Нормальный закон распределения

а

Нормальный закон («закон Гаусса») играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормаль­ный закон наиболее часто встречается на практике.

Непрерывная с. в. X распределена по нормальному закону с пара­метрами а и о > 0, если ее плотность распределения имеет вид

(х - а)²

/(яг) = ----- е" 2а*, х е R. (2.38)

а • V 27г

Тот факт, что с. в. X имеет нормальное (или гауссовское) распреде­ление с параметрами а и а, сокращенно записывается так: X ~ N(a, а). Убедимся, что f(x) — это функция плотности. Очевидно, f(x) > 0.

оо

Проверим выполнение условия нормировки J f(x) dx = 1. Имеем:

— 00

⁰⁰ (х а)^{2 00} (х — а \²

J о ■ л/2тг о • \/2тг / \>/2 • о)

оо

Л/ТГ / л/7Г

—оо

Здесь применили подстановку и использовали «интеграл Пуассона»

оо

J е^-*² dt — у/п. (2.39)

—оо

о г2

= £ JAdz = ^= J

Из равенства (2.39) следует:

= J е~ 2 (2.40)

О 0 -оо

ж

Функция распределения F(x) = J f (t) dt н. с. в. X ~ N(a, а) имеет

-00

вид

! }

F(x) = --- / е (2.41)

СГ • V27T J

-оо

Если а = 0и<т = 1,то нормальное распределение с такими параме­трами называется стандартным. Плотность стандартной случайной величины имеет вид

х²

V 27Г

С ней мы уже встречались в п. 1.21, формула (1.37). Функция распределения с. в. X ~ iV(0,1) имеет вид

^Х 2 f2

Ф{х) = —L. [ е" 2 dt sfbx J

—оо

и называется, как мы уже знаем (п. 1.21, формула (1.42)), функци­ей Лапласа. Она связана с нормированной функцией Лапласа Фо(^) (п. 1.21, формула (1.40)), как мы уже знаем (формула (1.43) п. 1.21), равенством

Ф(х) = 0,5 + Фо(я). (2.42)

Действительно,

^х 2 ⁰ 2 ¹ 2 Ф{х) = j е~~2" dt = / е~ 2" dt + f е~г dt =

y/bi J y/bi J

—oo —oo 0

(см. (2.40)).

оо

Установим смысл параметров а и а нормального распределения. Для этого найдем математическое ожидание и дисперсию с. в. X ~ ~ JV(a, сг).

(х - а)²

/

1 Г _ ^ ~ > х • fix) dx = Ц= х-е 2о-² =

сг ■ >/27Г J

—оо —оо

оо

= подстановка ^{х а} = t =---------- I (y/2ot + a)e~^<2 splo dt —

дуД yft

[ уДа J a • J

-oo oo

J V* J V⁷¹"

т. e. MX = a. Первый интеграл равен нулю, так как подинтегральная функция нечетная, а пределы интегрирования симметричны относи­тельно нуля, а второй интеграл равен у/тх (см. равенство (2.39)). Таким образом, параметр а — математическое ожидание.

При нахождении дисперсии с. в. X ~ N(a, сг) снова сделаем подста-

/р_ а

новку — y=r— = t и применим метод интегрирования по частям: V2а

^{00 00} (х - о)²

DX = [ [x-a)²f{x)dx = [ =

2e-t2dt=:

J J <jv27T

оо

= f 2<T²t²e-^t2*V2dt=*£ [ t

<7\/27Г J \Д J

— OO

—oo

Таким образом, DX = сг², a cr — среднее квадратичное отклонение. Можно показать, что для с. в. X jV(a,cr): МоХ = М_еХ = а,

о⁶ сг⁴

Исследуем дифференциальную функцию (2.38) нормального за­кона:

1. f{x) > 0 при любом х £= (—00,00); график функции расположен выше оси Ох.

2. Ось Ох служит асимптотой графика функции /(х), так как

lim fix) = 0.

(х - о)2

3. Функция f(x) имеет один максимум при х = а, равный f{a) ~ — ^:. Действительно,

<7>/2ТГ

(я — а) _

/'(_Я) = -1—^е 2а² V27T

Отсюда f'(x) — 0 при х = а, при этом: если х < а, то f^f(x) > 0, а если х > а, то /'(а?) < 0. Это и означает, что х = а точка максимума

и /шах = /(о) = ¹

оу/ЪК

4. График функции /(з?) симметричен относительно прямой х = а, так как аналитическое выражение f(x) содержит разность х — а в квадрате.

5. Можно убедиться, что точки

Mi (а - а, — \=е~2 ] и М₂ (а + а, —2)

V ау/2тг) \ ау/2тг J

являются точками перегиба графика функции f(x). Пользуясь результатами исследования, строим график плотности распределения вероятности нормального закона — кривую распреде­ления, называемую нормальной кривой, или кривой Гаусса (рис. 34).

 

Как влияет изменение параметров а и а на форму кривой Гаус­са? Очевидно, что изменение а не изменяет форму нормальной кривой (графики функции f{x) и f(x — а) имеют одинаковую форму; график f[x — а) получается из графика функции f(x) путем сдвига последнего на а единиц вправо, если а > 0, и влево, если а < 0). С изменением о максимальная ордината точки кривой изменяется. Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице при любом значе­нии <7, то с возрастанием а кривая Гаусса становится более пологой, растягивается вдоль оси Ох —

На рис. 35 изображены нормальные кривые при различных значе­ниях a (<7i < о < СГ2) и некотором значении а (одинаковом для всех трех кривых).

SW	г	\	-- сг i
___ —-i	J-	N	Чс
	а		X

 

Рис. 35

Нормальному закону подчиняются ошибки измерений, величинь износа деталей в механизмах, рост человека, ошибки стрельбы, вес- клубней картофеля, величина шума в радиоприемном устройстве, ко­лебания курса акций и т. д.

Найдем вероятность попадания с.в.Х~ N(a,a) на заданный уча­сток (а,/3). Как было показано,

о

dx

Р{а<Х <Ь} = J f{x)

(п. 2.4, формула (2.8)). В случае нормального распределения

₁ г _>~^й)2 г _ л

Р{а < X < /3} = / е 2с² dx = - t \ =

<jy/2'K J L J

а

ft — a fi — Q а — а

° t^{2 а} t^{2 С} t² = —/ 2" dt = —/ е~2' dt / dt.

ч/2тг J \/2тг 7 ч/2тг У

а — а а

Используя функцию Лапласа (см. п. 1.21, формула (1-40))

X

•ow-^/e-v*.

о

Получаем

Р{«<Х<[3} = Фо - Фо • (2.43)

Через функцию Лапласа Фо(я) выражается и функция распределения Fix) нормально распределенной с. в. X.

Г 1 ~ *)²

Fix) = / —е 2сг² rfi = Р{-оо < X <.7;} =

= Ф„ - Фо = Фо + i,

Т. е.

Fix) = \ + Фо. (2.44)

Здесь воспользуемся формулой (2.43), нечетностью функции Фо(я) и тем, что Ф₀(оо) = действительно

°° 2 о