Числовые характеристики двумерной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия

Для системы случайных величин также вводятся числовые харак­теристики, подобные тем, какие были для одной случайной величины. В качестве числовых характеристик системы (X, У) обычно рассмат­ривают моменты различных порядков (см. п. 2.5). На практике чаще всего используются моменты I и II порядков: математическое ожидание (м. о.), дисперсия и корреляционный момент. Математическое ожида­ние и дисперсия двумерной случайной величины служат соответствен­но средним значением и мерой рассеяния. Корреляционный момент вы­ражает меру взаимного влияния случайных величин, входящих в си­стему (X, У).

К] Математическим ожиданием двумерной с. в. (X, У) называется

совокупность двух м.о. MX и МУ, определяемых равенствами:

п т п т

MX = т_х = ^x*Pv> ^{MY = m}f ⁼ ЕЕ (³-²⁰)

если (Х,У) — дискретная система с. в. (здесь p_tj — Р{Х = Xi,Y = и

оо оо оо оо

МХ= J J xf{x,y)dxdy, MY = J I yf{x,y)dxdy, (3.21)

— oo —oo —oo —oo

если (X,У) — непрерывная система с. в. (здесь /(ж,у) — плотность распределения системы).

Дисперсией системы с. е. (Л", У) называется совокупность двух дисперсий DX и -ОУ, определяемых равенствами:

п т п т

DX = - m_x)²pi_h DY^Yl Sfe " ^my)²Piji (³-²²)

г—1 j=l j=l

если (X, У) — дискретная система с. в. и

оо оо оо оо

VX = J J (х -m_x)²f{x,y)dxdy, DY = J j (у - m_y)²f(x,y) dxdy,

—oo —oo —oo —oo

(3.23)

если (X, У) — непрерывная система с. в.

Дисперсии DX и DY характеризуют рассеяние (разброс) случай­ной точки (X, У) и в направлении осей Ох и Оу вокруг точки (т_х, т_у) на плоскости Оху — центра рассеяния.

Математические ожидания т_х и т_у являются частными случаями начального момента _s порядка k + s системы (X, У), определяемого равенством

a_kyS = M(X^kY^s);

т_х = М(Х^хУ⁰) = en,о и fTiy — М(Х°У!) - а₀₎₁.

Дисперсии DX и 1>У являются частными случаями центрального .шшента /ifc_)S порядка k + s системы (X, У), определяемого равенством

ti_ki$ = M((X-m_x)^k(Y-m_yy);

DX = М(Х - т_х)² = /12,0 и ЛУ = М(У - т_у)² = _Мо,2-

Математическое ожидание с.в. с/?(Х,У), являющейся функцией компонент X и У двумерной с. в. (X, У) находится, аналогично, по фор­мулам:

оо оо

М(<р(Х,У)) = J J <p(x,y)f(x,y)dxdy (3.24)

для непрерывного случая и

7i т

М(<р(Х, У)) = Y, £ Vj)Pij (З-²⁵)

г—1 j=l

для дискретного случая.

Начальный момент II порядка «хд — MXY часто встречается в приложениях. Вычисляется по формуле

п т

MXY = (3.26)

Т=1 j = l

для дискретных с. в.

оо оо

MXY = J J xyf{x,y)dxdy (3.27)

для непрерывных с. в.

Корреляционный момент, коэффициент корреляции

Особую роль играет центральный смешанный момент второго по­рядка дхд = M(X^m_x)(Y—m_y) = MXY, называемый корреляционным моментом или лш-мемтпсш связи. рч| #орреллг$ион>тл< л«ол4ентол4 (или ковариацией) двух случайных ве­

личин X и У называется м. о. произведения отклонений этих с. в. от их м.о. и обозначается через Kxy или cov(X,У). Таким образом, по определению

Kxy = cov(X, У) = М[{Х - m_x){Y - m_y)] = MXY. (3.28)

При этом: если (X, У) — дискретная двумерная с.в., то ковариация вычисляется по формуле

п т

^КХУ = £ ~~ ^m*Ki/j ~ ^my)Pij> (³-²⁹)

г=1 j= 1

если (X, У) — непрерывная двумерная с. в., то

оо оо

Kxy = J j (х ~т_х){у -m_y)f(x,y)dxdy (3.30)

—оо —оо

(формулы (3.29) и (3.30) получены на основании формул (3.24) и (3.25)).

