Предположим, что к некоторой упругой системе прикладываются две произвольные системы сил – силы состояния I и силы состояния II. Если вначале будут приложены силы состояния I, а затем добавлены силы состояния II, то силы состояния I вначале совершат работу на собственных перемещениях, а затем – дополнительную работу на перемещениях, вызванных силами состояния II.При нагружении в обратном порядке дополнительную работу совершают силы состояния II на перемещениях от сил состояния I. Согласно принципу взаимности работ – работа сил состояния I на перемещениях от сил состояния II равна работе сил состояния II на перемещениях, вызванных силами состояния I.
Если за нагрузку состояния I принять силу F, приложенную в некоторой точке 1, а за нагрузку состояния II - такую же силу F, приложенную в точке 2, то согласно принципу взаимности работ, получаем F · δ 12 = F ∙ δ 21 или δ 12= δ 21.
Следовательно, перемещение точки 1, вызванное силой F, приложенной в точке 2, равно перемещению точки 2 от силы F, приложенной в точке 1. Это положение называется принципом взаимности перемещений.
Для проверки принципа взаимности работ используется лабораторная установка, схема которой представлена на рис. 6.1. Технические характеристики установки даны в табл. 6.1.
Рис. 6.1. Схема лабораторной установки
для проверки принципа взаимности работ
1 – испытуемая балка прямоугольного сечения, 2 и 3 – шарнирные опоры,
4 – подвеска для грузов, 5 – поворотный рычаг оси шарнира А,
6 – рычаг для нагружения балки моментом, 7 – груз на рычаге 6,
8 – индикатор прогиба, 9 – индикатор угла поворота сечения
Таблица 6.1
Технические характеристики установки
Наименование параметра | Обозначение | Величина |
Длина балки, мм | l | |
Размеры поперечного сечения, мм: ширина; высота | b h | |
Сила тяжести груза на подвеске 4, H | F | |
Сила тяжести груза 7, H | Q | |
Момента изгиба, Н∙мм | М | |
Расстояние от центра шарнира А до оси ножки индикатора 9, мм | с | |
Расстояние от цента груза 7 до центра шарнира А, мм | а | |
Цена деления шкалы индикаторов, мм/дел | mинд | 0,01 |
Модуль упругости первого рода балки, МПа | E | 2 ![]() |
|
На первом этапе испытаний (состояние I) балка, расчётная схема которой дана на рис. 6.2, нагружается силой F в точке D (рис. 6.2, а) и измеряется угол
поворота сечения на опоре А. Сила F =10 Н создается с помощью груза массой 1 кг, устанавливаемого на подвеску 4.Угол поворота сечения на опоре А определяется в радианах как отношение разности отсчетов по шкале индикатора 9, умноженной на цену деления индикатора, к расстоянию с (рис. 6.1).
На втором этапе испытаний (состояние II) балка нагружается моментом М на опоре А (рис. 6.2, б), и измеряется прогиб в точке D. Для нагружения балки моментом М сначала груз 7 устанавливают напротив деления на рычаге 6, ближайшего к опоре А, и делают первый отсчет по шкале индикатора 8. Затем груз сдвигают влево на 200 мм так, чтобы произведение силы тяжести груза Q = 10Н на величину его перемещения по рычагу было равно моменту М = 2000 Н∙мм, и делают второй отсчет по индикатору 8. Разность отсчетов в делениях индикатора, умноженная на цену деления индикатора, дает величину прогиба
балки в точке D, вызванного моментом М.
|
Рис. 6.2. Расчётные схемы нагружения исследуемой балки
Согласно принципу взаимности работ должно выполняться равенство
. (6.1)
Для проверки принципа взаимности перемещений используется видоизменённая по сравнению с предыдущими испытаниями лабораторная установка, схема которой представлена на рис. 6.3.
Нагрузка создается с помощью грузов, устанавливаемых на подвески 4 и 5. Сначала груз, сила тяжести которого составляет F = 20 H, помещают на подвеску 4, расположенную в точке 1 на расстоянии l/4 = 200 мм от центра опоры А, и прогиб балки измеряют индикатором 7 в точке 2, удалённой на расстояние l/2 = 400 мм от опоры А (рис. 6.4,а). Затем балку нагружают силой F = 20 H в точке 2, а прогиб измеряют индикатором 6 в точке 1 (рис. 6.4,б).
Согласно принципу взаимности перемещений, измеренные прогибы должны быть равны, т.е.
. (6.2)
![]() |
,
Рис. 6.3. Схема лабораторной установки
для проверки принципа взаимности перемещений
1 – испытуемая балка прямоугольного сечения, 2 и 3 – шарнирные опоры,
4, 5 – подвески для грузов, 6, 7 – индикаторы перемещений
Рис. 6.4. Расчётные схемы нагружения исследуемой балки