Многомерная (n-мерная) случайная величина (общие сведения)





Систему пслучайных величин называют п-мерной (многомерной) с. е. или случайным вектором X — (Xi,Х2, •.., Хп).

Многомернаяс. в. есть функцияэлементарного события w: (Xi, Х2,..., Хп)~ <p{w);каждому элементарному событию wста­вится в соответствие пдействительных чисел xi, х2,..., хпзначения, принятые с. в. Х\, Х2, Хпв результате опыта. Век­тор х = {х\,х2,...,х„) называется реализациейслучайного вектора(Xi,X2y... , Хп) — X.

Закон распределения вероятностей n-мерной с. в. задается ее функ­цией распределения

• - - = < х\,Х2 < х... ,Хп < хп}.

Функция распределения F(:pi, х2,..., хп)обладает такими же свойства­ми, как и функция распределения двух с. в. F(x,y).В частности: она принимает значения на отрезке [0,1], F(+oo, +оо,..., оо) = 1, ^з(а;з) = - F(+oo, +оо, хзУ +оо,..., -f оо).

Плотность распределения системы пнепрерывных с. в. (Х\,Х2,... ... ,Хп) определяется равенством

dnF(x i,3c2,...,x„) ,Л(«Ь«2 = дХ1дХ2...дХп '

При этом: f(x\,x2,... ,xn) ^ 0 иоо оо оо


J J ... J f(x... ,x„) dx\dx2 ... ,dxn = 1.

—oo —oo

Вероятность попадания случайной точки [Х\, Х2,.. •, Хп) в область D из n-мерного пространства выражается n-кратным интегралом

P{{X1}X2i... ,Хп) <G D} = J J --J f(xi,x2,---,xn)dxidx2...,dxn.

(D)

Функция распределения F(xi,x2,... ,xn)выражается через плотность f{xi,x2,..., xn) n-кратным интегралом

xi X2 In

F{x 1,Х2,...,ХП) = J j ... J f{xi,x2,...,xn)dxidx2...,dxn.

— DO — OO —OO 4 v '

Необходимым и достаточным условием взаимной независимости п с. в. является равенство:

Fxux2,...,xn(x = Fxt (xi) • Fx2{x2)... FXn(xn);

для n непрерывных с. в.:

fx i,X2>...yXn(xUx2)---,Xn) = fx1{xi)'fx2(x2)'-'fxn(xn)-

Основными числовыми характеристиками многомерной с. в. х2,..., хп) являются:

1. п м.о. составляющих Xi, т.е. т\ = МХ\, т2 = MX2, ..., m« == MIn;

2. п дисперсий составляющих т.е. £>1 = DXi, £>2 = dx2,

= dxn, при этом di = — m^)2, г — l,n;

3. n(n — 1) ковариаций, т. е. Кц — M(Xj -Xj), г ф j, при этом Kij = Kji, кц =

Ковариации Kij образуют ковариационную матрицу

и к12 .     (Dl кп '  
к21 к22 . к2п или   d2  
\knl кп2 • кпп/   \   Аг/

 

Характеристическая функция и ее свойства

Наряду с функцией распределения, содержащей все сведения о с. в., для ее описания можно использовать так называемую характеристи­ческуюфункцию. С ее помощью, в частности, упрощается задача на­хождения распределения суммы независимых с. в., нахождения число­вых характеристик с. в.


Характеристической функцией с. в. Xназывается м.о. с. в. eltx, обозначается через <px(t)или просто <p(t). Таким образом, по определению

<px(t) = Mettx,

где t— параметр, г— \/—1 — мнимая единица.

Для д.с.в. X, принимающей значения а^, Х2, ■ • .с вероятностямиpk ~ Р{Х = Xk}, к= 1,2,3,..., характеристическая функция опреде­ляется формулой

ос

<Ы<) = 5>tte*pfc) (3-43)

Jfc^l

для н.с. в. с плотностью f(x)— формулой

оо

vx{t)= J etixf(x)dx. (3.44)

—оо

Заметим, что:

1. Характеристическая функция н. с. в. есть преобразование Фурье от плотности ее распределения; плотность f(x)выражается через <p(t) обратным преобразованием Фурье:

оо

Я*) = 5? / V(t)e-txdt.

— оо

2. Если с. в. принимает целочисленные значения 0,1,2,..., то <p(t) = = где z= ег£. Тогда

оо к~ О

(см. п. 2.6).

Свойства характеристической функции:

1. Для всех t (Е Rимеет место неравенство

0) = 1.

