Глава 2
Случайные величины
2.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины.
Рч| Под случайной величиной понимают величину, которая в результа
те опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Случайные величины (сокращенно: с. в.) обозначаются прописными латинскими буквами X, Yy Z,... (или строчными греческими буквами £ (кси), г/ (эта), в (тэта), ф (пси) и т. д.), а принимаемые ими значения соответственно малыми буквами х2, ■ ■ ■, у\, У2, Уз-> ■ • ■ ■
Примерами с. в. могут служить: 1) X — число очков, появляющихся при бросании игральной кости; 2) Y — число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Z — время безотказной работы прибора и т. п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в партии, температура воздуха, выигрыш игрока, координата точки при случайном выборе ее на [0; 1], прибыль фирмы,...). Рч| Случайная величина, принимающая конечное или счетное множе-
— ство значений, называется дискретной (сокращенно: д. с. в.).
Если же множество возможных значений с. в. несчетно, то такая величина называется непрерывной (сокращенно: н.с. в.).
То есть д. с. в. принимает отдельные изолированные друг от друга значения, а н. с. в. может принимать любые значения из некоторого промежутка (например, значения на отрезке, на всей числовой прямой и т.д.). Случайные величины X и У (примеры 1) и 2)) являются дискретными. С. в. Z (пример 3)) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку [0, t), где t ^ 0, правая граница не определена (теоретически t = +оо). Отметим, что рассматриваются также с. в. смешанного типа.
|
Дадим теперь строгое определение с. в., исходя из теоретико-множественной трактовки основных понятий теории вероятностей.
Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий 12, которая каждому элементарному событию w ставит в соответствие число т.е.
X = X{w), юеП (или X = Дш)).
Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС £1 ~ = {ш^ад^гиз, V4}, где ui^ = ГГ, w2 = ГР, = РГ, = РР, можно рассмотреть с. в. X — число появлений герба. С. в. X является функцией от элементарного события wt\ X(tui) = 2, AT(102) = 1, JV(WJ3) — 1, X(v)/[) = 0; X — д.с. в. со значениями x^ ~ 0, x2 — 1, £3 = 2.
Отметим, что если множество конечно или счетно, то случайной величиной является любая функция, определенная на О. В общем случае функция X(tu) должна быть такова, чтобы для любых х G Ш событие А = {w: X(w) < х} принадлежало сг-алгебре множеств S и, значит, для любого такого события была определена вероятность Р{А) = Р{Х < х).
Для полного описания с. в. недостаточно лишь знания ее возможных значений; необходимо еще знать вероятности этих значений.
Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий А С S (S — ст-алгебра событий пространства S7), в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто: распределением). Про с. в. говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».
2.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
|
Пусть X — д.с.в., которая принимает значениях\,х2,хз,... :хп,... (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью ргу где i = 1,2,3,..., п, — Закон распределения д. с. в. удобно задавать с помощью формулы рг = Р{Х =:гг}, г = 1,2,3,..., п,..., определяющей вероятность того, что в результате опыта с. в. X примет значение хг. Для д. с. в. X закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения:
X | хх | Х2 | |||
р | Р\ | Р2 | Рп |
где первая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) с. в., а вторая — их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.
Так как события {X — xi}, {X ~... несовместны и образуют
полную группу, то сумма их вероятностей равна единице (см. п. 1.12),
т.е. Y^Pi = i
Закон распределения д. с. в. можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с. в., а на оси ординат — вероятности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки (х\,р\), (х2,р2), •■■ называют многоугольником (или полигоном) распределения (см. рис. 17).
