Функция одного случайного аргумента

PC] Если каждому возможному значению с. в. X по определенному пра-

вилу соответствует одно возможное значение с. в. У, то У называют функцией случайного аргумента X, записывают У = <р{Х).

Пусть X — д. с. в. с возможными значениями Х\_УХ2, £3, ■.., х_п, ве­роятности которых равны соответственно рьр2>рз» • ■ •,Рт т. е. р_г = = Р{Х = Zj}, % = 1,2,3,...,п. Очевидно, что с.в. У = <р{Х) так­же д.с. в. с возможными значениями у\ = <р(х 1), у₂ = <р(х₂), yz ~ = </?(жз),...,у_п — tpixn), вероятности которых равны соответственно РъР2,Рз,. • •,Рп> т.е. если у* = (p(xi), то р_{ = P{Y = у_{} = Р{Х = х_г}, г = 1, га.

Отметим, что различным значениям с. в. X могут соответствовать одинаковые значения с. в. У. В этом случае вероятности повторяющих­ся значений следует складывать.

Математическое ожидание и дисперсия функции У = <р(Х) опреде­ляются соответственно равенствами

п п

MY = DY = - m_y)²pi.

1=1 t-1

Пример 4.1. Задан закон распределения д. с. в. X:

Найти МУ, если: а) У = X², б) У = 2Х + 10.

Q а) С.в. У принимает значения yi = = (—l)² = 1, у₂ = l² =

= 1, уз = 2² = 4, т. е. она принимает два значения: 1 и 4, причем pi = P{Y = 1} = Р{Х = -1} + Р{Х = 1} = 0,1 + 0,3 = 0,4, р₂ = = P{Y = 4} = Р{Х = 2} = 0,6. Следовательно, МУ = 1 • 0,4 + 4 • 0,6 = =• 2,8.

б) Закон распределения У имеет вид

Значит, MY = 8 ■ 0,1 + 12 • 0,3 + 14 • 0,6 = 12,8. •

Пусть X — непрерывная с. в. с плотностью распределения /(ж), а с. в. У есть функция от X, т. е. У = ¥>(Х). Найдем закон распределе­ния с. в. У. Будем считать функцию У = <р(Х) непрерывной, строго возрастающей и дифференцируемой в интервале (а, Ь) (он может быть бесконечным: (—оо, оо)) всех возможных значений с. в. X. Тогда суще­ствует функция а; = t/>(y), обратная функции у = <р(^х) (случайная точка (X, У) лежит на кривой у = у>(х)). Функция распределения Gy{y) (ее можно обозначить и так: G{y), Fy(y) или Fy(x)) с. в. У определяется по формуле G(y) = Р{У < у}. И так как событие {У < у} эквивалентно событию {X <ф{у)} (рис. 46), то

■ф{у)

G(y) = P{Y <у} = Р{Х <iP(y)} = F_x(iP(y))= J f(x)dx, т.е.

а

Ш

G(y)= J f(x)dx.

Дифференцируя полученное равенство по у, найдем плотность распре­деления с. в. Y:

»(») = ^ = / Wv)) ■ щ М у)) = /№Ы) • «Ч»),

т. е.

sM = /WMW'(tf). (4-1)

Если функция у = ip(x) в интервале (a, b) строго убывает, то событие {Y < у) эквивалентно событию {X > ф(у)}- Поэтому

G(y)= J f(x)dx = ~ J f(x)dx.

V>(y) ь

Отсюда следует, что

9(у) = -f(1>(vW{y)- (4.2)

Учитывая, что плотность распределения не может быть отрицательной, формулы (4.1) и (4.2) можно объединить в одну

9(у) = КФ(у)М(у) (4.3)

И, наконец, если функция у = ip(x) немонотонна в интервале (а, 6), то для нахождения д(у) следует разбить интервал на п участков монотон­ности, найти обратную функцию на каждом из них и воспользоваться формулой

а(») = Ё/№(»)) W(y) I- (4-4)

1=1

Если с. в. X является непрерывной и f(x) — плотность ее распреде­ления, то для нахождения числовых характеристик с. в. У = <р(Х) необязательно находить закон ее распределения, можно пользоваться

—00

оо

(4.5)

DY = D{<p(X)) = J (<p{x)-m_y)²f(x)dx.

Пример 4.2. Найти плотность распределения функции Y = —5Х + 2, считая X н,с. в. с плотностью f(x).

Q Функция у = —Ьх -f 2 монотонно убывает в интервале (—оо, оо).

1 1 Обратная функция есть х = ^(2 — у) = ф{у), Ф'(у) = — По форму­ле (4.3) имеем <?(у) = / (^у^) ' \~Ц = (пГ^)' ^{у е} •

Проиллюстрируем на примере 4.2 вывод формул для функции и плотности распределения:

G(y) = P{Y <у}= Р{~ 5Х + 2 < у} = Р {х > ² =

2 -у

так как Р j X = ^Д j - 0, т. е. <7(у) = 1 — Fx ~ Функция

распределения с. в. Y. Тогда

т. е. д(у) = i/ (^Tf^) > 2/ G (-00, 00).

Отметим, что линейное преобразование У = аХ + b не меняет ха­рактера распределения: из нормальной с. в. получается нормальная; из равномерной — равномерная.

Q Пример 4.3. Пусть с. в. X имеет равномерное распределение в интер­вале т^ • Найти математическое ожидание с. в. Y = cos X: а) най­дя плотность д(у); б) не находя д{у).

О а) Имеем:

{ _ 7Г 7Г Л

V 2'2У'

о, **(-f,f).

В интервале функция у = cos х не монотонна: в If? о) функ­

ция возрастает, в ^0, ^ — убывает. На первом участке обратная функ­ция х\ = — arccosу = ф\(у), на втором — х-2 = arccosу = ^(у)- По формуле (4.4) имеем

1 ^ с

9(у) =!Ш у)) Ш у)\ + /№г(у)м(у)| -