Текст к МЭ . «Лифт Эйнштейна».

Закон инерции является первым большим успе­хом в физике, фактически ее действительным нача­лом. Он был получен размышлением об идеализиро­ванном эксперименте, о теле, постоянно движущемся без трения и без воздействия каких-либо других внеш­них сил. Из этого примера, а позднее из многих других мы узнали о важности идеализированного эксперимента, созданного мышлением. Здесь тоже будут обсуждаться идеализированные эксперименты. Хотя они могут выглядеть и весьма фантастично, тем не менее они помогут нам понять в относительности столько, сколько это возможно с помощью наших простых методов.

Раньше у нас был идеализированный эксперимент с прямолинейно и равномерно движущейся комна­той. Здесь мы будем иметь дело с падающим лифтом.

13 А. Эйнштейн, Л. Инфельд

Представим себе огромный лифт на башне небо­скреба, гораздо более высокого, чем какой-либо из действительно построенных. Внезапно канат, поддер­живающий лифт, обрывается, и лифт свободно пада­ет по направлению к земле. Во время падения наблюдатели в лифте производят опыты. Описывая их, мы можем не заботиться о сопротивлении воздуха или трении, потому что в наших идеализированных условиях можно пренебречь их наличием. Один из наблюдателей вынимает платок и часы из своего кармана и выпускает их из рук. Что происходит с этими предметами? Для внешнего наблюдателя, который смотрит через окно лифта, и платок и часы падают по направлению к земле с одинаковым уско­рением. Мы помним, что ускорение падающих тел со­вершенно независимо от их масс, и это было тем фак­том, который обнаружил равенство тяжелой и инерт­ной масс (стр. 39). Мы помним также, что равенст­во двух масс — тяжелой и инертной — с точки зрения классической механики было совершенно случайным фактом и не играло никакой роли в ее структуре. Однако здесь это равенство, отражен­ное в равенстве ускорения всех падающих тел, су­щественно и составляет основу всех наших рас­суждений.

Вернемся к падающему платку и часам; для внеш­него наблюдателя оба предмета падают с одина­ковым ускорением. Но таково же ускорение и лифта, его стен, пола и потолка. Поэтому расстояние между обоими телами и полом не изменится. Для внутреннего наблюдателя оба тела остаются точно там же, где они были в тот момент, когда наблюдатель вы­пустил их из рук. Внутренний наблюдатель может игнорировать поле тяготения, так как источник послед­него лежит вне его системы координат. Он находит, что никакие силы внутри лифта не действуют на оба тела, и таким образом они остаются в покое, как если бы они находились в инерциальной системе. Стран­ные вещи происходят в лифте! Если наблюдатель толкает тело в каком-либо направлении, например вверх или вниз, то оно всегда движется прямолинейно

и равномерно, пока не столкнется с потолком или по­лом лифта. Короче говоря, законы классической ме­ханики справедливы для наблюдателя внутри лифта. Все тела ведут себя так, как следовало ожидать по закону инерции. Наша новая система координат, жестко связанная со свободно падающим лифтом, отли­чается от инерциальной системы лишь в одном отно­шении. В инерциальной системе координат движущее­ся тело, на которое не действуют никакие силы, будет вечно двигаться прямолинейно и равномерно. Инерциальная система координат, рассматриваемая в клас­сической физике, не ограничена ни в пространстве, ни во времени. Однако рассматриваемый случай с наблюдателем, находящимся в лифте, иной. Инерциальный характер его системы координат ограничен в про­странстве и времени. Рано или поздно прямолинейно и равномерно движущееся тело столкнется со стен­ками лифта; при этом прямолинейное и равномерное движение нарушится. Рано или поздно весь лифт столкнется с землей, уничтожив наблюдателей и их опыты. Эта система координат является лишь «кар­манным изданием» реальной инерциальной системы.

Этот локальный характер системы координат весь­ма существен. Если бы наш воображаемый лифт до­стигал размеров от Северного полюса до экватора и платок был бы помещен на Северном полюсе, а часы на экваторе, то для внешнего наблюдателя оба тела не имели бы одинакового ускорения; они не были бы в покое друг относительно друга. Все наши рассужде­ния потерпели бы крушение! Размеры лифта должны быть ограничены так, чтобы можно было предполо­жить равенство ускорений всех тел по отношению к внешнему наблюдателю.

