Выше нестационарная задача переноса нейтронов без учета запаздывающих нейтронов была сформулирована как АЗК в банаховых пространствах 
. Далее необходимо установить, какими свойствами должны обладать оператор 
и область 
определения, чтобы решение АЗК существовало. Этим вопросам посвящена теория полугрупп операторов; ниже кратко будут изложены основные результаты этой теории применительно к АЗК (17). Установление перечня достаточных условий существования решений АЗК в банаховом пространстве одновременно представляет собой схему дальнейшего анализа АЗК (17).
Отметим, что частным случаем задачи (17) является задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
где 
- числовой коэффициент, которое имеет решение
(18)
По аналогии с (18) запишем формальное решение АЗК (17) в виде
(19)
В связи с записью (19) естественно возникает ряд вопросов, первым и наиболее важным из которых является следующий: как можно определить экспоненциальную функцию от оператора .
Определение 4. Семейство операторов 
называется полугруппой, если
(20)
Если сохранить за операторной функцией 
основное свойство экспоненты:
то согласно определению 4 семейство 
является полугруппой операторов и задача обоснования выражения (19) состоит в нахождении условий существования полугруппы 
. Эта задача решается просто, если оператор ограничен. Действительно, пусть 
- ограниченный оператор и 
при каком-либо 
. Тогда ряд
(21)
абсолютно сходится для любого комплексного 
, то есть сходится ряд 
следовательно, этот ряд является при каждом ограниченным оператором в 
и аналитической функцией параметра со значениями в пространстве ограниченных операторов.
Проверка полугруппового свойства (20) для ряда (21) формально проводится также, как и в числовом случае. В силу аналитичности по 
ряд (21) можно дифференцировать формально опять также, как в числовом случае. В результате находим
(22)
где производная понимается в смысле определения 2, но по норме в пространстве ограниченных операторов. Из соотношения (22) немедленно следует, что
(23)
для произвольного элемента 
. Если принять
(24)
то запись (23) будет означать, что функция (24) является решением АЗК (17) в случае ограниченного оператора 
при начальном условии 
.
Таким образом, в случае ограниченного оператора решение АЗК (17) действительно определяется выражением (19) для произвольного элемента , если положить
;
иными словами, решение выражается с помощью оператора полугруппы 
согласно выражения (21). Однако оператор в действительности не ограничен в 
, что будет строго доказано ниже. Тем не менее, уже на данном этапе анализа наличие в операторе производных по пространственным переменным позволяет допустить его неограниченность.
В этом случае обоснование решения вида (18) налагает на оператор достаточно сильные ограничения и проводится значительно сложнее. Идея остается прежней: необходимо корректно определить полугруппу (экспоненциальную функцию) операторов и убедиться в справедливости соотношения (23) уже не для произвольного элемента , а для 
.
Совершенно очевидно, что ряд (21) определения полугруппы не пригоден для неограниченного оператора , поскольку области определения операторов 
сужаются с ростом 
. По аналогии с числовым случаем можно пытаться использовать разложение
где предел понимается в смысле операторной нормы. Однако такое определение некорректно по той же причине, что и определение полугруппы согласно (21). Тем не менее, аналогия с числовым случаем и здесь оказывается эффективной - незначительное изменение последнего выражения, а именно
(25)
уже оказывается полезным. Действительно, при определенных условиях оператор 
является с точностью до постоянной резольвентой оператора , которая является голоморфной функцией в резольвентном множестве со значениями в пространстве ограниченных операторов в 
. Для того чтобы резольвента 
представляла собой непрерывный линейный оператор, определенный во всем пространстве 
, достаточно замкнутости оператора .
Будем считать далее: (А) Оператор замкнут; (В) Положительная вещественная полуось принадлежит резольвентному множеству оператора и резольвента 
удовлетворяет неравенству
Отсюда следует оценка
(26)
Поэтому операторнозначные функции
(27)
равномерно ограничены (
и голоморфны по 
>0. Кроме того, из свойств резольвенты вытекает, что функция 
сильно сходится к 
при 
то есть 
для любого элемента 
. Далее, чтобы убедиться в справедливости соотношения (25) в предположениях (А) и (В), необходимо, как и в простом числовом случае, установить существование предела последовательности 
при 
и убедиться, что этот предел представляет собой полугруппу. Это можно установить при дополнительном условии (А1): область определения 
оператора плотна в пространстве 
. Доказательство мы опускаем (см., например, [1]), поскольку оно связано с тонкими деталями, не относящимися к существу вопроса.
Итак, функция
, (28)
где подразумевается сильная сходимость, является полугруппой операторов со свойствами:
1. 
2. 
3. 
сильно непрерывна то есть функция 
непрерывна по 
в смысле нормы в при любом 
4. 
Здесь первое свойство есть просто определение полугруппы; второе свойство немедленно следует из (26) и существования предела (28); третье свойство также следует из факта сильной сходимости последовательности операторов (27), однако оно не столь очевидно, как первые два и требует аккуратного доказательства, которое мы предлагаем провести в качестве полезного упражнения читателю. Четвертое свойство, как и в случае ограниченного оператора (см. (23)), означает, что функция 
является решением АЗК (17) с неограниченным оператором , удовлетворяющим условиям (А) и (А1). Доказательство четвертого свойства мы также опускаем ввиду его трудоемкости (см., например, [1]).
