретация этой операции выглядит аналогично пересечению множеств как общая часть обоих эллипсов. Применительно к задаче о двух выстрелах по мишени при обозначении = “попадание в первом выстреле”, а =”попадание во втором выстреле” попадание дважды будет являться произведением этих событий, т.е. =”попасть дважды”.

Умножение событий коммутативно (сомножители можно менять местами)

АВ= ВА,

ассоциативно (сомножители можно группировать в указанном порядке)

А(ВС)=(АВ)С

и дистрибутивно (можно раскрывать скобки и выносить общий множитель за скобки)

А(В+С)=АВ+АС.

Скобки, как и обычно, устанавливают приоритет операций.

Рассмотренныеоперации над событиямив частностиимеют своими следствиями: АÉ АВÌВ,(А+В)(А+С)=АА+АС+ВА+ВС=А+АС+АВ+ВС=(А+АВ)+АС+ВС=А+АС+ВС=(А+АС)+ВС===А+ВС. Здесь учтено то обстоятельство, что А+АВ=А при любом В как сумма события фактически с самим собой, в чем нетрудно убедиться с помощью кругов Эйлера.

Упражнение. Доказать последнее свойство непосредственно с помощью кругов Эйлера для всех трех событий А, В и С.