Ковариадию часто удобно вычислять по формуле

Kxy = cov(X, У) = MXY - MX ■ MY, (3.31)

которая получается из определения (3.28) на основании свойств мате­матического ожидания:

Kxy = М[(Х - m_x)(Y - т_у)] = M{XY - Хт_у - Ym_x + т_хт_у) = = MXY — т_уМХ — m_xMY + т_хт_у = MXY ~ т_хт_у — т_хт_у + т_хт_у —

= MXY - MX • MY.

Формулу (3.30) можно записать в виде

оо оо

Kxy= J J ху f(x,y)dxdy - т_хт_у. (3.32)

-оо -оо

Свойства ковариащш:

1. Ковариация симметрична, т. е.

Kxy — Кух-

2. Дисперсия с. в. есть ковариация ее с самой собой, т. е.

Кхх = DX, Куу = DY.

3. Если случайные величины X и Y независимы, то

К_Ху = 0.

4. Дисперсия суммы (разности) двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс (минус) удвоенная ковариация этих случайных величин, т. е.

D{X ± Y) = DX + DY ± 2K_Xy.

5. Постоянный множитель можно вынести за знак ковариаций, т. е. K_cx,y = с-Kxy — Kx,cy ^или cov(cX, У) = ccov(X, У) = cov(X, сУ).

6. Ковариация не изменится, если к одной из с. в. (или к обоим сразу) прибавить постоянную, т. е.

Kx+c,y = Kxy = Кх,у+с = Kx+c_yY+c

или

cov(X + с,У) — cov(X, У) = cov(X, Y + с) — cov(X + с, У + с).

7. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит их с.к.о., т.е.

\Kxy\ ^ ' о-у

Q 1. Следует из определения (3.28) ковариации.

2. К_ХХ = М[(Х- т_х){Х - т_х)} - М{Х - т_х)² = DX.

3. Из независимости с. в. X и У следует независимость их откло­нений X — т_х и У — т_у. Пользуясь свойствами м.о. (п. 2.5), получаем К_Ху = М(Х - т_х) • M{Y - т_у) = 0.

4. D(X + У) = М{{Х + У) - М(Х + У))² =

= M{{X-MX)+{Y-MY))² = M(X-MX)²+2M(X-MX)(Y~MY)+

+ М(У - MY)² = DX + DY + 2K_Xy, — У) = DX + D(—Y) + 2M(X - МХ)(-У - М(-У)) =

= DX + DY- 2K_xy.

5. K_cX,y = M{cX - McX)(Y - MY) = M[c(X - MX)(Y - MY)] = = cK_XY-

6. Доказывается аналогично.

г,тт ^ X -m_x Y -m_y

7. Применяя свойство 4 к двум стандартным с. в. ——— и ———

(см. 2.5), получаем:

±2М

= 1 + 1

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

2 (l ± ^ 0. (3.33)

Отсюда следует, что -а_ха_у < К_Ху < о^сгу, т. е. \Kxy\ ^ ■

Из свойства 3 следует, что если Kxy ф 0, то с. в. X и У зависимы. Случайные величины X и У в этом случае (Kxy ф 0) называют корре­лированными. Однако из того, что Кху = 0, не следует независимость с. в. X и У. В этом случае (Кху = 0) с. в. X и У называют некоррелиро­ванными. Из независимости вытекает некоррелированность; обратное, вообще говоря, неверно.

Как следует из свойств ковариации, она [Кху) характеризует и степень зависимости случайных величин, и их рассеяние вокруг точки (т_х,т_у). Размерность ковариации равна произведению размерностей с. в. X и У. В качестве числовой характеристики зависимости (а не рассеяния) с. в. X и У берут безразмерную величину — коэффициент корреляции. Он является лучшей оценкой степени влияния одной с. в. на другую.

Коэффициентом корреляции гху двух с. в. X и У называется от­ношение их ковариации (корреляционного момента) к произведению их с. к. о.:

Kxy ₌ cov(X,Y) ^7х<ту у/Ш^Ш

Очевидно, коэффициент корреляции равен ковариации стандартных

„ X -тп_х Y -ТПу

с.в. Z\ = —— и Z₂ = —щ—, т.е. г_Ху = cov(Zi,Z₂).

Свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1, т.е.

\г_Ху\ < 1 или - 1 < г_Ху < 1.

2. Если X и У независимы, то

rxY = о.

3. Если с. в. X и У связаны линейной зависимостью, т. е. У = аХ + b, а ф 0, то

\гху \ = 1,

причем txy — 1 при а > 0, гху = —1 при а < 0.

4. Если \гху \ = 1, то с. в. X и У связаны линейной функциональной зависимостью.

Q 1. Тале как \'И ^ о_х • а_у (свойство 7 ковариации), то

и I \^К*У\ / ₁

2. Kxy = 0 в случае независимости X и У. Следовательно,

_ kxy _ _П rxY — _{а п} = U.

V_x(Jy

3. Согласно свойствам ковариации, имеем

cov(X, У) = cov(X, аХ + 6) = cov(aX + 6, X) = a cov (x + x) -

= acov(X,X) =аШГ

и £>У = + Ъ) = a²DX. Поэтому

_r соу(Х,У) ₌ аДХ a ^ fl, при a > 0,

у/Шу/Ш \ПХХ-\а\-\ПХХ i°l l"¹* при a < 0.

4. Пусть txy — 1. Тогда из равенства

/X-m_x __ Y-my\ ₌ / _ K_Ky\

^ Ox Vy ) \ °х<Уу )

(см. свойство 7 ковариации) получаем

_D(X-m_x_Y__mA ₌

\ cr_x <7у J '

X -т_х Y - ту т. е. — z= = с — постоянная. Но

(J х О у

= 0-0 = 0,

л гл X — m_x Y — т_у сг_у

т. е. с = 0. Значит, —^ = —^—т. е. У = ~~ + ^тУ ^ПР^И

r_Xy = —1 получаем

Y = -т_х) + т_у.

Таким образом, при г_Ху = ±1 с. в. X и У связаны линейной функцио­нальной зависимостью. I

Итак, для независимых случайных величин гху — 0i для линейно связанных \r_Xy\ = 1, а в остальных случаях —1 < r_Xy < 1; гово­рят, что с. в. связаны положительной корреляцией, если гху > 0; если
txy <0 — отрицательной корреляцией. Чем ближе jrxrj к единице, тем больше оснований считать, что X и У связаны линейной зависи­мостью. Отметим, что корреляционные моменты и дисперсии системы с. в. обычно задаются корреляционной матрицей:

Найти коэффициент корреляции гху-

О Находим законы распределения составляющих X и У:

Находим математическое ожидание составляющих: т_х= 0-0,6 +1-0,4 = = 0,4, ш_у = -1 ♦ 0,35 + 0 • 0,50 + 1-0,15 = -0,20 (их можно было бы найти, используя формулу (3.20); так

т_х = ^^XiPij = 0-0,15+0-0,40+0-0,05+1-0,20+1-0,10+1-0,10 = 0,4).

г=1 3=1

Находим дисперсии составляющих:

DX = [MX² - (MX)²] =(О² • 0,6 + I² • 0,4) - (0,4)² = 0,24,DY= ((-I)² - 0,35 + О² - 0,50 + I² • 0,15) - (-0,20)² = 0,46.

Стало быть: а_х= лДГДЗ « 0,49, а_у= « 0,68. Находим MXY,

используя формулу (3.26): MXY= 0 • (-1) • 0,15 + 0 • 0 • 0,40 + 0 • 1 ■ 0,05 + +1 - (-1) • 0,20 +1 • 0 • 0,10 +1-1 • 0,10 = -0,10 (можно было бы составить закон распределения Z = XY,а затем найти MZ= MXY:

MZ = МХУ= -1-0,20 + 0-0,70+1-0,10 = -0,10). Находим корреляци­онный момент, используя формулу (3.31): Кху — [МХУ — MX ■ МУ] = = —0,10—0,4-(—0,20) = -0,10+0,08 = -0,02 ф 0. Находим коэффициент корреляции (формула (3.34)):

-0,02 0,49 • 0,68