Плотность распределения и ее свойства

Глава 2

Случайные величины

2.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины

Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со слу­чайным событием и вероятностью) является понятие случайной вели­чины.

Рч| Под случайной величиной понимают величину, которая в результа­

те опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины (сокращенно: с. в.) обозначаются прописны­ми латинскими буквами X, Y_y Z,... (или строчными греческими буква­ми £ (кси), г/ (эта), в (тэта), ф (пси) и т. д.), а принимаемые ими значения соответственно малыми буквами х₂, ■ ■ ■, у\, У2, Уз-> ■ • ■ ■

Примерами с. в. могут служить: 1) X — число очков, появляющих­ся при бросании игральной кости; 2) Y — число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Z — время безотказной работы прибора и т. п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в пар­тии, температура воздуха, выигрыш игрока, координата точки при слу­чайном выборе ее на [0; 1], прибыль фирмы,...). Рч| Случайная величина, принимающая конечное или счетное множе-

— ство значений, называется дискретной (сокращенно: д. с. в.).

Если же множество возможных значений с. в. несчетно, то такая величина называется непрерывной (сокращенно: н.с. в.).

То есть д. с. в. принимает отдельные изолированные друг от дру­га значения, а н. с. в. может принимать любые значения из некоторого промежутка (например, значения на отрезке, на всей числовой прямой и т.д.). Случайные величины X и У (примеры 1) и 2)) являются дис­кретными. С. в. Z (пример 3)) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку [0, t), где t ^ 0, правая граница не определена (теоретически t = +оо). Отметим, что рассматриваются также с. в. смешанного типа.

Дадим теперь строгое определение с. в., исходя из теоретико-мно­жественной трактовки основных понятий теории вероятностей.

Случайной величиной X называется числовая функция, опреде­ленная на пространстве элементарных событий 12, которая каждому элементарному событию w ставит в соответствие число т.е.

X = X{w), юеП (или X = Дш)).

Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС £1 ~ = {ш^ад^гиз, V4}, где ui^ = ГГ, w₂ = ГР, = РГ, = РР, можно рассмотреть с. в. X — число появлений герба. С. в. X является функ­цией от элементарного события w_t\ X(tui) = 2, AT(102) = 1, JV(WJ3) — 1, X(v)/[) = 0; X — д.с. в. со значениями x^ ~ 0, x₂ — 1, £3 = 2.

Отметим, что если множество конечно или счетно, то случай­ной величиной является любая функция, определенная на О. В общем случае функция X(tu) должна быть такова, чтобы для любых х G Ш событие А = {w: X(w) < х} принадлежало сг-алгебре множеств S и, значит, для любого такого события была определена вероятность Р{А) = Р{Х < х).

Для полного описания с. в. недостаточно лишь знания ее возмож­ных значений; необходимо еще знать вероятности этих значений.

Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее нахо­дить вероятности произвольных событий А С S (S — ст-алгебра собы­тий пространства S7), в частности, указывающее вероятности отдель­ных значений случайной величины или множества этих значений, на­зывается законом распределения случайной величины (или просто: рас­пределением). Про с. в. говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».

2.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения

Пусть X — д.с.в., которая принимает значениях\,х₂,хз,... _:х_п,... (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероят­ностью р_гу где i = 1,2,3,..., п, — Закон распределения д. с. в. удобно задавать с помощью формулы р_г = Р{Х =:г_г}, г = 1,2,3,..., п,..., определяющей вероятность того, что в результате опыта с. в. X примет значение х_г. Для д. с. в. X закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения:

X	хх	Х2
р	Р\	Р2		Рп

 

где первая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) с. в., а вторая — их вероятности. Такую таблицу называ­ют рядом распределения.

Так как события {X — xi}, {X ~... несовместны и образуют

полную группу, то сумма их вероятностей равна единице (см. п. 1.12),

т.е. Y^Pi = i

Закон распределения д. с. в. можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с. в., а на оси ординат — вероят­ности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки (х\,р\), (х₂,р₂), •■■ называют многоугольником (или полигоном) рас­пределения (см. рис. 17).