Оператор называется производящим (инфинитезимальным) оператором полугруппы 
. Важно отметить, что полугруппа, порождаемая оператором в условиях (А), (А1), (В), единственна. Другими словами, решение АЗК (17), определяемое выражением 
единственно.
Для установления этого утверждения достаточно убедиться в справедливости выражения
(29)
которое устанавливает связь между резольвентой 
оператора и порождаемой им полугруппы . Интеграл в (29) следует понимать как несобственный интеграл Римана, то есть как сильный предел интегралов 
при 
Последний интеграл имеет смысл в силу непрерывности подинтегральной функции по 
(в силу свойства 3 полугруппы ). Предел
cуществует, поскольку 
Пусть 
- произвольный элемент из 
Тогда справедливо свойство 4 полугруппы , которое запишем в виде:
Интегрируя последнее выражение по 
находим:
Пусть далее 
Если 
то по условию, налагаемому на оператор , 
принадлежит резольвентному множеству, поэтому образом 
при отображении 
является все пространство. Следовательно, для произвольного элемента 
(30)
что совпадает с (29) для 
Но правая часть (30) аналитична для 
, поскольку справедлива оценка 
что устанавливает справедливость (29).
Из (29) в частности, следует, что полуплоскость принадлежит резольвентному множеству оператора и
Допустим теперь, что операторы 
порождают одну полугруппу 
Тогда из (29) следует равенство
которое означает не только совпадение резольвент операторов но и совпадение областей значений резольвент, представляющих собой области определения операторов 
Таким образом, 
и, следовательно, различные операторы порождают различные полугруппы.
Условия, наложенные на оператор , оказываются достаточными для того, чтобы оператор был инфинитезимальным оператором сильно непрерывной полугруппы 
с оценкой нормы 
Такая полугруппа называется сжимающей. Весь ход изложенных выше рассуждений показывает, что условия (А), (А1), (В) можно ослабить. Действительно, положим, что:
(А2) Оператор замкнут и имеет плотную в 
область определения;
(В1) Полубесконечный интервал 
принадлежит резольвентному множеству оператора и 
(31)
здесь 
– постоянная, не зависящая от 
Введем оператор 
, который удовлетворяет условиям (А2), (В1), но вместо (31) выполняется неравенство
Операторнозначные функции 
опять равномерно ограничены: 
и существует сильный предел 
который представляет собой полугруппу со свойствами 
Отсюда легко видеть, что полугруппа 
порождена оператором и удовлетворяет условиям
(32)
Эта полугруппа, возможно, не ограничена при 
остальные свойства, полученные выше для сжимающей полугруппы, сохраняются. Полученные результаты удобно сформулировать как
Теорема 1. Пусть оператор удовлетворяет условиям (А2), (В1). Тогда он является инфинитезимальным оператором сильно непрерывной полугруппы 
с оценкой нормы (32). При этом АЗК
имеет единственное решение: 
для любого элемента 
Замечание 1. Полугруппу 
из теоремы 1 называют полугруппой класса (С0). Далее будем пользоваться этой терминологией.
Замечание 2. Условия теоремы 1 относительно существования полугруппы получены нами как достаточные. На самом деле они также являются необходимыми. Этот важнейший в теории полугрупп результат носит название теоремы Хилле-Филлипса-Феллера-Миядеры.
Замечание 3. Условия (31) необходимо проверять при всех k=1,2,…. Может показаться, что достаточно выполнения условия 
однако это не так для 
, что подтверждается контрпримерами. С другой стороны, условие
(33)
более сильное, чем условие (31), о чем говорит рассмотрение, проведенное для сжимающей полугруппы.
На основе теоремы 1 можно наметить план дальнейшего анализа задачи. Ясно, что основное внимание необходимо уделить изучению свойств оператора в 
, пространствах, то есть ответить на следующие вопросы:
(i) Имеет ли смысл оператор на функциях из ;
(ii) Ограничен или нет оператор на ;
(iii) Какова структура множества в пространствах . В частности, выполняется ли условие 
(здесь 
- замыкание множества А); при каких значениях индекса 
оно справедливо;
(iv) Выполняется ли условие (31) или какой-либо из его более сильных вариантов.
Методические указания по изучению дисциплины:
1) Прочитать материалы лекции и составить краткий конспект
2) Ответить на вопросы:
· Запишите уравнение Больцмана
· Как характеризуется среда, в которой осуществляется процесс переноса нейтронов
· Какая подгруппа называется сжимающей
3) Дополнительные материалы по курсу доступны на платформе coursera по ссылке https://www.coursera.org/learn/nuclear-reactor-physics-basics#syllabus
4) Ответы и возникшие вопросы направить на адрес education-nr@mail.ru с пометкой «Теория переноса нейтронов» до 31.03.2020
5) Литература по курсу:
Макин Р.С. Нестационарная теория переноса.
Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов.
Дополнительная литература:
Макин Р.С. Нелинейные задачи теории реакторов. Газокинетическое уравнение.
Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана.
Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса
Литература доступна в ЭБС НИЯУ МИФИ
2. library.mephi.ru// (Электронно-библиотечная система НИЯУ МИФИ)
3. lanbook.com/ebs.php (Электронно-библиотечная система издательства «Лань»)