Теория переноса нейтронов
Лекция
Газокинетическое уравнение переноса нейтронов
Уравнение переноса нейтронов является линейным интегродифференциальным уравнением Больцмана. Линейность уравнения является следствием основного предположения, постулируемого в физике ядерных реакторов и физике защиты: плотность нейтронного газа много меньше плотности ядер среды. Другими словами, плотность концентрации нейтронов такова, что не учитываются столкновения между нейтронами и влияние распределения нейтронов по скоростям на распределение по скоростям ядер среды. Необходимо отметить, что такое предположение для реальных ядерных размножающих систем хорошо согласуется с опытными данными; влияние эффектов, связанных с нелинейностью уравнения, при необходимости рассматривается отдельно и вместе с учетом запаздывающих нейтронов, поскольку, как правило, такие задачи возникают при исследовании реакторных систем на устойчивость (см., например, [1,2]).
Пусть 
- среднее число нейтронов в элементе объема 
, включающем точку 
, с кинетической энергией 
(в электрон-вольтах) и направлениями, лежащими в телесном угле 
в момент времени 
. Таким образом, 
играет роль функции распределения нейтронов в точке 
и в момент времени по энергии и по направлениям движения нейтронов.
Среда, в которой осуществляется процесс переноса нейтронов, обычно характеризуется макроскопическими нейтронными сечениями
, [ см-1 ]; здесь 
- концентрация ядер 
- го изотопа в среде; 
- сечение ядерной реакции типа “b” с ядром - го изотопа. Полное макроскопическое сечение определяется тогда равенством
Функцию 
удобно представить в виде
здесь 
- микроскопически сечение упругого 
и неупругого 
рассеяния; 
- полное макроскопическое сечение захвата нейтронов ядрами среды.
Обозначив через 
как полное микроскопическое сечение - го изотопа, найдем представление полного макроскопического сечения в виде
;
здесь 
- полное микроскопическое сечение смеси изотопов.
Газокинетическое уравнение переноса представляет собой балансное соотношение, учитывающее ядерные взаимодействия нейтронов и движение нейтронов относительно ядер среды. Баланс нейтронов в элементе объема 
(Рис.1) выражается равенством:
(1)
здесь 
- скорость нейтрона; 
- число вторичных нейтронов, образовавшихся в ядерной реакции типа “b” на ядре - го изотопа; 
- функция распределения вторичных нейтронов по энергии E и направлениям движения ; 
- функция распределения нейтронов внешнего источника в момент времени t. Функция распределения предполагается нормированной следующим образом:
Остальные обозначения в выражении (1) общепринятые и очевидны из Рис.1. С учетом соотношения
приходим к уравнению Больцмана:
Производная 
представляет собой производную по направлению . Учитывая, что 
- направляющие косинусы орта , находим
Тогда уравнение баланса нейтронов в своей стандартной записи принимает вид:
(2)
Поскольку уравнение (2) содержит производные по времени и производные по пространственным 
переменным, необходимо добавить начальные и граничные условия.
Предположим, что процесс переноса нейтронов рассматривается в выпуклой ограниченной области 
с гладкой границей 
С точки зрения физики ядерных реакторов естественным является отсутствие падающего извне на границу потока нейтронов. Физический смысл этого условия заключается в том, что источники нейтронов, расположенные вне области , имеют пренебрежимо малую интенсивность по сравнению с интенсивностью нейтронного излучения в области , и нейтроны, покинувшие область , обратно не возвращаются. Необходимо отметить, что указанные предположения хорошо выполняются при решении задач реакторной физики.
Граничное условие математически корректно оформляется следующим образом. Пусть 
и 
- единичный вектор внешней нормали к поверхности 
в точке 
Пусть также 
-множество направлений внутрь области . Тогда граничное условие принимает вид:
(3)
Наконец, начальное условие
(4)
задает распределение нейтронов в области в момент времени 
Напомним, что задача (2)-(4) поставлена без учета запаздывающих нейтронов, которые играют решающую роль в реализации управляемой ядерной реакции деления. Такое предположение, не являющееся корректным с физической точки зрения, позволяет упростить задачу в математическом отношении с тем, чтобы результаты анализа более простой модели положить в основу исследования задачи с учетом запаздывающих нейтронов.