С этим ограничением система координат, связан­ная с падающим лифтом, инерциальна для внутрен­него наблюдателя. По крайней мере мы можем ука­зать систему координат, в которой справедливы все физические законы, хотя она и ограничена во време­ни и пространстве. Если мы вообразим другую систе­му координат, другой лифт, движущийся прямолиней­но и равномерно относительно свободно падающего,

то обе эти системы координат будут локально инерциальными. Все законы совершенно одинаковы в обе­их системах. Переход от одной системы к другой дается преобразованием Лоренца.

Посмотрим, каким путем оба наблюдателя, внеш­ний и внутренний, описывают то, что происходит в лифте.

Внешний наблюдатель замечает движение лифта и всех тел в нем и находит его соответствующим за­кону тяготения Ньютона. Для него движение являет­ся не равномерным, а ускоренным вследствие дейст­вия поля тяготения земли.

Однако поколение физиков, рожденное и воспи­танное в лифте, рассуждало бы совершенно иначе. Оно было бы уверено в том, что оно обладает инерциальной системой, и относило бы все законы приро­ды к своему лифту, заявляя с уверенностью, что за­коны принимают особенно простую форму в их системе координат. Для них было бы естественным считать свой лифт покоящимся и свою систему коор­динат инерциальной.

Невозможно установить принципиальное различие между внешним и внутренним наблюдателями. Каждый из них мог бы претендовать на право отнести все события к своей системе координат. Оба описания со­бытий можно было бы сделать одинаково последовательными.

Из этого примера мы видим, что последовательное описание физических явлений в двух различных сис­темах координат возможно, даже если они не дви­жутся прямолинейно и равномерно друг относитель­но друга. Но для такого описания мы должны при­нять во внимание тяготение, создающее, так сказать, «мост», позволяющий перейти от одной системы координат к другой. Поле тяготения существует для вне­шнего наблюдателя, для внутреннего наблюдателя оно не существует. Ускоренное движение лифта в по­ле тяготения существует для внешнего наблюдателя, для внутреннего же наблюдателя — покой и отсут­ствие поля тяготения. Но «мост», то есть поле тяго-

тения, делающее описание в обеих системах коорди­нат возможным, покоится на одной очень важной опоре: эквивалентности тяжелой и инертной масс. Без этой руководящей идеи, ос­тавшейся незамеченной в класси­ческой механике, наши тепереш­ние рассуждения полностью отпа­ли бы.

Возьмем несколько иной идеализированный эксперимент. Пусть имеется инерциальная система координат, в которой справедлив закон инерции. Мы уже описывали то, что происходит в лифте, покоящемся в такой инерциаль­ной системе. Но теперь мы изме­ним картину. Кто-то извне привязал к лифту канат и тянет его с постоянной силой в направле­нии, указанном на рисунке 64.

рис. 64.

Неважно, как это осуществлено. Так как законы механики справедливы в этой систе­ме координат, то лифт в целом движется с постоян­ным ускорением в направлении движения. Будем опять слушать объяснения явлений, происходящих в лифте, даваемые внешним и внутренним наблюда­телями.

Внешний наблюдатель. Моя система координат инерциальна. Лифт движется с постоянным ускоре­нием, потому что подвергается воздействию постоян­ной силы. Наблюдатели внутри лифта находятся в абсолютном движении, для них законы механики несправедливы. Они не находят, что тела, на которые не действуют силы, покоятся. Если тело остается сво­бодным, оно скоро столкнется с полом лифта, так как пол движется вверх по направлению к телу. Это происходит одинаково и с часами и с платком. Мне кажется очень странным, что наблюдатель внутри лифта должен всегда быть на «полу», потому что, как только он прыгнет, пол достигнет его вновь.