2. Если Y = аХ +6, где а и 6 — постоянные, то

Ей

<pY(t) = eitb<px(at).

3. Характеристическая функция суммы двух независимых с. в. Xи Y равна произведению их характеристистических функций, т. е.

<Px+y(t) = <px(t) • <py(t).

4. Если для некоторого ксуществует начальный момент к-го порядка с.в. X,т.е. ajt = М(Хк),то существует к-я призводная характери­стической функции и ее значение при t= 0 равно а^,умноженному на г*, т.е.

<pW(0)=ikM(Xk) = ikak.

1. ip(t) = \MeltX\ < M\eltX\ = Ml =1. (Действительно, \etiX\ = = | cos tX+ isin tX\= л/cos2 tX +sin2 tX =1); <p(0) - Me0 = Ml = 1.

2.y>y(t) = MeltY = Melt^aX+^ = M{e%tbe%aXt) = eltbMeiatx = = etibipx{at).

3. = = Л*(е,(*1е) = MettXl ■ MeltXi = — VXi (0 • ^лГгСО- Свойство справедливо для суммы п независимых с. в.

4. <р(к)(г)= dk^X= Поэтому при t =0 имеем(p{k\0)=ikM(Xk) =ikak. Ш

Из свойства 4следует а к — i~k^x Отсюда, как частный случай, можно получить:

ai = MX = -V( 0) (г1 = 1 = 1 = -!. = -^,

a2 = MX2 = -</(0), (3.45)

£>X - a2 - a2 = -V'(O) + (^'(0))2.

Пример 3.11. Найти характеристическую функцию с. в. X, распреде­ленной по биномиальному закону. Найти MX и

О С. в. X принимает значения 0,1,2,..., п с вероятностями

Pfc = р{х = fc} = c*pV"*.

Поэтому, используя формулу (3.43) и формулу бинома Ньютона, нахо­дим, что

ф) = £ eltkCkpkqn~k = £ С*(е'4 • р) V* = (eftp + g)n, fc=0 fc=0

т.е. (p(t) — (eltp -{- q)n.Используя формулы (3.45), находим:


 

 


n-1
~ np, DX = npq.
t=0

MX = -i(n(eltp + q)n~L • pelt • i)


 

 


Упражнения

1. Найти характеристическую функцию с. в. X, равномерно распре­деленной на отрезке [а, Ь].

2. Найти MX с. в. X, распределенной по закону Пуассона с параме­тром а, используя характеристическую функцию <px{t)-

3. Дано /х(я) = при ж ? [ 1,0], — плотность с. в. X.

[О, в противном случае

Найти <px(t)-

Характеристическая функция нормальной случайной величины

Согласно формуле (3.44), характеристическая функция с. в. X ~ N(at сг) равна

(х - а)2 х2 - 2(а + г<а2)ж + а2

X2- 2х(а + г*<т2) + (а + it<r2)2 + а2 - (а + iter2)2 у/2тга

<p{t) = / e<tee~ 2а2 dx = —L- / е"2 ^ =

= [ е 2а2 =

a J

—оо

(х ~ (а + ita2))2 laita2 + (ita2)2 - I <Г V^C

сю

= А / е 2(Т2 ■ е 2<т2 dx =

Л/ЗЬгст У

-оо

2ait<72 - t2a4 _ (* - (а + г*а2))2

1 е 2а2 / е 2ст2 dx =

\fbto

—оо


„ „ оо / х - (а + it<r2}V2

\J2sko J \ V2a J

—oo

, .. t2*2 .. t2a2

i ita— n /— ita- Q = ——e 2 у 7г = e 2

v/tt


 

 


oo \

J e~u2 du — у/тг — интеграл Пуассона j .


 

 


oo

\

*V2

Таким образом, tpx(t) — elta 2 » если X ~ iV(a,<r).

Пример 3.12. Найти с помощью характеристической функции м.о. и дисперсию с. в. X ~ N(a, сг).

Q Применим формулы (3.45):

t2a2

MX = [-i<p'(0)] = —ieiat~~2~ (га - to2)\^= -г • 1 • га = a, т. е. МЛ" = a;

DX =[ V(0) + (y'(0))2] =

/ t2a2 t2<r2 \

= _ + (ia - t<72)2eiat- — J [_о+(*02 -

2 -2 2 , -2 2 2 — а— г a + i a — a ,

т.е. -DX = a2. Получили известные нам результаты: a — м.о., ст — с. к. о.; эти параметры полностью определяют с. в., распределенную по нормальному закону. •


Глава 4





©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!