Рис. 17

 

Теперь можно дать более точное определение д. с. в. |нч| Случайная величина X дискретна, если существует конечное или

счетное множество чисел х-\, х₂,...таких, что Р{Х = х^} = Pi > О [г = 1,2,...) и pi + р2 + рз +. •. = 1-

Определим математические операции над дискретными с. в. ф Суммой (разностью, произведением) д. с. в. X, принимающей зна-

~ чения Х{ с вероятностями pi = Р{Х — Xi], г — 1,2,..., п и д. с. в. У, при­нимающей значения yj с вероятностями pj = P{Y = у₃}, j = 1,2,..., га, называется д. с. в. Z = X + У (Z = X — У, Z = X • У), принимающая значения z^j = х_г + yj (Zij = х\ — у i, Z{j — Х{ ■ уj) с вероятностями Pij = Р{Х — Xi,Y — yj} для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых сумм Х{ + yj (разностей х₇ — у₃, произведений Xiijj) соответствующие вероятности складываются.

Произведение д. с. в. на число с называется д. с. в. сХ, принимающая значения cxi с вероятностями Pi — Р{Х — х^. PJ| Две д. с. в. X и У называются независимыми, если события

{X = = Ai и {У = yj} — Bj независимы для любых i = 1,2,...,п;

j = 1,2,...,m, т.е.

Р{Х = х_г; Y = </,} = = хЛ • =

В противном случае с. в. называются зависимыми. Несколько с. в. на­зываются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Пример 2.1. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные — чер­ные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.

О Возможные значения с. в. X — числа белых шаров в выборке есть Xi — О, Х2 = 1, — 2, Х\ = 3. Вероятности их соответственно будут

Р/ Y nl • 1 „г у _лх • С.з 15

_Р1 = Р{Х = о} = = gg, Р2 = Р{Х = 1} = -^з- =

Рз —, = ^. Закон распределения запишем в виде таблицы.

X
р

 

(Контроль: ЕР. = ^ + | + 1 + | = 1.)

Упражнения

1. Монета бросается 4 раза. Построить многоугольник распределения с. в. X — числа выпадений герба.

2. Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна 0,6, а вто­рым — 0,9. Составить ряд распределения с. в. Л" — числа студен­тов, успешно сдавших экзамен в случае, когда: а) экзамены пере­сдавать нельзя; б) экзамен можно один раз пересдать.

2.3. Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины

Очевидно, ряд распределения с. в. может быть построен только для д. с. в.; для н. с. в. нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как увидим позже (п. 2.3, 2.4), вероятность каждого отдель­но взятого значения н. с. в. равна нулю! Представим себе вероятность того, что рост мужчины — н. с. в. — точно равен л/3 — 1,7320508... ме­тров; купленная нами лампа проработает — н. с. в. — ровно 900 часов;.... Удивительно интересный факт: событие возможное, но имеет ну­левую вероятность.

Для характеристики поведения н.с. в. целесообразно использовать вероятность события {X < х} (а не {JY —,т}), где х — некоторое дей­ствительное число. С точки зрения практики нас мало интересует собы­тие, состоящее, например, в том, что лампочка проработает ровно 900 часов, т. е. X — 900. Более важным является событие вида {X < 900} (или {X > 900}). Такое событие имеет ненулевую вероятность; при из­менении х вероятность события {JV < х] в общем случае будет менять­ся. Следовательно, вероятность Р{Х < ж} является функцией от х.

Универсальным способом задания закона распределения вероятно­стей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случай­ных величин, является ее функция распределения, обозначаемая F\(x) (или просто F(x), без индекса, если ясно, о какой с. в. идет речь). К] Функцией распределения с. в. X называется функция F{x), которая

для любого числа х 6 R равна вероятности события {vY < х}.

Таким образом, по определению

F{x) = Р{Х < х} т. е. F(x) = P{w: X(w) < х}. (2.1)

Функцию F(x) называют также интегральной функцией распределения.

