Многомерная (n-мерная) случайная величина (общие сведения)

Систему п случайных величин называют п-мерной (многомерной) с. е. или случайным вектором X — (Xi,Х2, •.., Х_п).

Многомерная с. в. есть функция элементарного события w: (Xi, Х₂, ..., Х_п) ~ <p{w); каждому элементарному событию w ста­вится в соответствие п действительных чисел xi, х₂, ..., х_п — значения, принятые с. в. Х\, Х₂, Х_п в результате опыта. Век­тор х = {х\,х₂,... ,х„) называется реализацией случайного вектора (Xi,X_2y..., Х_п) — X.

Закон распределения вероятностей n-мерной с. в. задается ее функ­цией распределения

• - - = < х\,Х₂ < х_2у...,Х_п < х_п}.

Функция распределения F (: pi, х₂, ..., х_п) обладает такими же свойства­ми, как и функция распределения двух с. в. F(x,y). В частности: она принимает значения на отрезке [0,1], F(+oo, +оо,..., оо) = 1, ^з(а;з) = - F(+oo, +оо, хз_У +оо,..., -f оо).

Плотность распределения системы п непрерывных с. в. (Х\,Х₂,... ...,Х_п) определяется равенством

dⁿF(x i,3c₂,...,x„) /Х_1Л,_Л(«Ь«2 = дХ1дХ2...дХп '

При этом: f(x\,x₂ ,...,x_n) ^ 0 и оо оо оо

■

J J... J f(x...,x„) dx\dx₂...,dx_n = 1.

—oo —oo

Вероятность попадания случайной точки [Х\, Х₂,.. •, Х_п) в область D из n-мерного пространства выражается n-кратным интегралом

P{{X_1}X_2i...,Х_п) <G D} = J J --J f(xi,x2,---,x_n)dxidx₂...,dx_n.

(D)

Функция распределения F(xi,x ₂,...,x_n) выражается через плотность f{xi,x₂,..., x_n) n-кратным интегралом

xi X2 In

F{x 1,Х2,...,Х_П) = J j... J f{xi,x₂,...,x_n)dxidx₂...,dx_n.

— DO — OO —OO ⁴ v '

Необходимым и достаточным условием взаимной независимости п с. в. является равенство:

Fx_ux₂,...,x_n(^x = Fxt (xi) • Fx₂{x₂)... F_Xn(x_n);

для n непрерывных с. в.:

fx i,X_2>..._yXn(^xU^x2)---,X_n) = fx₁{xi)'fx₂(^x2)'-'fx_n(^xn)-

Основными числовыми характеристиками многомерной с. в. х₂,..., х_п) являются:

1. п м.о. составляющих Xi, т.е. т\ = МХ\, т₂ = MX2,..., m«= = MI_n;

2. п дисперсий составляющих т.е. £>1 = DXi, £>2 = dx2,

= dx_n, при этом di = — m^)², г — l,n;

3. n(n — 1) ковариаций, т. е. Кц — M(Xj -Xj), г ф j, при этом Kij = Kji, кц =

Ковариации Kij образуют ковариационную матрицу

(ки	к12.			(Dl	кп '
к21	к22.	• к2п	или		d2 ■
\knl	кп2 •	кпп/		\		Аг/

 

Характеристическая функция и ее свойства

Наряду с функцией распределения, содержащей все сведения о с. в., для ее описания можно использовать так называемую характеристи­ческую функцию. С ее помощью, в частности, упрощается задача на­хождения распределения суммы независимых с. в., нахождения число­вых характеристик с. в.

Характеристической функцией с. в. X называется м.о. с. в. e^ltx, обозначается через <px(t) ^или просто <p(t). Таким образом, по определению

<px(t) = Me^ttx,

где t — параметр, г — \/—1 — мнимая единица.

Для д.с.в. X, принимающей значения а^, Х2, ■ •.с вероятностями p_k ~ Р{Х = Xk}, к = 1,2,3,..., характеристическая функция опреде­ляется формулой

ос

<Ы<) = 5>^tte*p_fc) (3-43)

Jfc^l

для н.с. в. с плотностью f(x) — формулой

оо

vx{t)= J e^tixf(x)dx. (3.44)

—оо

Заметим, что:

1. Характеристическая функция н. с. в. есть преобразование Фурье от плотности ее распределения; плотность f(x) выражается через <p(t) обратным преобразованием Фурье:

оо

Я*) = 5? / V(t)e-^txdt.

— оо

2. Если с. в. принимает целочисленные значения 0,1,2,..., то <p(t) = = где z = е^г£. Тогда

оо к~ О

(см. п. 2.6).

Свойства характеристической функции:

1. Для всех t (Е R имеет место неравенство

0) = 1.

