Линия уровня целевой функции – линия, вдоль которой f сохраняет свое значение при переменных х1, х2. Для линейной функции (n=2) семейство линий уровня – семейство параллельных прямых.
Из курса высшей математики известно, что градиент функции всегда перпендикулярен линии уровня f(x1,x2) =const и показывает направление возрастания функции f
, где 
, 
– единичные орты, ориентированные вдоль соответствующих осей.
Алгоритм метода:
1),2) Аналогично алгоритму графического метода.
3) Строим линию уровня целевой функции для произвольной константы.
4) Определяем направление градиента.
5) Перемещаем линию уровня параллельно самой себе вдоль ОДР по направлению градиента при поиске max целевой функции (при поиске min f по направлению антиградиента). Последняя точка касания линии уровня с ОДР и даст оптимальную вершину.
6) Рассчитать координаты оптимальной вершины.
Риc. 7. Решение задачи модифицированным графическим методом
Построим линию уровня для примера 2.3.1.
|
при х1=0, х2=20
х2=0, х1=11
Изобразим на линии уровня градиент, выбрав произвольную точку N.
По оси х1 откладываем 20, по оси х2 откладываем 11. И строим вектор grad f, как сумму двух векторов. Градиент направлен слева–направо вверх. По grad f продвигаем линию уровня параллельно самой себе до последней точки касания ОДР, т.е. в данном случае это точка В, она и будет оптимальна.
Пример 2.4.1.
Мясокомбинатвыпускает два вида продукции А1 и А2. Продукт А1 изготовляется с помощью механизма В1, продукт А2 с помощью механизма В2. Затем оба продукта упаковываются на специальном оборудовании. Производительность механизма В1 равна 4 т/ч, потери сырья при этом составляют 15%, суточная же производительность механизма В2 равна 3,5 т/ч, потери сырья достигают 20%. В течение суток механизмы В1 и В2 могут работать не более 18 час и 20 час соответственно; 1 час работы этих механизмов обходится мясокомбинату в 300 и 250 долларов. Специальное оборудование может работать не более 10 час. в сутки, упаковывая за 1 час 12 т продукта А1 или 10 т продукта А2. Один час его использования обходится мясокомбинату в 200 долл. Стоимость 1 кг сырья равна 3 долл. Упаковка продукта А1 весом 4/5 кг продается на рынке по 6 долл., упаковка же продукта А2 весом 3/5 кг – по 5 долл. Необходимо порекомендовать мясокомбинату такие суточные потребления сырья для производства продукции А1 и А2, при которых чистая прибыль была бы максимальной. Предполагается, что рынок сбыта для каждого вида продукции практически неограничен.
 |
Рис. 8. Технологическая схема производства
Математическая формулировка задачи
Обозначим:
(т) – количество продукта А1 и А2 соответственно;
– количество упаковок продукта вида А1;
– количество упаковок продукта вида А2;
– время работы механизма В1; 
– время работы механизма В2.
- время работы специального оборудования.
100% +15% в долях равна 1,15 – кол-во сырья для механизма В1,
100% + 20% в долях равна 1,2 – кол-во сырья для механизма В2,
Чистая прибыль f равна доходу от продажи упаковок продуктов А1 и А2 за вычетом стоимости сырья и работы механизмов В1 и В2 и специального оборудования.
Математическая модель:
при ограничениях:
≤ 18 (1)
≤ 20 (2)
≤ 10 (3)
хi≥0 i=1,2
или после несложных преобразований:
х1 ≤ 72 (1)
х2 ≤ 70 (2)
5×х1 + 6×х2 ≤ 600 (3)
Находим отрезки, отсекаемые по осям координат прямой 5×х1 + 6×х2 =600 (ограничение 3):
при х1 = 0, х2 = 100
при х2 = 0, х1 = 120
Рис.9. Графическое решение задачи
Находим координаты вершин ОДР из решения системы прямых, образующих этих вершины.
т. A (0,70); т. D (72,0)
Координаты вершины С определяем из системы:
5×х1 + 6×х2 ≤ 600
х1=72,
отсюда С (72;40)
Координаты вершины В находим из системы:
5×х1 + 6×х2 ≤ 600
х1=70,
отсюда В(36;70)
Рассчитаем значения целевой функции в вершинах:
f(A)=3958,4×0+4642×70=324940
f(В)=3958,4×36+4642×70=467442,4
f(C)=3958,4×72+4642×40=470684,8 
max f
f(D)=3958,4×72+4642×0=285004,8
Получаем, что оптимальной вершиной будет С (72,40), то есть для получения максимальной прибыли на механизм В1 следует подать 1,15×72 =82,8 (т) сырья, на механизм В2 – 1,24×40= 48 (т)