Геометрически равенство (2.1) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что с. в. X примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки ж, т. е. случайная точка X попадет в интервал (—оо,х), см. рис. 18.

_______ Х<х

Л__________ -

X X

Рис. 18

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. F(x) ограничена, т.е.

О < F(x) ^ 1.

2. F(x) — неубывающая функция на i?, i.e. если х₂ > х, то

F{x₂)^F(X₁).

3. F(x) обращает в ноль на минус бесконечности и равна единице в плюс бесконечности, т. е.

F(-oo) — 0, F(-j-oo) = 1.

4. Вероятность попадания с. в. X в промежуток [а, Ь) равна прираще­нию ее функции распределения на этом промежутке, т. е.

Р{а < X < b} = F(b) - F(a). (2.2)

5. F(x) непрерывна слева, т. е.

lim F(x) = F(xо).

х —> хо—О

□ 1. Первое свойство следует из определения (2.1) и свойств вероят­ности (п. 1.11, 1.12).

2. Пусть А = {X < х\}, В ~ {X < х₂). Если х\ < х_2у то собы­тие А влечет событие В (п. 1.4), т. е. А С В. Но тогда согласно свой­ству 4 (п. 1.12), имеем Р(А) ^ Р{В), т.е. Р{Х < х{\ < Р{Х < х₂} или F(x_l)^F(x₂).

Геометрически свойство 2 очевидно: при перемещении точки х вправо по числовой оси вероятность попадания случайной точки X в интервал (~оо,х") не может уменьшаться.

3. Третье свойство вытекает непосредственно из того, что {X < —оо} — 0, а {X < -|-оо} — П; согласно свойствам вероятности (п. 1.11, 1.12), имеем: F(-oo) = Р{Х < -оо} ^ Р{0} = О, оо) = = Р{Х < +оо} = Р{П} - 1.

4. Так как а < 6, то очевидно, что {X < b} — {X < а}-\-{а ^ X < Ь} (это хорошо видно на рис. 19).

Так как слагаемые в правой части — несовместные события, то по теореме сложения вероятностей (п. 1.11) получаем Р{Х < Ь} — = Р{Х < а} + Р{а < X < b}. Отсюда следует Р{а < X < Ь} - = Р{Х <b}~ Р{Х < а} = F(b) - F(a).

5. Свойство 5 проиллюстрируем далее на примере 2.2. ■

{£<ь} ___________

{X < а} ^а {а^Х <Ь] Рис. 19

Всякая функция F(x), обладающая свойствами 1-3, 5, может быть функцией распределения некоторой случайной величины.

Заметим, что формула (2.2) (свойство 4) справедлива и для н.с. в., и для д. с. в.

С помощью функции распределения можно вычислить вероятность события {X ^ х}:

7 Р{Х > х} = 1 - F(x). (2.3)

Можно дать более точное определение н.с. в.

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Используя свойство 4 можно показать, что «вероятность того, что н.с. в. X примет заранее указанное определенное значение а, равна ну­лю».

Действительно, применим формулу (2.2) к промежутку [а, ж): Р{а ^ X < х] = F(x)~F(a). Будем неограниченно приближать точку х к а. Так как функция F(x) непрерывна в точке а, то lim F(x) = F (а). В

x—ta

пределе получим Р{Х = а] = lim F(a;) — F(a) — F(a) — F(a) = 0. Если

x—>o

функция F(x) везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения с. в. равна нулю.

Следовательно, для н. с. в. справедливы равенства

Р{а ^ х < Ь} = Р{а <x<b} = P{a^x^b} = Р{Х <Е (о,6]}.

Действительно,

Р{а ^ х < 6} = Р{Х = а) + Р{а < х < b} = Р{а < х < 6}

и т.д.

Функция распределения д. с. в. имеет вид

= (2.4)

x_t<x

Здесь суммирование ведется по всем г, для которых х_г < х. Равен­ство (2.4) непосредственно вытекает из определения (2.1).

Пример 2.2. По условию примера 2.1 (п. 2.2) найти функцию распре­деления F(x) и построить ее график.

