Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия DX имеет размерность квадрата с. в. X, что в сравни­тельных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с. в., используют еще одну числовую характеристику — среднее квадратическое отклонение (сокращенно: с. к.о.).

Средним квадратическим отклонением или стандартным откло­нением с. в. X называется квадратный корень из ее дисперсии, обозна­чают через ах (или аХ, <т[Д], сг). Таким образом, по определению

ах = VDX. (2.18)

Из свойств дисперсии вытекают соответствующие свойства с. к. о.: ас - 0, а_сХ = \c\ax, а (с + X) = а_Х-

Для изучения свойств случайного явления, независящих от выбо­ра масштаба измерения и положения центра группирования, исходную случайную величину X приводят к некоторому стандартному виду: ее центрируют, т. е. записывают разность X — MX (геометрически озна­чает, что начало координат переносится в точку с абсциссой, равной м. о.), затем делят на с. к. о. ах-

Случайную величину Z = ^Х называют стандартной слу­

чайной величиной. Ее м. о. равно 0, а дисперсия равна 1. Действительно,

MZ = M (^Х~х^Х) = - ^МХ) =

DZ = \D{X - MX) = Щ- = Ц£= = 1. а\ а\ DX

То есть Z — центрированная (MZ = 0) и нормированная (DZ = 1) случайная величина.

|\] Пример 2.5. Д.с. в. X задана рядом распределения.

X	-1
р	0,2	0,1	0,3	0,4

 

Найти MX, DX, а_х.

Q Используем формулы (2.9), (2.13), (2.18): MX = -1 ■ 0,2 + 0 • 0,1 + + 1-0,3 + 2-0,4 = 0,9; DX = (-1-0,9)²-0,2 + (0-0,9)²-0,1 + (1-0,9)²-0,3 + + (2 —0,9)²-0,4 = 1,29 (или, используя формулу (2.16), DX = (-1)²-0,2 + + О² • ОД + I² • 0,3 + 2² • 0,4 - (0,9)² - 1,29); - 7^29 «1,14. •

Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили

Модой д. с. в. X называется ее значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обознача­ется через MqX. Для н.с. в. MqX — точка максимума (локального) плотности fx{x)-

d>

Если мода единственна, то распределение с. в. называется унимо­дальным, в противном случае — полимодальным (рис. 23).

Рис. 23

 

Медианой М_еХ н.с. в. X называется такое ее значение х_р, для ко­торого

Р{Х < х_р\ = Р{Х > х_р} = i, (2.19)

т. е. одинаково вероятно, окажется ли с. в. X меньше х_р или больше х_р (рис. 23).

С помощью функции распределения F(x) равенство (2.19) можно записать в виде F(M_eX) = 1 - F{M_eX). Отсюда F(M_eX) = |. Для д. с. в. медиана обычно не определяется.

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случа­ями следующих более общих понятий — моментов с. в.

Начальным моментом порядка к с. в. X называется м.о. к-й сте­пени этой величины, обозначается через ад.. Таким образом, по определению

а_к = М(Х^к).

Для д. с. в. начальный момент выражается суммой:

г

J x^k-f{x)dx.

В частности, а\ ~ MX, т.е. начальный момент 1-го порядка есть м.о.

Центральным моментом порядка к с. в. X называется м. о. вели­чины (X — МХ)^к, обозначается через pk- Таким образом, по определению

(л_к = М(Х - МХ)^к.

В частности, ц₂ = DX_: т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия; = М(Х — MX) — 0 (см. свойство 4 м. о.). Для д. с. в.:

= МХ)^к -р_г,

а для н.с. в.:

оо

J (x-MX)^k-f(x)dx.

—оо

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты. Так, р₂ — DX — а₂ — а² (действительно: р₂ — DX — = MX'² — (MX)² = а₂ — а²)-, = аз — За^а^ + 2af, /м = 0.4 — 4а1аз + + 6а²а₂ - За^ и т.д.

Среди моментов высших порядков особое значение имеют цен­тральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.

Коэффициентом асимметрии («скошенности») Л с. в. X называ­ется величина

ju₃ М(Х - MX)³

Л —

_гз з

Х (DX) 2

Если А > 0, то кривая распределения более полога справа от MqX (рис. 24).

Если А < 0, то кривая распределения более полога слева от MqX (рис. 25).