Внутренний наблюдатель. Я не вижу какого-либо основания считать, что мой лифт находится в абсо­лютном движении. Я согласен, что моя система коор­динат, жестко связанная с лифтом, фактически не инерциальна, но я не думаю, что это имеет какое-то отношение к абсолютному движению. Мои часы, платок и все тела падают потому, что лифт в целом находится в поле тяготения. Я замечаю движение точно такого же рода, как и человек на Земле. Он объясняет его очень просто — действием поля тяготения. Такое же объяснение подходит и для меня.

Эти два описания — одно данное внешним, а дру­гое внутренним наблюдателем — вполне после­довательны, и нет возможности решить, какое из них правильно. Мы можем принять любое из них для описания явлений в лифте: либо вместе с внешним наблюдателем принять неравномерность движения и отсутствие поля тяготения, либо вместе с внутренним наблюдателем принять покой и наличие поля тяго­тения.

Внешний наблюдатель может предположить, что лифт находится в «абсолютном» неравномерном движении. Но движение, которое уничтожается пред­положением о действии поля тяготения, не может считаться абсолютным.

Возможно, что имеется выход из неопределенно­сти, созданной наличием двух различных описаний, и, может быть, можно было бы вынести решение в пользу одного и против другого. Представим себе, что световой луч входит в лифт горизонтально через боковое окно и спустя очень короткое время дости­гает противоположной стены. Посмотрим, каковы бу­дут предсказания обоих наблюдателей относительно пути луча.

Внешний наблюдатель, который считает, что лифт находится в ускоренном движении, утверждал бы: световой луч входит в окно и движется горизонталь­но вдоль прямой с постоянной скоростью по направ­лению к противоположной стене. Но лифт движется

вверх, и за время, в течение которого свет доходит к стене, лифт изменит свое положение. Поэтому свет упадет в точку, расположенную не точно напротив точки его входа, а немного ниже (рис. 65).

рис. 65.

Смещение будет очень небольшим, но тем не менее оно сущест­вует, и световой луч проходит от­носительно лифта не вдоль пря­мой, а вдоль слабо искривлен­ной линии. Это вызвано тем, что за то время, когда луч пересека­ет внутренность лифта, сам лифт смещается на некоторое расстоя­ние.

Внутренний наблюдатель, ко­торый считает, что на все объек­ты в лифте действует поле тяго­тения, сказал бы: ускоренного движения лифта нет, а есть лишь действие поля тяготения. Луч света невесом и потому не бу­дет подвергаться действию поля тяготения. Если его направить горизонтально, он упадет на стену в точке как раз напротив той, в которую он вошел

Из этого обсуждения следует, что имеется воз­можность выбора одной из двух противоположных точек зрения, так как явление различалось бы для обоих наблюдателей. Если ни в одном из только что указанных объяснений нет ничего нелогичного, то все наши предыдущие рассуждения нарушаются, и мы не можем последовательно описывать все явления дву­мя методами, либо принимая поле тяготения, либо отказываясь от него.

Но, к счастью, в рассуждениях внутреннего на­блюдателя имеется серьезная ошибка, спасающая на­ши предыдущие заключения. Он сказал: «Луч света невесом и потому не будет подвергаться действию поля тяготения». Но это неверно! Луч света несет энергию, а энергия имеет массу. Но на всякую инерт­ную массу поле тяготения оказывает воздействие,

так как инертная и тяжелая массы эквивалентны. Луч света будет искривляться в поле тяготения точно так же, как искривляется траектория тела, брошенно­го горизонтально со скоростью, равной скорости све­та. Если бы внутренний наблюдатель рассуждал строго и принял бы во внимание искривление свето­вых лучей в поле тяготения, то его выводы были бы точно такими же, как и выводы внешнего наблюда­теля.

Поле тяготения Земли, конечно, очень слабо для того, чтобы искривление светового луча в нем можно было обнаружить непосредственно экспериментом. Но известные опыты, проделанные во время солнеч­ных затмений, убедительно, хотя и косвенно, пока­зывают влияние поля тяготения на путь светового луча.

Из этих примеров следует, что имеется вполне обоснованная надежда сформулировать релятивист­скую физику. Но для этого мы должны сначала раз­решить проблему тяготения.

Мы видели на примере с лифтом последователь­ность двух описаний. Можно предположить наличие неравномерности движения, а можно этого не делать. Мы можем исключить из наших примеров «абсолют­ное» движение с помощью поля тяготения. Но тогда в неравномерном движении нет ничего абсолютного. Поле тяготения в состоянии полностью его уничто­жить.

