PC] Если каждому возможному значению с. в. X по определенному пра-
вилу соответствует одно возможное значение с. в. У, то У называют функцией случайного аргумента X, записывают У = <р{Х).
Пусть X — д. с. в. с возможными значениями Х\УХ2, £3, ■.., хп, вероятности которых равны соответственно рьр2>рз» • ■ •,Рт т. е. рг = = Р{Х = Zj}, % = 1,2,3,...,п. Очевидно, что с.в. У = <р{Х) также д.с. в. с возможными значениями у\ = <р(х 1), у2 = <р(х2), yz ~ = </?(жз),...,уп — tpixn), вероятности которых равны соответственно РъР2,Рз,. • •,Рп> т.е. если у* = (p(xi), то р{ = P{Y = у{} = Р{Х = хг}, г = 1, га.
Отметим, что различным значениям с. в. X могут соответствовать одинаковые значения с. в. У. В этом случае вероятности повторяющихся значений следует складывать.
Математическое ожидание и дисперсия функции У = <р(Х) определяются соответственно равенствами
п п
MY = DY = - my)2pi.
1=1 t-1
Пример 4.1. Задан закон распределения д. с. в. X:
| X | -1 | ||
| р | од | 0,3 | 0,6 |
Найти МУ, если: а) У = X2, б) У = 2Х + 10.
Q а) С.в. У принимает значения yi = = (—l)2 = 1, у2 = l2 =
= 1, уз = 22 = 4, т. е. она принимает два значения: 1 и 4, причем pi = P{Y = 1} = Р{Х = -1} + Р{Х = 1} = 0,1 + 0,3 = 0,4, р2 = = P{Y = 4} = Р{Х = 2} = 0,6. Следовательно, МУ = 1 • 0,4 + 4 • 0,6 = =• 2,8.
б) Закон распределения У имеет вид
| У | |||
| Р | од | 0,3 | 0,6 |
Значит, MY = 8 ■ 0,1 + 12 • 0,3 + 14 • 0,6 = 12,8. •
Пусть X — непрерывная с. в. с плотностью распределения /(ж), а с. в. У есть функция от X, т. е. У = ¥>(Х). Найдем закон распределения с. в. У. Будем считать функцию У = <р(Х) непрерывной, строго возрастающей и дифференцируемой в интервале (а, Ь) (он может быть бесконечным: (—оо, оо)) всех возможных значений с. в. X. Тогда существует функция а; = t/>(y), обратная функции у = <р(х) (случайная точка (X, У) лежит на кривой у = у>(х)). Функция распределения Gy{y) (ее можно обозначить и так: G{y), Fy(y) или Fy(x)) с. в. У определяется по формуле G(y) = Р{У < у}. И так как событие {У < у} эквивалентно событию {X <ф{у)} (рис. 46), то
|
■ф{у)
G(y) = P{Y <у} = Р{Х <iP(y)} = Fx(iP(y))= J f(x)dx, т.е.
а
Ш
G(y)= J f(x)dx.
Дифференцируя полученное равенство по у, найдем плотность распределения с. в. Y:
»(») = ^ = / Wv)) ■ щ М у)) = /№Ы) • «Ч»),
т. е.
sM = /WMW'(tf). (4-1)
Если функция у = ip(x) в интервале (a, b) строго убывает, то событие {Y < у) эквивалентно событию {X > ф(у)}- Поэтому
G(y)= J f(x)dx = ~ J f(x)dx.
V>(y) ь
Отсюда следует, что
9(у) = -f(1>(vW{y)- (4.2)
Учитывая, что плотность распределения не может быть отрицательной, формулы (4.1) и (4.2) можно объединить в одну
9(у) = КФ(у)М(у) (4.3)
И, наконец, если функция у = ip(x) немонотонна в интервале (а, 6), то для нахождения д(у) следует разбить интервал на п участков монотонности, найти обратную функцию на каждом из них и воспользоваться формулой
а(») = Ё/№(»)) W(y) I- (4-4)
1=1
Если с. в. X является непрерывной и f(x) — плотность ее распределения, то для нахождения числовых характеристик с. в. У = <р(Х) необязательно находить закон ее распределения, можно пользоваться
—00
оо
(4.5)
| ч |
DY = D{<p(X)) = J (<p{x)-my)2f(x)dx.
Пример 4.2. Найти плотность распределения функции Y = —5Х + 2, считая X н,с. в. с плотностью f(x).
Q Функция у = —Ьх -f 2 монотонно убывает в интервале (—оо, оо).
1 1 Обратная функция есть х = ^(2 — у) = ф{у), Ф'(у) = — По формуле (4.3) имеем <?(у) = / (^у^) ' \~Ц = (пГ^)' у е •
Проиллюстрируем на примере 4.2 вывод формул для функции и плотности распределения:
G(y) = P{Y <у}= Р{~ 5Х + 2 < у} = Р {х > 2 =
2 -у
так как Р j X = ^Д j - 0, т. е. <7(у) = 1 — Fx ~ Функция
распределения с. в. Y. Тогда
т. е. д(у) = i/ (^Tf^) > 2/ G (-00, 00).
| формулами оо MY = М(<р(Х)) = J ip(x)f(x)dx, |
Отметим, что линейное преобразование У = аХ + b не меняет характера распределения: из нормальной с. в. получается нормальная; из равномерной — равномерная.
Q Пример 4.3. Пусть с. в. X имеет равномерное распределение в интервале т^ • Найти математическое ожидание с. в. Y = cos X: а) найдя плотность д(у); б) не находя д{у).
О а) Имеем:
{ _ 7Г 7Г Л
V 2'2У'
о, **(-f,f).
В интервале функция у = cos х не монотонна: в If? о) функ
ция возрастает, в ^0, ^ — убывает. На первом участке обратная функция х\ = — arccosу = ф\(у), на втором — х-2 = arccosу = ^(у)- По формуле (4.4) имеем
1 ^ с
| + 1 ^ 7г |
9(у) =!Ш у)) Ш у)\ + /№г(у)м(у)| -
| у/1-У' |
| Kyjl — у2 |
\Л -г
т.е.
При 0 < J/ < 1,
= ^ ТГд/1 - у2
0, при у < 0 или у ^ I.
Тогда
оо 1
МГ
т.е. МУ =
б) Используем формулу (4.5):
| п 7г' |
X
? -
т.е. МУ = f.
Упражнения
1. Дискретная с. в. X задана законом распределения
| X | -2 | -1 | ||||
| р | 0,10 | 0,20 | 0,30 | 0,25 | 0,10 | 0,05 |
Найти закон распределения случайных величин: a) У = 2Х2 — 3; б) Y = у/ХТ2-, в) У = sin|Х.
2. Дискретная с. в. X задана своим рядом распределения
| X | ||||
| Р | 0,3 | 0,4 | 0,2 | од |
Построить многоугольник распределения с. в. X и У = cos2 т^Х. Найти МУ и стУ.
3. Найти плотность распределения и дисперсию с. в. У = X + 1, если X ~R[-2,2].
4. Случайная величина X ~ JV(0,1). Найти плотность распределения с. в.: а) У = ЗХ3; б) У = |Х).
5. Пусть X — н.с.в. с плотностью
| при х ^ 0, при аг < 0. |
'<*>={Г'
Найти функцию распределения и плотность распределения с. в. У, если а) У = 2Х - 1; б) У = X2.