О Будем задавать различные значения х и находить для них F(x) = = Р{Х < х}:

1. Если х ^ 0, то, очевидно, F(z) = Р{Х < 0} = 0;

2. Если 0 < х ^ 1, то F(x) - Р{Х < х} ~ Р{Х

3. Если 1 < х ^ 2, то F(x) = Р{Х -0} + Р{Х = 1} = i + Щ = Щ]

4. Если 2 < х < 3, то = Р{Х = 0} + Р{Х = 1} + = 2} = L 4-1^ + 20 ₌ 46.

б"¹" 56^ 56 56'

5. Если 3 < х, то F(ar) = Р{Х = 0} + Р{Х = 1 } + Р{Х = 2} + Р{Х =

(2.5)

^h 56 Итак,

г0,	если
56 '	если	0 < х <
56 '	если	1 < х <
46 56 '	если	2 < х <
Л	если	3 < х.

 

Строим график F(x), рис. 20.

F(x)> 1

46/56

>Рз

 

г

Р2

16/56? /56

El

 

Рис. 20

Как видим, функция распределения д. с. в. X есть разрывная, со скачками р_г в точках х_1у функция, «непрерывная слева» (при подходе к точке разрыва слева функция F(x) сохраняет значение). Ее график имеет ступенчатый вид.

Отметим, что, пользуясь равенством (2.4), функцию распределения можно сразу записать в виде (2.5)

'0,
	+
	+		+
	+		+
L 56

 

Упражнения

 

1. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероят­ность попадания для первого стрелка равна 0,6, а для второго —- 0,8. Найти и построить функцию распределения с. в. X — числа попаданий в мишень.

2. Убедиться, что функция

₍, __ ГО, если х < 0,

\l — если х > 0

является функцией распределения некоторой случайной величины. Найти Р{0 ^ х < 1} и построить график F(x).

3. Дана функция распределения

при X

0, при х < 0, Fx{x) = { прих < V2,

> у/2.

Найти вероятность того, что в результате четырех испытаний с. в. X трижды примет значение, принадлежащее интервалу (0; 1).

Плотность распределения и ее свойства

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины (помимо функции распределения) является плотность распределения вероятностей. Напомним (см. п. 2.3), что: с. в. X называется непрерыв­ной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Плотностью распределения вероятностей (плотностью распреде­ления, плотностью вероятностей или просто плотностью) непрерыв­ной случайной величины X называется производная ее функции рас­пределения.

Обозначается плотность распределения н.с.в. X через fx(x) (или рх(х)) или просто f(x) (или р(х)), если ясно о какой с. в. идет речь. Таким образом, по определению

f(x)=F*(x). (2.6)

Функцию f(x) называют также дифференциальной функцией распреде­ления; она является одной из форм закона распределения случайной величины, существует только для непрерывных случайных величин.

Установим вероятностный смысл плотности распределения. Из определения производной следует

AF(x) F(x + As) - F(x)

tlx) = lim —----- — nm ------------ r-----------.

Лх-»о Ax Дж-и) Ax

Но согласно формуле (2.2), F(x + Да:) — F(x) = P{x < X < x + Да;}.

P{x<X<x + Arr} Отношение —————г —— представляет собой среднюю вероят-

Да;

ность, которая приходится на единицу длины участка [х,х + Да:), т.е. среднюю плотность распределения вероятности. Тогда

/(х) = lim Р{**Х<х + Лх} ^{J V} ' Дя-Ю Ах ' ^{К J}

т. е. плотность распределения есть предел отношения вероятности по­падания с. в. в промежуток [х\ х + Да:) к длине Ах этого промежутка, когда Да: стремится к нулю. Из равенства (2.7) следует, что

Р{х ^ X < х + Да:} » f(x)Ax.

То есть плотность вероятности определяется как функция f{x), удо­влетворяющая условию Р{х ^ X < х + dx} ~ f(x)dx; выражение f{x) dx называется элементом вероятности.