Призраки абсолютного движения и инерциальной системы координат могут быть исключены из физики, и может быть построена новая релятивистская физи­ка. Наши идеализированные опыты показывают, как тесно связана проблема общей теории относительнос­ти с проблемой тяготения и почему эквивалентность тяжелой и инертной масс так существенна для этой связи. Ясно, что решение проблемы тяготения в об­щей теории относительности должно отличаться от ньютоновского. Законы тяготения, так же как и все законы природы, должны быть сформулированы для всех возможных систем координат, в то время как

законы классической механики, сформулированные Ньютоном, справедливы лишь в инерциальных систе­мах координат.

Приложение 6.

Текст к МЭ6. ЭПР-эксперимент.

« 1.8. Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена (1935)

Спор Альберта Эйнштейна с Нильсом Бором окончил­ся на Сольвеевском конгрессе 1930 года победой Бора, од­нако Эйнштейн продолжал искать аргументы в пользу своего мнения, то есть не против квантовой механики как тако­вой, но против той ее формы, которую предложил и отста­ивал Бор, против копенгагенской интерпретации. Кроме ве­роятностной интерпретации, Эйнштейна тревожил принцип неопределенности. И вот в 1935 году он в соавторстве с По­дольским и Розеном опубликовал работу, в которой попытался доказать, что квантовая механика, включающая принцип неопределенности, не может быть полной теорией. Эта работа строилась вокруг некоторого мысленного эксперимента, который приводил к выводам, казавшимся авторам работы па­радоксальными. Эти выводы активно обсуждались в течение многих лет после выхода работы и получили название пара­докса Эйнштейна-Подольского-Розена, или парадокса ЭПР.

р1 р2 q1 0 q2

. р2 q¢ 0

. р¢ q¢ 0

Рис. 17. Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена. Перед измере­нием q₂ = —q₁, р₂ = р₁ измерение дает q₁ = q', p₂ = р^¢. В резуль­тате координата и импульс первой частицы точно известны: q₁ = q', p₁ = р^¢. Но это невозможно в силу принципа неопределенностей.

Опыт, предложенный авторами, включал две точечные ча­стицы, которые приводились в определенное состояние, а за­тем производились измерения над этими частицами. Состоя­ние двух частиц описывается волновой функцией ѱ (q₁, q₂). за­висящей от координат (q₁, q₂) обеих этих частиц. Требовалось, чтобы эта функция зависела лишь от суммы этих координат, ѱ (q₁, q₂) = f(q₁ + q₂), причем функция одной переменной f(x) представляла собой очень узкий пик в точке 0. В этом случае волновая функция ѱ (q₁, q₂)отлична от нуля лишь тогда, когда сумма координат двух частиц q₁ + q₂ равна нулю. Это значит, что в том состоянии двух частиц, которое описывается дан­ной волновой функцией, координата одной частицы равна по величине и противоположна по знаку координате второй ча­стицы, q₁ = —q₂.

Если по правилам квантовой механики перейти от коор­динатного представления к импульсному, то есть построить волновую функцию в импульсном представлении, ѱ (p₁, p₂), то окажется, что она имеет вид ѱ (p₁, p₂)= f(p₁ + p₂), где f(x) — очень узкий пик в нуле. Это значит, что разность импульсов двух частиц р₁ — р₂ равна нулю, то есть импульсы двух частиц равны друг другу, р₁ = р₂.

Итак, мы имеем дело с таким состоянием двух частиц, в котором координаты этих частиц проти­воположны, а импульсы равны (рис 1.7 слева).

Это означает, что координату первой частицы можно най­ти, измеряя координату второй частицы. То же касается и им­пульса: импульс первой частицы можно найти, измеряя им­пульс второй частицы. Это и приводило к парадоксу, к кажу­щемуся противоречию с принципом неопределенности.

Работу ЭПР понять непросто, логика рассуждений в ней очень тонкая. Попробуем упростить эту логику, рассуждая несколько иначе, но по существу эквивалентно.

