Математическая постановка задачи

Введем новую переменную где - некоторая характерная скорость нейтрона (например, наиболее вероятная скорость в максвелловском распределении нейтронного газа по скоростям с температурой T; , m-масса нейтрона) и выразим кинетическую энергию в безразмерных единицах

Тогда уравнение (2) можно записать в удобном для дальнейшего анализа виде:

(11)

здесь:

с начальным

и граничным

(12)

условиями. В уравнении (11), в отличие от уравнения (2), интеграл по всей энергетической оси заменен интегралом по конечному промежутку Такая замена произведена с целью упрощения анализа и не противоречит физическому смыслу энергетической переменной. Действительно, в спектре ядерного реактора почти полностью отсутствуют нейтроны с энергией E > 10 Mэв. Поэтому естественно принять, что энергия нейтронов ограничена сверху.

Перейдем к описанию рабочего пространства функций нашей задачи, что не является тривиальной задачей. С другой стороны, удачный выбор функционального пространства во многом предопределяет успех последующего анализа. Естественно, на первом этапе большую роль играет понимание физики процесса и априорная информация о гладкости процессов, входящих в уравнение. Дальнейшее уточнение структуры рабочего пространства функций производится в процессе анализа задачи с целью детализации свойств ее решения.

Поскольку ядерные плотности не определены на поверхностях раздела однородных зон (если таковые имеются) и на поверхности области , таким же свойством должны обладать функции , среди которых мы ищем решение задачи (11)-(12).

Не ограничивая общности рассмотрения, будем считать, что меры выше упомянутых областей равны нулю относительно меры области ; случай, когда меры поверхностей раздела зон отличны от нуля, не представляет интереса, поскольку он нереализуем на практике.

Итак, допустимые функции при каждом определены почти всюду в области

(13)

имеющей конечную меру, равную произведению мер области промежутка и множества направлений . При этом где - лебегова мера области .

Итак, в допустимом множестве должны содержаться функции, удовлетворяющие граничному условию (12) и функции такие, что на них имеет смысл оператор .

При построении рабочего пространства переменная играет роль параметра, однако зависимость от должна допускать существование при и, согласно уравнению (11), принадлежность этой производной области оператора .

Множество функций, удовлетворяющих вышеуказанным требованиям относительно переменных , содержится в хорошо известных лебеговых пространствах где - область изменения переменных , определяемая равенством (13); индекс представляет собой степень, с которой суммируется модуль функции по области . Напомним, что в функции, равные почти всюду относительно меры в области , считаются эквивалентными. С учетом этого множества пространств при представляют собой линейное пространство над полем комплексных чисел. Эти пространства полны относительно норм

то есть являются комплексными банаховыми пространствами.

Теперь можно определить рабочее пространство для рассматриваемой задачи как множество функций действительной переменной со значениями в банаховом пространстве , . Наличие нормы в пространстве позволяет естественным образом ввести понятие непрерывности и определить производную

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если

где предельный переход осуществляется в одном из пространств , .

Функция непрерывна на промежутке [0,T], если она непрерывна в каждой его точке (непрерывность в точке нуль понимается как непрерывность справа).

Определение 2. Если существует элемент такой, что

(14)

то называется производной функции в точке В случае предел в (14) находится справа. Нетрудно видеть, что если сушествует в каждой точке промежутка [0,T], то она сама является функцией со значениями в пространстве . Кроме того, функция , имеющая в производную, непрерывна в этой точке.

Включим в область определения оператора лишь те функции из , , которые удовлетворяют граничному условию. Пусть в каждом из пространств подмножество . Тогда рассматриваемая задача состоит в отыскании решения уравнения

(15)

с начальным условием

(16)

здесь и - функции из E со значениями в одном из подходящих пространств , причем при каждом ; напомним, что функции из удовлетворяют граничному условию.