Понятие о системе случайных величин и законе ее распределения

При изучении случайных явлений часто приходится иметь дело с двумя, тремя и большим числом случайных величин. Совместное рас­смотрение нескольких случайных величин приводит к системам слу­чайных величин. Так, точка попадания снаряда характеризуется си­стемой (X, У) двух случайных величин: абсциссой X и ординатой У; успеваемость наудачу взятого абитуриента характеризуется системой п случайных величин (Х^, Х₂, • * • 1 Х_п ) — оценками, проставленными в его аттестате зрелости. Рч] "Упорядоченный набор (Х\, Х₂,..., Х_п) случайных величин Х{ (г =

= 1,п), заданных на одном и том же ПЭС ft, называется п-мерной случайной величиной или системой п случайных величин. р\| Одномерные с. в. X'2t • • ■ 1 Хп называются компонентами или

, составляющими n-мерной с. в. (Xi, Х₂,. ■._} Х_п). Их удобно рассма­тривать как координаты случайной точки или случайного вектора X = (Х\,Х2,...,Х_П) в пространстве п измерений.

На многомерные случайные величины распространяются почти без изменений основные понятия и определения, относящиеся к одномер­ным случайным величинам. Ограничимся для простоты рассмотрени­ем системы двух случайных величин; основные понятия обобщаются на случай большего числа компонент.

Упорядоченная пара (X, У) двух случайных величин X и Y назы­вается двумерной случайной величиной или системой двух одномерных случайных величин X и Y.

Систему (X, У) можно изобразить случайной точкой М(Х, У) или случайным вектором ОМ (рис. 36 и 37).

Система (X, У) есть функция элементарного события: (Х,У) = = <p{w). Каждому элементарному событию w ставится в соответствие два действительных числа х и у (или х\ и х₂) — значения X и У (или Xj и Х₂) в данном опыте. В этом случае вектор х = [х\,х₂) называется реализацией случайного вектора X = (Xi,X2).

Рис. 36 Рис, 37

Пример 3.1. Бросаются две игральные кости. Пусть с. в. X — число выпавших очков на первой кости, с. в. У — на второй; ПЭС состоит из 36 элементов: П = {(1,1), (1,2),..., (1,6), (2,1), (2,2),..., (6,4), (6,5), (6,6)}. Элементарному событию, например, (6,5) = w^ соответствует пара чисел х = 6 и у = 5. Совокупность этих значений — функция элементарного события w.

Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерыв­ными и смешанными в зависимости от типа случайных величин, обра­зующих систему. В первом случае компоненты этих случайных систем дискретны, во втором — непрерывны, в третьем — разных типов.

Полной характеристикой системы (X, У) является ее закон рас­пределения вероятностей, указывающий область возможных значе­ний системы случайных величин и вероятности этих значений. Как и для отдельных случайных величин закон распределения системы может иметь разные формы (таблица, функция распределения, плот­ность,...).

Так, закон распределения дискретной двумерной с. в. (X, Y) можно задать формулой

pij = Р{Х = x_iyY = yj}, i = l~n, j = T~m (3.1)

или в форме таблицы с двойным входом:

Причем, сумма всех вероятностей р_хз, как сумма вероятностей полной группы несовместных событий {X = Xi,Y = у-,}, равна единице:

п т

1=1 j=\

На рис. 38 приведен примерный график распределения двумерной дискретной случайной величины (X>Y).

Рис. 38

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной ве­личины, можно найти законы распределения каждой из компонент (обратное, вообще говоря, неверно). Так, p_Xl = Р{Х = £i} — рц + + Pi 2 + • • • -f pimi что следует из теоремы сложения несовместных со­бытий {X = xi,Y = ух}, {X = xi,Y = у₂}, {X = xi,Y = у_т}. Аналогично можно найти

m п

Pxi = Р{Х = Xi} = ^Ру, P_Vj = = Vj} =

j=1 t=l

[яу| Пример 3.2. В урне 4 шара: 2 белых, 1 черный, 1 синий. Из нее наудачу — извлекают два шара. Пусть с. в. X — число черных шаров в выборке, с. в. К — число синих шаров в выборке. Составить закон распределения для системы (X, У). Найти законы распределения X и У.

О С. в. X может принимать значения 0, 1; с. в. У — значения 0, 1. Вычислим соответствующие вероятности: рц = Р{Х = 0,У = 0} =

= i (или: f ■ i = I); _Р12 = Р{Х = 0,Y = 1} = ^ - ²-

6 ^v------ 4 3 6

г>21 = Р{Х = 1,Y = 0} = Р22 = Р{Х = 1,У = 1} = ±. Таблица распределения системы (X, У) имеет вид:

С1

Отсюда следует: Р{Х = 0} = £ + | = ^ Р{Х = 1} - | + I - I;

Р{У = 0} = ^ + ^ = P{Y = 1} = ^ + ^ = Законы распределения составляющих А" и У имеют вид:

Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Универсальной формой задания распределения двумерной случай­ной величины является функция распределения (или «интегральная функция»), пригодная как для дискретной, так и для непрерывной слу­чайной величины, обозначаемая Fxx(^x->y) ^или просто F(x,y).

Функцией распределения двумерной случайной величины ( X, У) на­зывается функция F(x, у), которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместного выполнения двух событий {X < ж} и {У < у}.