Предположим, что в состоянии, предложенном ЭПР (ко­торое только что описано), производится измерение коорди­наты одной из частиц и импульс второй из них. Пусть при из­мерении координаты (первой частицы) получился результат q', а при измерении импульса (второй частицы) результат р'. Но ведь в состоянии, которое было до измерения, сумма коор­динат двух частиц и разность их импульсов равны нулю. По­этому, рассуждая наивно, можно считать, что результат изме­рения координаты первой частицы дает нам одновременно и знание координаты второй, а измерение импульса второй ча­стицы дает сведения и об импульсе первой. Итак, измерение показывает, что координата и импульс первой частицы равны (q', р'), а координата и импульс второй частицы (—q', р'). Та­ким образом, такое наивное рассуждение приводит к выводу о том, что после проведенных измерений мы знаем точное зна­чение и координаты, и импульса каждой из двух частиц, что противоречит принципу неопределенности Гейзенберга.

На самом деле, конечно, не стоит думать, что это наивное рассуждение справедливо и тем самым принцип неопределен­ности опровергнут. Напротив, поскольку принцип неопределенности является неотъемлемой чертой квантовой механики (подтверждается многими экспериментами), то следует сде­лать вывод, что такое наивное рассуждение некорректно.

Давайте уточним, какой именно элемент этого рассужде­ния оказывается некорректным и приводит к ошибке. Ключевой (на самом деле некорректный) элемент рассуждения со­стоит в следующем. Если мы измеряем импульс второй части­цы и получаем величину р', то это значит, что импульс первой частицы тоже равен р'. Это на самом деле неверно. Верно бо­лее слабое утверждение: если измерение импульса второй ча­стицы дало величину р', то измерение импульса первой части­цы с вероятностью 1 (то есть вполне достоверно) даст вели­чину р' Итак, верно, что измерение импульса первой частицы даст р'. Неверно, что импульс первой частицы равен р'.

Почему нам наивно кажется, что это одно и то же? Потому что мы пользуемся классическим понятием реальности. Ведь в классической теории (к которой мы привыкли, и на кото­рой выросла наша интуиция) то, что мы получаем при изме­рении, реально существовало и до измерения. При измерении мы лишь получаем информацию о реально существующем, но ни в какой мере не меняем реальность. Вот это-то казалось бы очевидное понимание реальности и измерения в квантовой механике не имеет места. В квантовой механике реальность творится при измерении.

Именно на эти очень тонкие различия в классическом и квантовом понимании реальности обратили внимание Эйн­штейн, Подольский и Розен (в несколько иной формулировке). Они пришли к заключению, что квантовая механика неполна в том смысле, что она не включает «элементы реаль­ности» (читай — не включает реальность в классическом ее понимании). Различия между классическим и квантовым по­ниманием реальности стали очень актуальными в последние десятилетия.

Вывод ЭПР о неполноте квантовой механики (в смыс­ле включения элементов реальности) был назван парадоксом ЭПР и чрезвычайно часто обсуждался в литературе. Впослед­ствии мысленный эксперимент, предложенный ЭПР, был мо­дифицирован Давидом Бомом так, что стал более наглядным. В этой модификации частица спина 0 (спин — это «внутрен­ний момент вращения» частицы) распадалась на две частицы спина 1/2, а затем у этих частиц измерялись проекции спина на те или иные оси.

Если измерялись проекции на одну и ту же ось (скажем, ось z), то возникала корреляция: если проекция первой части­цы при измерении оказывается равной +1/2, то проекция вто­рой обязательно окажется равна -1/2 (это следует из сохране­ния суммарной проекции спина и того факта, что до измере­ния она равна нулю).

Парадокс возникал, когда измерялись проекции спина на ортогональные оси: скажем, проекция первой частицы на ось z, а проекция второй частицы — на ось х. В этом случае, если сделать предположение о том, что измеряемые значения про­екций спина являются элементами реальности, то оказывает­ся, что мы имеем возможность определить одновременно про­екции спина частицы на две ортогональные оси. Но кванто­вая механика утверждает, что это сделать невозможно. Значит, квантовая механика неполна»[21].

Приложение 7.

Мах Э. Умственный эксперимент [22]