Пример 2. 12. 1:.
Прямая задача.
f0=5×х1+12×х2+4×х3 →maх
при ограничениях:
х1+2×х2+х3≤10
2×х1-- х2+3×х3=8
х1, х2, х3 ≥ 0
В канонической форме прямая задача
f0 = 5×х1 + 12×х2 + 4×х3 + 0×х4®mах
х1+2х2+х3+х4 = 10 y1
2×х1-х2+3×х3+ 0×х4 =8 y2
хi ≥ 0 i=1,2,..,4
Двойственная задача.
W = 10×y1+ 8×y2 →min
при ограничениях:
х1: y1+2×y2 ≥5
х2: +y1-y2 ≥ 12
х3: y1+3×y2 ≥4
х4: y1+0×y2 ≥0
y1≥0, y2 – не ограничена в знаке
Пример 2. 12. 2:
Прямая задача.
| f0 = 5×х1–2×х2+0×х3+0×х4®min f0 =5х1-2х2®min | |
| В стандартной форме | В канонической форме |
| при ограничениях | при ограничениях |
 -х1+х2≥+3×(-1) (1)
|  х1-х2+х3 = -3 y1
|
| 2×х1+3×х2 £ 5 (2) | 2×х1+3×х2+х4=5 y2 |
| х1, х2 ³0 | хi³ 0, i=1,2,...,4 |
Двойственная задача.
W = - 3×y1+5×y2 ® max
при ограничениях
х1: y1+2×y2 ≤5
х2: -y1+3×y2 ≤-2
х3: y1≤0
х4: y2 ≤0
Пример 2. 12. 3:
Прямая задача.
f0=5×х1 + 6×х2 ®max
При ограничениях: х1 + 2×х2 = 5
-х1+5×х2 ≤ 3
4×х1 +7×х2 ≤ 8
х2≤ 0
х1 не ограничен в знаке
Заменим х1=u-v, где u≥0, v≥0
Тогда f0=5×u-5×v + 6×x2®max
u - v + 2×x2 = 5 y1
- u + v +5×x2 –x3= 3 y2
4×v-4×v +7×x2 +x4 = 8 y3;
u, v, xi ³ 0, i=2, 3, 4
Двойственная задача.
W = 5×y1+3×y2+8×y3®min
при ограничениях
u: y1-y2+4×y3 ≥5
v: -y1+y2-4×y3 ≥-5 или y1-y2+4×y3 ≤ 5
x2: 2×y1+5×y2+7×y3 ≥6
x3: -y2 ≥ 0
x4: y3≥ 0
y1 не ограничен в знаке.
Заметим, что ограничение двойственной задачи можно заменить одним ограничением в виде равенства y1–у2+4×у3= 5. Такая замена возможна всякий раз, когда переменная прямой задачи не ограничена в знаке.
Пример 2. 12. 4:
Прямая задача
| В стандартной форме | В канонической форме |
| f0=5×x1 – 2×х2® min | f0=5×x1-2×x2+M×R® min (штраф за использование R) |
| при ограничениях | при ограничениях |
| -х1+х2≥3 (1)
|  -х1+х2-х3+R=3 y1
|
| 2×х1+3×х2 £ 5 (2) | 2×х1+3×х2+х4=5 y2 |
| х1, х2 ³ 0 | хi³0, i=1,2,...,4 |
| R≥0 |
Двойственная задача.
W = 3×y1 +5×y2® max
х1: -y1+2×y2≤ 5
х2: y1+3×y2 ≤ -2
х3: -y1≤ 0 или y1≥ 0
х4: y2≤ 0
R: y1≤ M т.е. y1≥0,
y2 – не ограничена в знаке.
Симметричная двойственная пара.
Представим задачи (1), (2) в векторно-матричной форме:
<c,X>→мах, AX ≤ b, X ≥ 0, (2.16)
<b,Y>→ min, ATy ≥ c, Y ≥ 0 (2.17)
Здесь AT – транспортированная матрица А. Отметим характерные структурные связи между задачами (2.16) и (2.17):
1) Число переменных двойственной задачи равно числу основных ограничений прямой задачи.
2) Матрица условий двойственной задачи равна транспортированной матрице условий прямой задачи.
3) Вектор ограничений прямой задачи является целевым вектором двойственной задачи и наоборот.
4) При переходе к двойственной задаче операция mах заменяется на min и меняется смысл неравенства в основных ограничениях.
Нетрудно видеть, что задача (2.16) является, в свою очередь, двойственной по отношению к задаче (2.17) (предварительно следует представить задачу (2.17) в канонической форме). Иными словами, задачи (2.16) и (2.17) взаимно двойственны. Назовем их симметричной двойственной парой задач линейного программирования.
Установим простейшие свойства пары (2.16), (2.17). Введем множество допустимых планов.
D = (X є Rn: AX ≤ b, X ≥ 0),
Q = (Y є Rm: ATX ≥ c, Y ≥ 0).
Лемма 1. Для любой пары допустимых планов X є D, Y є Q выполняется неравенство: <c,X> ≤ <b,Y>.
Доказательство: Используя ограничения двойственной пары задач и свойства скалярного произведения, получаем:
<c,X> ≤ <AT Y,X> = <y,AX> ≤ <b,Y>. Лемма доказана.
Следствие 1. Если D≠Ǿ и целевая функция <c,X>не ограничена сверху на D, то Q≠Ǿ.
Следствие 2. Если Q≠Ǿ и целевая функция <b,Y>не ограничена снизу на Q, то D≠Ǿ.
Лемма 2. Пусть Xо є D, Yо є Q, причем <c,Xо>=<b,Yо>. Тогда Xо – решение прямой задачи, Yо – решение двойственной задачи.
Доказательство: На основании леммы 1 <c,X> ≤ <b,Yо> = <c,Xо> для всех X є D. Это означает, что Xо – решение прямой задачи. Аналогично, <b,Y> ≥ <c,Xо> = <b,Yо> для всех Y є Q, т.е. Yо - решение двойственной задачи. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть в двойственной паре (2.16) и (2.17) допустимые множества не пусты: D≠Ǿ, Q≠Ǿ. Тогда прямая и двойственная задачи имеют решения.
Доказательство:докажем разрешимость прямой задачи. Пусть Y є Q – допустимый план. Тогда <c,X> ≤ <b,Y> для всех X є D, т. е. целевая функция прямой задачи ограничена сверху на D. Отсюда на основании теории симплекс-метода заключаем, что прямая задача имеет решение. Аналогичные рассуждения проходят и для двойственной задачи. Лемма доказана.
Несимметричная пара двойственных задач.
Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической постановке: <c,X>® mах,
AX = b, (2.18)
X ≥ 0
В векторно-матричной форме двойственная задача имеет вид:
<b,Y> ® min, АуТ ³ с (2.19)
Задачу (2.19) называют двойственной по отношению к канонической задаче (2.18). Отметим, что в (2.19) нет условий неотрицательности и двойственные переменные неограниченны в знаке.
Согласно построению значения задач (2.18), (2.19) совпадают, т. е. фактически доказана следующая теорема.