2. Если Y = аХ + 6, где а и 6 — постоянные, то

Ей

<p_Y(t) = e^itb<p_x(at).

3. Характеристическая функция суммы двух независимых с. в. X и Y равна произведению их характеристистических функций, т. е.

<Px+y(t) = <px(t) • <py(t).

4. Если для некоторого к существует начальный момент к- го порядка с.в. X, т.е. ajt = М(Х^к), то существует к- я призводная характери­стической функции и ее значение при t = 0 равно а^, умноженному на г*, т.е.

<pW(0)=i^kM(X^k) = i^ka_k.

□ 1. ip(t) = \Me^ltX\ < M\e^ltX\ = Ml = 1. (Действительно, \e^tiX\ = = | cos tX + isin tX\ = л/cos² tX + sin² tX = 1); <p(0) - Me⁰ = Ml = 1.

2. y>y(t) = Me^ltY = Me^lt^^aX+^ = M{e^%tbe^%aXt) = _e^ltbMe^iatx = = e^tibip_x{at).

3. = = Л*(е^,(*¹е^№) = Me^ttXl ■ Me^ltXi = — VXi (0 • ^лГгСО- Свойство справедливо для суммы п независимых с. в.

4. <р^(к)(г) = ^dk^^X = Поэтому при t = 0 имеем (p^{k\0)=i^kM(X^k) =i^ka_k. Ш

Из свойства 4 следует а к — i~^k^x Отсюда, как частный случай, можно получить:

ai = MX = -V(0) (г¹ = 1 = 1 = -!. = -^,

a₂ = MX² = -</(0), (3.45)

£>X - a₂ - a² = -V'(O) + (^'(0))².

Пример 3.11. Найти характеристическую функцию с. в. X, распреде­ленной по биномиальному закону. Найти MX и

О С. в. X принимает значения 0,1,2,..., п с вероятностями

_Pfc = р{х = fc} = c*pV"*.

Поэтому, используя формулу (3.43) и формулу бинома Ньютона, нахо­дим, что

ф) = £ e^ltkC^kp^kqⁿ~^k = £ С*(е'⁴ • р) V* = (e^ftp + g)ⁿ, fc=0 fc=0

т.е. (p(t) — (e^ltp -{- q)ⁿ. Используя формулы (3.45), находим:

 

n-1

~ np, DX = npq.

t=0

MX = -i(n(e^ltp + q)ⁿ~^L • pe^lt • i)

 

Упражнения

1. Найти характеристическую функцию с. в. X, равномерно распре­деленной на отрезке [а, Ь].

2. Найти MX с. в. X, распределенной по закону Пуассона с параме­тром а, используя характеристическую функцию <px{t)-

3. Дано /х(я) = ^при ж? [ 1,0], — плотность с. в. X.

[О, в противном случае

Найти <px(t)-

Характеристическая функция нормальной случайной величины

Согласно формуле (3.44), характеристическая функция с. в. X ~ N(a_t сг) равна

(х - а)² х² - 2(а + г<а²)ж + а²

X2- 2х(а + г*<т2) + (а + it<r2)2 + а2 - (а + iter2)2 у/2тга

<p{t) = / e^<tee~ 2а² dx = — L- / е" 2а² ^ =

= [ е 2а² =

a J

—оо

(х ~ (а + ita2))2 laita2 + (ita2)2 - I <Г V^C

сю

= А / е 2(Т² ■ е 2<т² dx =

Л/ЗЬгст У

-оо

2ait<7² - t²a⁴ _ (* - (а + г*а²))²

¹ е 2а² / _е 2ст² dx =

\fbto

—оо

„ „ оо / х - (а + it<r²}V²

\J2sko J \ V2a J

—oo

,.. t²*².. t²a²

i ita— _n /— ita- _Q = ——e 2 у 7г = e 2

v/tt

 

oo \

J e~^u2 du — у/тг — интеграл Пуассона j.

 

oo

\

*V²

Таким образом, tpx(t) — e^{lta 2} » если X ~ iV(a,<r).

Пример 3.12. Найти с помощью характеристической функции м.о. и дисперсию с. в. X ~ N(a, сг).

Q Применим формулы (3.45):

_t2_a2

MX = [-i<p'(0)] = —ie^iat~~2~ (га - to²)\^= -г • 1 • га = a, т. е. МЛ" = a;

DX = [ V(0) + (y'(0))²] =

/ t²a² t²<r² \

= _ + (ia - t<7²)²e^iat- — J [__о+(*0² -

2 -2 2, -2 2 2 — а— г a + i a — a,

т.е. -DX = a². Получили известные нам результаты: a — м.о., ст — с. к. о.; эти параметры полностью определяют с. в., распределенную по нормальному закону. •

Глава 4