Двумерное нормальное распределение

Среди законов распределения двумерной с. в. (X, У) на практике чаще всего встречается нормальное (гауссовское) распределение веро­ятностей. Оно применяется, в частности, для описания 2-х результатов измерения, абсциссы и ординаты точки попадания (X, У) при стрельбе и т.д.

Двумерная с. в. (X, У) называется распределенной по нормальному ^ закону, если ее совместная плотность f(x, у) имеет вид

f(z,y) =

2ъо_хОу - г²

1 / {х - т_а)² 2г(ж - mg)(y — m_y) (у - т_у)² \ _х-2(1-г>){ * " ⁺ «i)_{t (}з.з₅₎

где т_х, т_у, а_х, а_у, г = гху — параметры этого распределения.

Распределение (3.35) называется также нормальным законом рас­пределения на плоскости или двумерным нормальным (гауссовским) распределением.

Можно доказать, что f(x, у) — это функция плотности, т.е. спра­ведливо равенство

оо оо

J J f{x,y)dxdy - 1;

—оо —оо

т_х — MX, m.y = MY; а_х и сг_у — средние квадратические отклонения (с. к. о.); г — коэффициент корреляции с. в. X и У.

Это означает, что двумерное нормальное распределение полностью определяется заданием его числовых характеристик, что удобно на практике (опытным путем находят эти параметры-характеристики и получают совместную плотность f(x, у) двух нормально распределен­ных с. в. X и У).

Выясним смысл, например, параметров т_х и а_х, найдя распреде­ление вероятностей составляющей X (т. е. плотность вероятностей од­номерной с. в. X). Согласно формуле (3.10) (п. 3.3) имеем:

У (х~т_х)²

f(x,y)dy=------- l___e-2al(l-r»)_x

оо Ч

J 2n<J-r <7,, vl — Т

I f {у - Щу)² 2г{х - тп_х){у - m_v)\

е ²⁽¹ "'Л ^аЪ J_dy«

х -т_х у-гпу

V2c

подстановки ——— = t, —=— = z

уДоу

 

у/2<7у

д02-2ги)

7 —i

1 -г' / е 1-

2ъо_х(Туу/\ - г²

— оо

,2 ОО

7 _—i

r dz =

е [5] -г2 dz =

l-r² / _е 1-

у/2ка_х у/1 — г²

^, <» (z-rt)²

_ _e l-r^i-r'² Г

~ у/2ко_х \/1 - г² J

z — rt

подстановка................ ■■ = и

л/1 — г'

1л;

е * \/Г

■\/7г =

V2ira_xVl - г² J л/2-ка_х

—оо

2. e~t

du —

оо

так как

т. е.

Jе~^и2 du = \/я" — интеграл Пуассона, формула (2.39)

(ж — т»)²

\/2тга_х

(х - Ша;)²

 

Случайная величина X имеет нормальное распределение с м. о. т_х и дисперсией а². Аналогично получаем

 

/2(У)

(3.37)

(у - 1 _е за»

\/2/КОу

 

т. е. У ~ N(m_y, cij,).

График плотности f(x,y) нормального распределения двумерной с. в. (X, У) представляет собой холмообразную поверхность, верши­на которой находится в точке lm_x,m_yy ^ 1, т.е. макси-

\ 2па_х(Т_уу/1 - г²)

мум функции f(x ,y) достигается в точке (tyi_x, m_y), рис.34. Сечения поверхности распределения плоскостями, проходящими через точку
^тх> ^my >z У Г ~) перпендикулярно плоскости Оху, предста-

2п<т_ха_уу/1 — г²

вляют собой кривые Гаусса вида z = b_е~^а(^х~^т?)². Пересекал поверх­ность распределения г = f(x,y) плоскостью z = zq, где 0 < zq < 2_max, параллельной плоскости Оху, получим в сечении эллипс, уравнение проекции которого на плоскость Оху, имеет вид

(х - т_х)² [х - т_х)(у - т_у) [у - т_у)² ---- Л ^2г о^ ⁺ 15 = ^h ' ^{3'³⁸⁾

о* ^х у сг⁴

где h ² = —2(1 — г²) \п(2тгго<7_ха_уу/1 — г²). (В силу ограничения на zq ар­гумент логарифма меньше 1, следовательно, значение логарифма отри­цательно.) Если осуществить преобразование параллельного переноса и поворота осей по формулам

(х = т_х 4- xq cos а — уо sin а, \у — т_у + Жо sin о; + уо cos а,

2го_ха_у

где угол а подобран так, что tg2а = —5----- то уравнение (3.38) пре-

образуется в каноническое уравнение эллипса. Эллипс (3.38) называют эллипсом рассеяния; оси симметрии эллипса (они образуют с осью Ох углы а и + а;) — главными осями рассеяния, а центр эллипса (точка (т_х,т_у)) — ■центрам рассеяния.

Если компоненты двумерной нормально распределенной с. в. (X, У) некоррелированы (г = гху = 0), то функция плотности (3.35) прини­мает вид

(ж -т_х)² (у-т_у)² *> "Ь

'<*•»> = * ⁴ ^ ^

(х-т_х)² _{У~ т_у)²

= —7=—--i-e =Д(х)-/2Ы,

у2-к<т_х у2тт а у

т. е. f(x,y) — fi(x) • /2(1/), где Д(я) — плотность распределения с. в. X, /2(у) — с. в. У. Отсюда следует вывод: некоррелированные нормально распределенные случайные величины являются также и независимы­ми. Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, для нор­мально распределенных с. в. термины «независимость» и «некоррели­рованность» эквивалентны.

Уравнение эллипса рассеяния для некоррелированных с. в. запи­сывается в виде

{х-тп_х)² (у-ту)² ₌ (,ha_x)² (ha_y)²

(следует из равенства (3.38) при г — 0). На рис. 44 изображен один такой эллипс (при h = 1).

Рис. 44

 

Утверждение. Если с. в. X и Y независимы, то вероятность попа­дания случайной точки (X, Y), распределенной по нормальному закону в прямоугольник R = {a находится по формуле:

1 ¹

где Фо(я) — -у _ / е 2 dz — функция Лапласа.

>/27Г О

Q Используя формулу (3.8),находим: Р{а =

г ( ^х ~ ^т *) ² f (у

= —I е~ dx • I е ^2al dy =

У/2ТГ0_х J y2Tttjy J

- (^ф° (ц^) - - №)) ■ (- -^ф° (ц^)) •

Произвольную область D можно приближенно заменить областью, составленной из прямоугольников. На этом основало применение так называемых «сеток рассеивания».

Можно показать, что вероятность попадания такой же точки (X, У) в один из эллипсов рассеяния равна

~m_x)² _i {у-ту)² ^ _l2\ _, __1_Аа

2 2 <7