Равномерный закон распределения






 

 


Непрерывная с. в. X имеет равномерное распределение на отрезке [а, 6], если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:

№ = {Ь-а' прихеЕа.Ь],

+0< /

при х ^ [а, Ь],

(т. е. f(x) = с при х 6 [а, 6], но

+оо

cdx — 1, —оо

отсюда следует, что еж = 1, с = —; вместо отрезка [а, 6] можно

а о — а

писать (а, Ь) или (а, Ь], [а, Ь), так как с. в. X — непрерывна.)

График плотности f(x) для равномерного распределения н.с.в. X изображен на рис. 28.

(яг) = (б-а1 1°.

Равномерное распределение с. в. X на участке [а, Ь] (или (а, 6)) бу­дем обозначать: X ~

F(x) =

Найдем функцию распределения F(x) для X ~ R[a, Ь]. Согласно формуле (см. п. 2.4)

) = J f(x)dx,


№ 1      
6 — а 1 1 J 1 1 1 ] J 1 1 j  
а b X
Рис 28


 

 


имеем


 

 


b — а

х ~ а а Ь — а


 

 


при а < х ^ b\ F(x) = 0 при х ^ а, и а 6


 

 


= 1
b — a

F(®)= J Odt + J + J0di


 

 


при x > b. Таким образом,


 

 


О, при а? ^ а,

(2.33)

F(a;) = f—при о < х < Ь, I О-Й

X, при b < х.

График F(x) изображен на рис. 29.

F(x) 1  
 
a b X

 

Рис. 29

Определим MX и DX с. в. X ~ R[a, Ь]. Согласно формуле (2.11),

а Ь -f оо

МХ = J x-0dx + J ■j^dx+ J x-0 =

(Ожидаемый результат: математическое ожидание с. в. X ~ R[a,b] равно абсциссе середины отрезка; MX совпадает с медианой, т. е MX = МеХ.)

\

Согласно формуле (2.14). Ь

а

1 /(6-а)3 (а — б)3 \ (6-а)2

3(6 - а) V 8 8 J 12 '

Таким образом, для н. с. в. X ~ R[a, 6] имеем

MX = ЯХ = (2.34)

Пример 2.11. Пусть с. в. X ~ Л(а, 6). Найти вероятность попадания с. в. X в интервал (а,/?), принадлежащий целиком интервалу (а, 6).

О Согласно формуле (2.8), имеем

Р{ХЕ(а,Р)} = J f{x)dx = J vX—dx = а а

т.е. Р{Хе(а,/3)} = ^.

Геометрически эта вероятность представляет собой площадь пря­моугольника, заштрихованного на рис. 30. •

    >  
    ш    
a a fib х
           
Рис. 30

 

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся: время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным интервалом; ошибка округления числа до целого (она равномерно распределена на отрезке [—0,5; 0,5]). И вообще случайные величины, о которых известно, что все ее значения лежат внутри не­которого интервала и все они имеют одинаковую вероятность (плот­ность) .

Дискретная случайная величина X имеет равномерное распреде­ление, если она принимает целочисленные значения 1, 2, 3, п с вероятностью рт = Р{Х - т} — где т = 1,2,3,..., п.

В этом случае MX = Мр, DX = 1. Так, при п = 5,

многоугольник распределения имеет вид, представленный на рис. 31, MX — 3.

р 1 0,2                  
             
      X
                     
Рис 31

 

Показательный закон распределения

_ ГЛе

О

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (или экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятно­сти имеет вид

(2.35)
/м =

при х ^ О, при х < О,

где Л > 0 — параметр распределения.

График плотности f(x) приведен на рис. 32.

О

Рис 32

Функция распределения показательного распределения имеет вид


-As
Г1-е 1°.
при х ^ О, при х < 0.
(2.36)
F(x) =

□ F{x)= J f(t)dt= j 0dt + Jxe~Xxdt = 1 -e~Xx.

-oo 0

—oo

График F(x) представлен на рис. 33.

F(x) 1  
 
X
Рис. 33

 

Найдем математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

оо о

MX = J х • Хе~Хх dx = ^lim J x • Xe~Xx dx = [интегрируем по частям] —


о Л
= 0-i(0-l) = i
— Ax
— lim f —x ■ e b—► oo

 

 


uv ои

x2e~Xx dx-~ = A2

DX = J x2f{x)dx-{MX)2 = [формула (2.17)] = xj

— [дважды интегрируем по частям] —


 

 


= Л [ lim , Ь~юо
X2

X2 -\х , 2 ( X ~\х 1 „-Лаг


 

 


Таким образом,

(2.37)

Найдем вероятность попадания случайной величины X, распределен­ной по показательному закону, в интервал (а, Ь). Используя форму­лу (2.2) и формулу (2.36), получаем

Р{а < X < Ь} = F{b) - F[a) = (1 - е~А6) - (1 - е~Ха) - е"Ла - е"ЛЙ, т. е. Р{а < X < Ь} = е~Ха - е~хь.

Пример 2.12. Случайная величина Т — время работы радиолампы имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лам­па проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радио­лампы 400 часов.

О МТ = 400, значит (формула (2.37)), Л = Искомая вероятность

Р{Т > 800} = 1 -Р{Т < 800} = 1-^(800) = 1-(1-е400) = е"2 « 0,135.

Показательное распределение используется в приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания (ТМО), в фи­зике, в теории надежности. Оно используется для описания распреде­ления случайной величины вида: длительность работы прибора до пер­вого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т. д.

Рассмотрим, например, н. с. в. Т — длительность безотказной ра­боты прибора. Функция распределения с.в. Т, т.е. F(t) — Р{Т < i}, определяет вероятность отказа за время длительностью t. И, значит, вероятность безотказной работы за время t равна R(t) = Р{Т > t] — = 1 — F(t). Функция R(t) называется функцией надежности.

Случайная величина Т часто имеет показательное распределение. Ее функция распределения имеет вид F(t) = 1 — e~Xt (формула (2.36)). В этом случае функция надежности имеет вид R(t) — 1 — F(t) = = 1 — (1 — е~Л£) = т. е. R(t) = e~Af, где Л — интенсивность от.казов} т. е. среднее число отказов в единицу времени.

Показательный закон — единственный из законов распределения, который обладает свойством «отсутствия последствия» (т. е. если про­межуток времени Т уже длился некоторое время г, то показатель­ный закон распределения остается таким же и для оставшейся части Ti = Т — г промежутка).





©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!