Отметим, что плотность f(x) аналогична таким понятиям, как плотность распределения масс на оси абсцисс или плотность тока в теории электричества.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. f(x) неотрицательная, т.е.

f(x) > 0.

2. Вероятность попадания н. с. в. в промежуток [а,- 6] равна определен­ному интегралу от ее плотности в пределах от а до Ь, т. е.

Ь

Р{а^Х ^ 6} = J f{x) dx. (2.8)

а

3. Функция распределения н. с в. может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле

X

F(x)= J f(t)dt

-оо

4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности веро­ятности н. с. в. в бесконечных пределах равен единице, т. е.

оо

J f(x)dx = 1. —оо

Q 1. Плотность распределения f(x) — неотрицательная функция: F(x) — неубывающая функция (п. 2.3), следовательно, F'{x) ^ 0, т.е. f(x) ^ 0. Это означает, что график плотности f(x), называемый кривой распределения, не ниже оси абсцисс; плотность может принимать сколь угодно большие значения.

2. Так как F(x) есть первообразная для плотности f{x), то по фор­муле Ньютона-Лейбница имеем

ь

J f(x) dx = F(b) — F{a).

a

Отсюда в силу свойства 4 функции распределения (формула (2.2)), по­лучаем

ь

j f(x) dx — Р{а ^ X ^ Ь}.

а

Геометрически эта вероятность равна площади S фигуры, ограничен­ной сверху кривой распределения f(x) и опирающейся на отрезок [о; Ь] (рис. 21).

Рис. 21

 

3. Используя свойство 2, получаем:

X X

dt

F {x) - Р{Х <х} = Р{-оо < X < х} = J f{x)dx = J f(t)

(буква t для ясности).

4. Полагая в формуле (2.8) а = —оо и Ь = +оо, получаем достовер­ное событие X 6 (—оо; +оо). Следовательно,

-f-oo

J f{x) dx = оо < X < +00} = P{Q} = 1.

Геометрически свойство нормировки означает, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения f(x) и осью абсцисс, равна еди­нице. ■

Можно дать такое определение непрерывной случайной величины: случайная величина X называется непрерывной, если существует не­отрицательная функция f(x) такая, что при любом х функцию распре­деления F(x) можно представить в виде

х

F(x)= J f(t)dt.

-оо

А затем получить, что j(x) — F'{x). Отсюда следует, что F(x) и f(x) являются эквивалентными обобщающими характеристиками с. в. X.

Как отмечалось ранее (п. 2.3) для н.с.в. X, вероятность события {X = с}, где с — число, равна нулю. Действительно,

с

\

р{Х = с} - Р{с < X ^ с} = J f{x) dx = 0.

Отсюда также следует, что

Р{Х? [a-b)} = Р{Х е [о; b]} = Р{Х G (а;6)}.

Пример 2.3. Плотность распределения с. в. X задана функцией f(x) =

_ —значение параметра а. 1+ аг

О Согласно свойству 4 плотности, имеем

+оо d

—Q—^dx = 1, т.е. a lim / ——^х ■■ = 1, т.е. a- lim arctffx|^rf= 1

l+ж² <f-++ooj 1_+ж2 » lc

-оо с^-оо _с С-»-оо

или а • ^ — ("^г)) = 1 и, наконец, получаем атг = 1, т. е. а = ^. •

Упражнения

1. Случайная величина X задана функцией распределения:

{

0, при х ^ — 1,

а(х + I)², при - 1 < х < 2, 1, при о: > 2.

Найти значение о, построить графики и /(ж).

2. Кривая распределения н.с.в. X имеет вид, указанный на рис. 22. Найти выражение для fx (я), Функцию распределения Fx(x), веро­ятность события {Xef^;!)}.

№	м
	1 0	X

Рис. 22

 

3. Является ли плотностью распределения некоторой с. в. каждая из

следующих функций:

a) fix) = ^х при х G (-оо; +оо); 7Г(1 + X)

б)fix) = [b

(О, при х (1; 1];

f/„\ _ /°> ^ПР^И х <0и х>2,