Появляются, если линия уровня целевой функции параллельна прямой (или гиперплоскости), соответствующей связывающему ограничению. В этом случае целевая функция принимает одно и тоже оптимальное значение в некоторой совокупности точек пространства решений.
Пример 2. 9. 2. Бесконечное множество решений
| В стандартной форме | В канонической форме |
| f0 = 2х1+ 4х2® maх | fур -2х1- 4х2=0 |
| при ограничениях | при ограничениях |
 х1 + 2х2£ 5 (1)
|  х1 +2х2+х3=5
|
| х1 + х2 £ 4 (2) | х1 + х2 + х4=4 |
 х1, х2 ³0
| хi³0 i=1,2,...,4 |
Рис. 22.
Найдем координаты вершины B из решения системы линейных уравнений: х1+2×х2=5 х1=3; х2=1
х1+х2=4
Координаты вершин B (3;1) и A(0;2,5).
Оптимум (т. A) получим на первой итерации. Как по результатам симплекс таблицы узнать о наличии альтернативных решений? Для этого следует анализировать коэффициенты в f- уравнении при базисных переменных. В первой итерации коэффициент при небазисной переменной х1 равен нулю, значит увеличение х1, то есть включение х1 в базис, не изменит значение целевой функции, но приведет к изменению значений других переменных.
Таблица22
| № итер. | базис | х1 | х2 | х3 | х4 | Знач | Отнош | формула |
| N=0 х2 ввод., х3 искл. | fур | -2 | -4 | 0 | 0 | 0 | ||
| х3 | 1 | 2 | 1 | 0 | 5 | 5:2=5/2 | ||
| х4 | 1 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4:1=4 | ||
| N=1 х1 ввод., х4 искл. (т. А) | fур | 0 | 0 | 2 | 0 | 10 | fур=fур+4x1 | |
| х2 | 1/2 | 1 | 1/2 | 0 | 5/2 | 5/2:1/2=5 | x2=x3:2 | |
| х4 | 1/2 | 0 | -1/2 | 1 | 3/2 | 3/2:1/2=3 | x4=x4 –x2 | |
| N=2 альтер. оптимум (т. В) | fур | 0 | 0 | 2 | 0 | 10 | fур=fур-0×x1 | |
| х2 | 0 | 1 | 1 | -1 | 1 | x2=x2 -1/2× x1 | ||
| х1 | 1 | 0 | -1 | 2 | 3 | x1=x4:1/2 |
Любое другое решение (х1, х2), принадлежащее отрезку АВ, можно определить, как положительно - взвешенное среднее двух полученных оптимальных базисных решений, соответствует вершинам А и В, по следующим формулам.
где 0 £ a 
1
Значение a =0 соответствует вершине В,
a =1 соответствует вершине А.
Информация о наличии альтернативных оптимумов очень полезна при решении практических задач, так как лицо, принимающее решение, может в этом случае выбрать вариант, который в наибольшей степени отвечает сложившейся производственной ситуации. Если бы рассмотренный пример относился к задаче оптимизации многономенклатурного производства, то с учетом конкуренции на рынках сбыта предпочтительнее выпускать продукцию не одного, а двух видов, поэтому следовало выбрать решение, соответствующее вершине В.
Неограниченные решения.
Условия некоторых задач линейного программирования могут допускать бесконечное увеличение значений переменных без нарушения ограничений. Это свидетельствует о том, что пространство допустимых решений, по крайней мере, в одном направлении, неограниченно. В таких случаях целевую функцию можно сделать бесконечно большой (при решении задачи mах f0) и бесконечно малой (min f0). Тогда говорят, что оптимальное значение целевой функции не ограничено.
Неограниченность решения задачи линейного программирования свидетельствует о том, что разработанная модель недостаточно точна.
Ведь бессмысленно использовать, например модель, прогнозирующую бесконечную прибыль.
