Интерпретация симплекс-таблиц – анализ модели на чувствительность

Ценность ресурса - y_i характеризуется величиной улучшения оптимального значения f₀, приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса i. y_i = .

Информация о ценности ресурса представлена в оптимальной симплекс - таблице в f - уравнении соответствующими коэффициентами при остаточных переменных.

Таблица 29

базис	хE	хI	S1	S2	S3	S4	Значение
fур	0	0	y1=1/3	y2=4/3	y3=0	y4=0

Положительное приращение остаточной переменной S₁ относительно ее нулевого значения приводит к пропорциональному уменьшению целевой функции, причем коэффициент пропорциональности равен тыс.долл./ тонну. Но как соответствует из 1-го ограничения модели: х_E + 2х_I + S₁ = 6 увеличение S₁ эквивалентно снижению запаса ресурса 1 (продукт А). Следовательно, увеличение запаса первого ресурса (эквивалентное введению избыточной переменной S₁<0) приводит к пропорциональному увеличению f₀ с тем же коэффициентом пропорциональности равному тыс.долл./тонну. Ценности недефицитных ресурсов y₃=y₄=0; такой результат получается всегда, когда соответствующие остаточные переменные имеют положительное значение. Несмотря на то, что ценность различных ресурсов, определяемая значениями переменных y_i представлена в стоимостном выражении (тыс.долл./тонну) ее нельзя отождествлять с действующими ценами, по которой возможна закупка соответствующих ресурсов.

Поэтому при характеристике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать такие термины, как теневая цена, скрытая цена, двойственная оценка. Заметим, что теневая цена (ценность ресурса) характеризует интенсивность улучшения оптимального значения целевой функции. Однако при этом не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурса, при котором интенсивность улучшения целевой функции остается постоянной.

Для большинства практических ситуаций логично предположить наличие верхнего предела увеличения запасов, при превышении которых соответствующее ограничение становится избыточным, что приводит к новому базисному решению и соответствующим ему новым теневым ценам.

При решении вопроса о том, запас какого из ресурсов следует увеличивать в первую очередь, обычно используются теневые цены (ценность ресурсов). В первую очередь следует увеличивать запас продукта В, так как y₂ > y₁.

Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса, при котором теневая цена остается неизменной, необходимо выполнить дополнительное вычисление.

Пусть запас первого ресурса (продукта А) изменился на Д₁, то есть запас продукта А составит 6 + Д₁ тонн. При Д₁ > 0 запас ресурса увеличивается, при Д ₁<0 - уменьшается. Так как правые части ограничений никогда не используются в качестве ведущих элементов, то очевидно, что на каждой итерации Д₁ будет оказывать влияние только на правые части ограничений, которые представлены в столбце "значение". В оптимальной симплекс-таблице столбец "значение" изменится пропорционально коэффициентам при остаточной переменной S₁, которая фигурирует в этом ограничении:

Таблица 30

Базис	S1	Значение
f ур
xI		а)
xE	-	б)
S3	-1	в)
S4	-	г)

Пределы изменения продукта А находятся из условия допустимости: все базисные переменные должны быть неотрицательными.

Таблица 31

Д 1<0 (уменьшение ресурса)	Д1 > 0 (увеличение ресурса)
а)	а) выполняется всегда
б) выполняется всегда	б)
в) выполняется всегда	в)
г) выполняется всегда	Г)

Следовательно, допустимые пределы изменения продукта А, при котором найденный план остается оптимальным: -2 1

Значение запаса b₁ (продукта А) будет изменяться:

6 - 2 b₁ 6+1; 4 b₁ 7 (т).

При изменении запаса продукта А на Д₁ будет изменятся и чистая прибыль. Подставим пределы изменения запаса Д₁ в столбец "значение" целевой функции. Получим:

Пусть запас продукта В изменился на величину Д₂, тогда столбец “значение” оптимальной симплекс–таблицы изменится пропорционально коэффициентам при дополнительной переменной S₂, фигурирующей во втором ограничении:

Таблица 32

Базис	S2	Значение
f0-ур
xI		а)
xE		б)
S3	1	3+1 Д2 ³ 0 в)
S4		г)

Таблица 33

Допустимые диапазоны изменения продукта В

-2£ Д₂ £4

8-2£ b₂ £ 8+4

6£ b₂£ 12

При этих изменениях значение прибыли изменится следующим образом:

Изменение правой части третьего ограничения на величину Д₃ скажется только на значении базисной переменной S₃, так как все остальные коэффициенты столбца S₃ равны нулю, т.е. S₃=3+1× Д₃ ³ 0, следовательно, Д₃ ³-3, т.е. можно уменьшить этот ресурс на величину избытка.

Аналогично, можно изменить правую часть четвертого ограничения S₄=2/3+1× Д₄ ³ 0, на величину Д₄ ³-2/3,

Полученные результаты согласуются с результатами выполненного ранее анализа на чувствительность.

Следует отметить, что полученные результаты справедливы лишь в том случае, когда рассматриваются изменения только одного из ресурсов.

3. Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли (стоимости)

Уравнение целевой функции никогда не используется в качестве ведущего уравнения. Поэтому все изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние только на f -уравнение результирующей симплекс-таблицы. Это означает, что такие изменения могут сделать полученное решение неоптимальным.

Наша цель заключается в том, что бы найти интервалы значений изменения коэффициентов целевой функции, рассматривая вариацию каждого из коэффициентов отдельно, при котором оптимальное значение переменных остается неизменным. Предположим, что удельная прибыль, ассоциированная с базисной переменной х_E, изменяется на величину d_E тогда С_E=3+ d_E. Тогда целевая функция примет вид:

f₀ = (3 + d_E)×х_E + 2×х_I.

Если по симплекс методу выполнить все вычисления, то коэффициенты оптимального f - уравнения изменятся пропорционально коэффициентам при базисной переменной х_Е

Таблица 34

Базис	S1	S2	S3	S4	Значение
fур			0	0
хE			0	0

 

План будет оставаться оптимальным, если не будет нарушено условие оптимальности. При поиске mахf по условию оптимальности все коэффициенты при свободных переменных должны быть неотрицательны.

Таким образом, должны выполняться следующие неравенства

³ 0 Þ d_E £ 1

³ 0 Þ d_E ³ -2

Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента С_E в виде следующего соотношения:

-2 £ d_E £ 1.

1=3+(-2) £ С_E £ 3+1=4

Таким образом при уменьшении коэффициента С_E до значения 1, или при его увеличении до значения 4 оптимальные значения переменных остаются неизменными, что согласуется с результатами, полученные графическим путем и при анализе на чувствительность.

Однако при этом оптимальные значения maх f₀* будут изменяться в соответствии с выражением

;

Пусть коэффициент при базисной переменной х_I стал равным: С_I=2 +d_I, тогда

Таблица 35

Базис	S1	S2	S3	S4	Значение
fур			0	0
хI			0	0

По условию оптимальности

 

³ 0 Þ d_I³ ,

³ 0 Þ d_I£ 4,

£ d_I £ 4

2- £ С_I £ 2+4

При таком изменении d _I прибыль изменится следующим образом: