Числовые характеристики двумерной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия
Для системы случайных величин также вводятся числовые характеристики, подобные тем, какие были для одной случайной величины. В качестве числовых характеристик системы (X, У) обычно рассматривают моменты различных порядков (см. п. 2.5). На практике чаще всего используются моменты I и II порядков: математическое ожидание (м. о.), дисперсия и корреляционный момент. Математическое ожидание и дисперсия двумерной случайной величины служат соответственно средним значением и мерой рассеяния. Корреляционный момент выражает меру взаимного влияния случайных величин, входящих в систему (X, У). К] Математическим ожиданием двумерной с. в. (X, У) называется совокупность двух м.о. MX и МУ, определяемых равенствами: п т п т MX = тх = x*Pv> MY = mf = ЕЕ (3-20) если (Х,У) — дискретная система с. в. (здесь ptj — Р{Х = Xi,Y = и оо оо оо оо МХ= J J xf{x,y)dxdy, MY = J I yf{x,y)dxdy, (3.21) — oo —oo —oo —oo если (X,У) — непрерывная система с. в. (здесь /(ж,у) — плотность распределения системы). Дисперсией системы с. е. (Л", У) называется совокупность двух дисперсий DX и -ОУ, определяемых равенствами: п т п т DX = - mx)2pih DY^Yl Sfe " my)2Piji (3-22) г—1 j=l j=l если (X, У) — дискретная система с. в. и оо оо оо оо VX = J J (х -mx)2f{x,y)dxdy, DY = J j (у - my)2f(x,y) dxdy, —oo —oo —oo —oo (3.23) если (X, У) — непрерывная система с. в. Дисперсии DX и DY характеризуют рассеяние (разброс) случайной точки (X, У) и в направлении осей Ох и Оу вокруг точки (тх, ту) на плоскости Оху — центра рассеяния. Математические ожидания тх и ту являются частными случаями начального момента s порядка k + s системы (X, У), определяемого равенством akyS = M(XkYs); тх = М(ХхУ0) = en,о и fTiy — М(Х°У!) - а0)1. Дисперсии DX и 1>У являются частными случаями центрального .шшента /ifc)S порядка k + s системы (X, У), определяемого равенством tiki$ = M((X-mx)k(Y-myy); DX = М(Х - тх)2 = /12,0 и ЛУ = М(У - ту)2 = Мо,2- Математическое ожидание с.в. с/?(Х,У), являющейся функцией компонент X и У двумерной с. в. (X, У) находится, аналогично, по формулам: оо оо М(<р(Х,У)) = J J <p(x,y)f(x,y)dxdy (3.24) для непрерывного случая и 7i т М(<р(Х, У)) = Y, £ Vj)Pij (З-25) г—1 j=l для дискретного случая. Начальный момент II порядка «хд — MXY часто встречается в приложениях. Вычисляется по формуле п т MXY = (3.26) Т=1 j = l для дискретных с. в. оо оо MXY = J J xyf{x,y)dxdy (3.27) для непрерывных с. в. Корреляционный момент, коэффициент корреляции Особую роль играет центральный смешанный момент второго порядка дхд = M(X^mx)(Y—my) = MXY, называемый корреляционным моментом или лш-мемтпсш связи. рч| #орреллг$ион>тл< л«ол4ентол4 (или ковариацией) двух случайных ве личин X и У называется м. о. произведения отклонений этих с. в. от их м.о. и обозначается через Kxy или cov(X,У). Таким образом, по определению Kxy = cov(X, У) = М[{Х - mx){Y - my)] = MXY. (3.28) При этом: если (X, У) — дискретная двумерная с.в., то ковариация вычисляется по формуле п т КХУ = £ ~~ m*Ki/j ~ my)Pij> (3-29) г=1 j= 1 если (X, У) — непрерывная двумерная с. в., то оо оо Kxy = J j (х ~тх){у -my)f(x,y)dxdy (3.30) —оо —оо (формулы (3.29) и (3.30) получены на основании формул (3.24) и (3.25)). Ковариадию часто удобно вычислять по формуле Kxy = cov(X, У) = MXY - MX ■ MY, (3.31) которая получается из определения (3.28) на основании свойств математического ожидания: Kxy = М[(Х - mx)(Y - ту)] = M{XY - Хту - Ymx + тхту) = = MXY — туМХ — mxMY + тхту = MXY ~ тхту — тхту + тхту — = MXY - MX • MY. Формулу (3.30) можно записать в виде оо оо Kxy= J J ху f(x,y)dxdy - тхту. (3.32) -оо -оо Свойства ковариащш: 1. Ковариация симметрична, т. е. Kxy — Кух- 2. Дисперсия с. в. есть ковариация ее с самой собой, т. е. Кхх = DX, Куу = DY. 3. Если случайные величины X и Y независимы, то КХу = 0. 4. Дисперсия суммы (разности) двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс (минус) удвоенная ковариация этих случайных величин, т. е. D{X ± Y) = DX + DY ± 2KXy. 5. Постоянный множитель можно вынести за знак ковариаций, т. е. Kcx,y = с-Kxy — Kx,cy или cov(cX, У) = ccov(X, У) = cov(X, сУ). 6. Ковариация не изменится, если к одной из с. в. (или к обоим сразу) прибавить постоянную, т. е. Kx+c,y = Kxy = Кх,у+с = Kx+cyY+c или cov(X + с,У) — cov(X, У) = cov(X, Y + с) — cov(X + с, У + с). 7. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит их с.к.о., т.е. \Kxy\ ^ ' о-у Q 1. Следует из определения (3.28) ковариации. 2. КХХ = М[(Х- тх){Х - тх)} - М{Х - тх)2 = DX. 3. Из независимости с. в. X и У следует независимость их отклонений X — тх и У — ту. Пользуясь свойствами м.о. (п. 2.5), получаем КХу = М(Х - тх) • M{Y - ту) = 0. 4. D(X + У) = М{{Х + У) - М(Х + У))2 = = M{{X-MX)+{Y-MY))2 = M(X-MX)2+2M(X-MX)(Y~MY)+ + М(У - MY)2 = DX + DY + 2KXy, — У) = DX + D(—Y) + 2M(X - МХ)(-У - М(-У)) = = DX + DY- 2Kxy. 5. KcX,y = M{cX - McX)(Y - MY) = M[c(X - MX)(Y - MY)] = = cKXY- 6. Доказывается аналогично. г,тт ^ X -mx Y -my 7. Применяя свойство 4 к двум стандартным с. в. ——— и ——— (см. 2.5), получаем: ±2М = 1 + 1 Любая дисперсия неотрицательна, поэтому 2 (l ± ^ 0. (3.33) Отсюда следует, что -ахау < КХу < о^сгу, т. е. \Kxy\ ^ ■ Из свойства 3 следует, что если Kxy ф 0, то с. в. X и У зависимы. Случайные величины X и У в этом случае (Kxy ф 0) называют коррелированными. Однако из того, что Кху = 0, не следует независимость с. в. X и У. В этом случае (Кху = 0) с. в. X и У называют некоррелированными. Из независимости вытекает некоррелированность; обратное, вообще говоря, неверно. Как следует из свойств ковариации, она [Кху) характеризует и степень зависимости случайных величин, и их рассеяние вокруг точки (тх,ту). Размерность ковариации равна произведению размерностей с. в. X и У. В качестве числовой характеристики зависимости (а не рассеяния) с. в. X и У берут безразмерную величину — коэффициент корреляции. Он является лучшей оценкой степени влияния одной с. в. на другую. Коэффициентом корреляции гху двух с. в. X и У называется отношение их ковариации (корреляционного момента) к произведению их с. к. о.:
Kxy = cov(X,Y) 7х<ту у/Ш^Ш Очевидно, коэффициент корреляции равен ковариации стандартных „ X -тпх Y -ТПу с.в. Z\ = —— и Z2 = —щ—, т.е. гХу = cov(Zi,Z2). Свойства коэффициента корреляции: 1. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1, т.е. \гХу\ < 1 или - 1 < гХу < 1. 2. Если X и У независимы, то rxY = о. 3. Если с. в. X и У связаны линейной зависимостью, т. е. У = аХ + b, а ф 0, то \гху \ = 1, причем txy — 1 при а > 0, гху = —1 при а < 0.
4. Если \гху \ = 1, то с. в. X и У связаны линейной функциональной зависимостью. Q 1. Тале как \'И ^ ох • ау (свойство 7 ковариации), то и I \К*У\ / 1 2. Kxy = 0 в случае независимости X и У. Следовательно, _ kxy _ П rxY — а п = U. Vx(Jy 3. Согласно свойствам ковариации, имеем cov(X, У) = cov(X, аХ + 6) = cov(aX + 6, X) = a cov (x + x) - = acov(X,X) =аШГ и £>У = + Ъ) = a2DX. Поэтому r соу(Х,У) = аДХ a ^ fl, при a > 0, у/Шу/Ш \ПХХ-\а\-\ПХХ i°l l"1* при a < 0. 4. Пусть txy — 1. Тогда из равенства /X-mx __ Y-my\ = / _ KKy\ ^ Ox Vy ) \ °х<Уу ) (см. свойство 7 ковариации) получаем D(X-mx_Y__mA = \ crx <7у J ' X -тх Y - ту т. е. — z= = с — постоянная. Но (J х О у = 0-0 = 0, л гл X — mx Y — ту сгу т. е. с = 0. Значит, —^ = —^—т. е. У = ~~ + тУ ПРИ rXy = —1 получаем Y = -тх) + ту. Таким образом, при гХу = ±1 с. в. X и У связаны линейной функциональной зависимостью. I Итак, для независимых случайных величин гху — 0i для линейно связанных \rXy\ = 1, а в остальных случаях —1 < rXy < 1; говорят, что с. в. связаны положительной корреляцией, если гху > 0; если
Найти коэффициент корреляции гху-
О Находим законы распределения составляющих X и У:
Находим математическое ожидание составляющих: тх= 0-0,6 +1-0,4 = = 0,4, шу = -1 ♦ 0,35 + 0 • 0,50 + 1-0,15 = -0,20 (их можно было бы найти, используя формулу (3.20); так тх = ^^XiPij = 0-0,15+0-0,40+0-0,05+1-0,20+1-0,10+1-0,10 = 0,4). г=1 3=1 Находим дисперсии составляющих: DX = [MX2 - (MX)2] =(О2 • 0,6 + I2 • 0,4) - (0,4)2 = 0,24,DY= ((-I)2 - 0,35 + О2 - 0,50 + I2 • 0,15) - (-0,20)2 = 0,46. Стало быть: ах= лДГДЗ « 0,49, ау= « 0,68. Находим MXY, используя формулу (3.26): MXY= 0 • (-1) • 0,15 + 0 • 0 • 0,40 + 0 • 1 ■ 0,05 + +1 - (-1) • 0,20 +1 • 0 • 0,10 +1-1 • 0,10 = -0,10 (можно было бы составить закон распределения Z = XY,а затем найти MZ= MXY:
MZ = МХУ= -1-0,20 + 0-0,70+1-0,10 = -0,10). Находим корреляционный момент, используя формулу (3.31): Кху — [МХУ — MX ■ МУ] = = —0,10—0,4-(—0,20) = -0,10+0,08 = -0,02 ф 0. Находим коэффициент корреляции (формула (3.34)):
-0,02 0,49 • 0,68
©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
|