Типичные ошибки, приводящие к построению моделей такого рода, состоят в том, что:
1. Не учтено одно (или несколько) ограничение, не являющееся избыточным.
2. Не точно оценены параметры, фигурирующие в соответствующих ограничениях.
В следующем примере показано, как можно выявить неограниченность пространства решений и целевой функции, используя симплекс - таблицу.
Пример 2. 9. 3: Неограниченная целевая функция.
| В стандартной форме | В канонической форме |
| f0 = х1 +2х2® maх | fур - х1 -2 х2=0 |
| при ограничениях |  при ограничениях
|
 х1 – х2 £ 10 (1)
| х1 – х2 +х3= 10 |
| х1 £ 20 (2) | х1+х4= 20 |
| х1, х2 ³ 0 | хi³0 i=1,2,...,4 |
Таблица 23
| № итер. | Базис | х1 | х2 | х3 | х4 | Знач. | Отнош | Формула |
| №=0 | fур | -1 | -2 | 0 | 0 | 0 | ||
| Х3 | 1 | -1 | 1 | 0 | 10 | не рассчит | ||
| Х4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 20 | 20/0=¥ |
Рис. 23
Во всех ограничениях коэффициенты при х2 либо отрицательны, либо равны нулю. Это означает, что не нарушая ни одного из ограничений модели можно соответственно увеличивать х2. Так как при бесконечном увеличении х2, целевая функция будет неограниченно увеличиваться.
Правило. Если на некоторой итерации небазисная переменная имеет в ограничениях неположительные (равны 0 или отрицательные) коэффициенты, то пространство решений соответствующей задачи в данном направлении неограниченно. Если при этом, коэффициент при этой переменной в f - уравнении отрицательный, а f0 подлежит максимизации или данный коэффициент положительный, а f0 подлежит минимизации, то целевая функция так же неограничена.
Неограниченность может обнаружиться не сразу, а на какой - либо из последующих итераций.
Пример 2. 9. 5: Область допустимых решений неограниченна, а оптимальное значение целевой функции конечно.
| В стандартной форме | В канонической форме |
| f0 = 6х1 – 2х2® maх | fур - 6х1 + 2х2=0 |
| при ограничениях | При ограничениях
|
| 2х1 – х2 £ 2 (1)
| 2х1 – х2+х3 = 2 |
| х1 £ 4 (2) | х1+х4= 4 |
| х1, х2 ³ 0 i=1,2 | хi³ 0 i=1,2,...,4 |
Таблица 24
| № итер. | базис | х1 | х2 | х3 | х4 | Знач. | Отнош. | Формула |
| N=0 х1 ввод., х3 искл. | fур | -6 | 2 | 0 | 0 | 0 | ||
| х3 | 2 | -1 | 1 | 0 | 2 | 2:2=1 | ||
| х4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 4 | 4:1=4 | ||
| N=1 х2 ввод., х4 искл. | fур. | 0 | -1 | 3 | 0 | 6 | fyp=fyp+6x1 | |
| х1 | 1 | -1/2 | 1/2 | 0 | 1 | не рассч. | x1=x3:2 | |
| х4 | 0 | 1/2 | -1/2 | 1 | 3 | 3:1/2=6 | x4=x4 -x1 | |
| N=2 оптимум (т. В) | fур | 0 | 0 | 2 | 2 | 12 | fyp=fyp+x2 | |
| х1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 4 | x1=x1+1/2x2 | ||
| х2 | 0 | 1 | -1 | 2 | 6 | x2=x4:1/2 |
mах f0*=12, оптимальныйплан Х*=(4;6;0;0)
Пространство решений в направлении оси х2 не ограниченно, но так как х2 фигурирует в f -уравнении с положительным коэффициентом, то нельзя сделать вывод о неограниченности целевой функции.
Фактором, который определяет, будет ли целевая функция ограниченной, является наклон линии уровня.
Рис. 24.