Интервальный вариационный ряд

1.2. Графическое изображение вариационных рядов

Графическое изображение вариационных рядов позволяет представить приближенно законы распределения случайной величины X: дифференциальную и интегральную функции распределения. Вариационные ряды могут быть изображены в виде полигона, гистограммы и комулятивной кривой (комуляты).

1.2.1. Полигон и гистограмма

Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда. Для построения полигона (полигона относительных частот) на оси абсцисс откладывают значения вариант x_i, а на оси ординат относительные частоты w_i = m_i / n. Точки (x_i,w_i) соединяют отрезками прямых. Крайние левую и правую точки соединяют соответственно с точками, изображающими варианты, ближайшей снизу к x_min (точка А) и ближайшей сверху к x_max (точка В) (см. рис. 1.1.)

Пример 3. Построить полигон для ряда, статистический закон распределения представлен в табл.2.3.

Таблица 2.3.

Статистический закон распределения

Полигон представлен на рис.2.1.

Рис.1.1. Полигон дискретного вариационного ряда

Гистограмма служит для изображения только интервального вариационного ряда. Для построения гистограммы (гистограммы относительных частот) на оси абсцисс откладывают частичные интервалы и на них, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами, равными w_i / h. Здесь w_i / h называют плотностью относительной частоты. В результате получается ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, которая и называется гистограммой. Площадь гистограммы равна единице.

Пример 4. Построить гистограмму для ряда из табл.2.2. Значения относительной плотности представлены в табл.2.4.

Таблица 2.4.

Значения относительной плотности частот

Гистограмма для данного ряда представлена на рис.2.2.

Рис.1.2. Гистограмма

Иногда интервальный ряд изображают с помощью полигона. В этом случае интервалы заменяют их серединными значениями и к ним относят интервальные частоты. Для полученного дискретного ряда строят полигон. Полигон изображен на рис.1.2. ломаной линией.

1.2.2. Кумулятивная кривая

Кумулятивная кривая (кривая накопленных относительных частот) строится следующим образом. Если вариационный ряд дискретный, то в прямоугольной системе координат строят точки (x_i,w_i^нак) и соединяют их отрезками; где

, (2.4)

причем m_i^нак - накопленная частота, т.е. сумма частот вариант x, удовлетворяющих условию x £ x_i. Для вариационного ряда

, (2.5)

Пример 5. Построить комуляту для ряда из табл.2.1. Значения накопленных частот представлены в табл.2.5., а комулята на рис.2.3.

Таблица 2.5.

Относительные частоты

Рис.2.3. Кумулятивная кривая

Если вариационный ряд интервальный, то по оси абсцисс откладывают интервалы. Верхним границам интервалов соответствуют накопленные частоты, нежней границе первого интервала - накопленная частота, равная нулю. Значения накопленных частот для интервального ряда из табл.2.2. представлены в табл.2.6., а комулята представлена на рис. 2.4.

Таблица 2.6.

Накопленные относительные частоты

Рис.1.4. Кумулятивная кривая для интервального ряда

Таким образом, полигон и гистограмма являются приближением к графику дифференциальной функции распределения случайной величины X, а комулята - интегральной функции распределения для X.

1.2 Точечные оценки параметров распределения

Законы распределения случайной величины полностью ее описывают, однако на практике закон распределения не всегда может быть найден, кроме этого при решении многих практических задач нет необходимости характеризовать случайную величину исчерпывающим образом, а достаточно указать только отдельные числовые характеристики, которые определяют существенные черты распределения случайной величины.

Характеристики распределения случайной величины X оценивают посредством характеристик выборки (характеристик вариационных рядов), которые при увеличении n сходятся по вероятности к соответствующим характеристикам X, и при достаточно большом n могут быть приближенно равными им [1 - 5].

К основным несмещенным и состоятельным оценкам [1 - 3] относятся характеристики вариационных рядов: выборочная средняя - `x, исправленная дисперсия - S^*2, среднее квадратичное отклонение - S^*, коэффициент вариации - V, размах вариации - R, асимметрия - A_s, эксцесс - E_x, которые определяются по следующим формулам.

Средняя арифметическая - `x

(2.6)

или

(2.7)

Дисперсия - S^*2

(2.8)

или

(2.9)

Среднее квадратичное отклонение (эмпирический стандарт) - S^*

S^* = = (2.10)

или

S^* = (2.11)