а для н. с. в. — интегралом:

Коэффициентом эксцесса («островершинности») Ее. в. X назы­вается величина

'х

_е=Р4 _г=М(Х~МХ)⁴ ₃

(DXy

№	/ \Л>0 J.........................................................................................
	М0Х х
	Рис. 24
/(*)
	i<y \
	М0Х ж

Рис. 25

 

Величина Е характеризует островершинность или плосковершин- ность распределения. Для нормального закона распределения (см. п. 2.7) А = 0 и Е = 0; остальные распределения сравниваются с нор­мальным: если Е > 0 — более островершинные, а распределения «плос­ковершинные» имеют Е < 0 (рис. 26).

 

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик с. в., в при­ложениях используются так называемые квантили.

Квантилъю уровня р с. в. X называется решение уравнения

Fx (х_р) = р,

где р — некоторое число, 0 < р < 1.

Квантили ^0,25) и жо,75 имеют свои названия: нижняя кван­тиль, медиана (М_еХ ~ #0,5), верхняя квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0,25 (рис. 27).

fix

 

О

X

^0,25 Х0,Ь ^0,75

 

Рис. 27

Упражнения

1. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности по­падания при разных выстрелах одинаковы и равны р = 0,9. Найти м.о. числа попаданий. Решить задачу в случае, если вероятности попадания при разных выстрелах различны: а) р\ = 0,7, б) р₂ = 0,8,

в) Рз = 0,9.

2. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределе­ния

при X ^ 0 и X > 7Г, при 0 < ГЕ < 7Г.

 

Найти математическое ожидание случайной величины X.

3. Пусть X и У — независимые д. с. в., причем MX = 2, MY — —3, DX = 2, DY = 9. Найти MZ и DZ, если Z — 5X - 3Y + 2.

4. По условию упражнения 2 найти DX и ох-

5. С. в. X задана функцией распределения

 

Найти значения А и В, MX и а_Х-

6. Пусть Xi, Х₂,..., Х_п — последовательность независимых с. в. с МХ_г — а и DX_t = с², г = 1,2,...,п. Найти м.о. и дисперсию среднего арифметического п независимых с. в. Х_г.

Производящая функция

Нахождение важнейших числовых характеристик д. с. в. с целыми неотрицательными значениями удобно производить с помощью произ­водящих функций.

Пусть д. с. в. X принимает значения 0,1,2,..., к,... с вероятностя­ми р₀,РъР2, • • ■ = Р{Х = Aj>,....

Производящей функцией для д. с. в. X называется функция вида

оо

Ф) = 52^рк ■ *^к=+piz+^р2*^{2 +} •"' (²-²°)

О

где г — произвольный параметр, 0 < z ^ 1.

Отметим, что коэффициентами степенного ряда (2.20) являются вероятности закона распределения д. с. в. X.

Дифференцируя по г производящую функцию, получим

сю fc-0

Тогда

оо

<p'(l) = Y,k-Pk = MX = a_u А=0

т. е.

а\ = mx = <р'(1). (2.21)

Взяв вторую производную функции <p(z) и положив в ней z — 1, полу­чим:

оо оо оо

^''м = -1) • р* ■ ^"(i) = 52^к2 - рь - 52^к•^{рк = а2} ~

А—0 fc=0 к=О

где «2 и ai — начальные моменты соответственно 2-го и 1-го порядков (а₂ = MX², en = MX). Тогда DX = MX² - (MX)² = а₂ - af = = (аз - а_г) + ai - a² - tp"{l) + <p'(1) - (у>'(1))², т. e.

DX = <p"(l) + v?'(l) — (</?'(l))². (2.22)

Полученные формулы (2.21) и (2.22) используются для нахождения м. о. и дисперсии рассматриваемого распределения.

|\| Пример 2.6. Найти дисперсию с.в. X — числа попаданий в упражне- ¹—' НИИ 1 (п. 2.5).

Q Ряд распределения с. в. X:

р	0,01	0,027	0,243	0,729

 

Найдем DX, используя формулу (2.22). Производящая функция ip(z) = = 0,01 + 0,027z + 0,243z² +0,729z³. Тогда = 0,027 + 0,486z + 2,187z². Полагая z ~ 1, находим <£>'(1) = 2,7 — MX (упражнение 1 из п. 2.5). сp"{z) = 0,486 + 4,374z. Поэтому <^"(1) = 4,46 и DX = 4,86 + 2,7- (2,7)² = = 0,27 (формула (2.22)).

Аналогично решаем во втором случае, когда вероятности при раз­ных выстрелах различны (п. 1.20, пример 1.31). <p{z) = 0,006 + 0,0922 + + 0,398-г² + 0,504z³. ip'{z) = 0,092 + 0,796z + 1,512^², у/(1) - 2,4 - MX. ip"(_z) = 0,796+ 3,024z, = 3,82. Поэтому DX = 3,82 + 2,4 - (2,4)² = = 0,46. •