Рис. 17 |
Теперь можно дать более точное определение д. с. в. |нч| Случайная величина X дискретна, если существует конечное или
счетное множество чисел х-\, х2,...таких, что Р{Х = х^} = Pi > О [г = 1,2,...) и pi + р2 + рз +. •. = 1-
Определим математические операции над дискретными с. в. ф Суммой (разностью, произведением) д. с. в. X, принимающей зна-
~ чения Х{ с вероятностями pi = Р{Х — Xi], г — 1,2,..., п и д. с. в. У, принимающей значения yj с вероятностями pj = P{Y = у3}, j = 1,2,..., га, называется д. с. в. Z = X + У (Z = X — У, Z = X • У), принимающая значения z^j = хг + yj (Zij = х\ — у i, Z{j — Х{ ■ уj) с вероятностями Pij = Р{Х — Xi,Y — yj} для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых сумм Х{ + yj (разностей х7 — у3, произведений Xiijj) соответствующие вероятности складываются.
|
Произведение д. с. в. на число с называется д. с. в. сХ, принимающая значения cxi с вероятностями Pi — Р{Х — х^. PJ| Две д. с. в. X и У называются независимыми, если события
{X = = Ai и {У = yj} — Bj независимы для любых i = 1,2,...,п;
j = 1,2,...,m, т.е.
Р{Х = хг; Y = </,} = = хЛ • =
В противном случае с. в. называются зависимыми. Несколько с. в. называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Пример 2.1. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные — черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.
О Возможные значения с. в. X — числа белых шаров в выборке есть Xi — О, Х2 = 1, — 2, Х\ = 3. Вероятности их соответственно будут
Р/ Y nl • 1 „г у лх • С.з 15
Р1 = Р{Х = о} = = gg, Р2 = Р{Х = 1} = -^з- =
Рз —, = ^. Закон распределения запишем в виде таблицы.
X | ||||
р | ||||
(Контроль: ЕР. = ^ + | + 1 + | = 1.)
Упражнения
1. Монета бросается 4 раза. Построить многоугольник распределения с. в. X — числа выпадений герба.
2. Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна 0,6, а вторым — 0,9. Составить ряд распределения с. в. Л" — числа студентов, успешно сдавших экзамен в случае, когда: а) экзамены пересдавать нельзя; б) экзамен можно один раз пересдать.
2.3. Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины
Очевидно, ряд распределения с. в. может быть построен только для д. с. в.; для н. с. в. нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как увидим позже (п. 2.3, 2.4), вероятность каждого отдельно взятого значения н. с. в. равна нулю! Представим себе вероятность того, что рост мужчины — н. с. в. — точно равен л/3 — 1,7320508... метров; купленная нами лампа проработает — н. с. в. — ровно 900 часов;.... Удивительно интересный факт: событие возможное, но имеет нулевую вероятность.
Для характеристики поведения н.с. в. целесообразно использовать вероятность события {X < х} (а не {JY —,т}), где х — некоторое действительное число. С точки зрения практики нас мало интересует событие, состоящее, например, в том, что лампочка проработает ровно 900 часов, т. е. X — 900. Более важным является событие вида {X < 900} (или {X > 900}). Такое событие имеет ненулевую вероятность; при изменении х вероятность события {JV < х] в общем случае будет меняться. Следовательно, вероятность Р{Х < ж} является функцией от х.
Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения, обозначаемая F\(x) (или просто F(x), без индекса, если ясно, о какой с. в. идет речь). К] Функцией распределения с. в. X называется функция F{x), которая
для любого числа х 6 R равна вероятности события {vY < х}.
Таким образом, по определению
F{x) = Р{Х < х} т. е. F(x) = P{w: X(w) < х}. (2.1)
Функцию F(x) называют также интегральной функцией распределения.
Геометрически равенство (2.1) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что с. в. X примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки ж, т. е. случайная точка X попадет в интервал (—оо,х), см. рис. 18.
_______ Х<х
Л__________ -
X X
Рис. 18
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. F(x) ограничена, т.е.
О < F(x) ^ 1.
2. F(x) — неубывающая функция на i?, i.e. если х2 > х, то
F{x2)^F(X1).
3. F(x) обращает в ноль на минус бесконечности и равна единице в плюс бесконечности, т. е.
F(-oo) — 0, F(-j-oo) = 1.
4. Вероятность попадания с. в. X в промежуток [а, Ь) равна приращению ее функции распределения на этом промежутке, т. е.
Р{а < X < b} = F(b) - F(a). (2.2)
5. F(x) непрерывна слева, т. е.
lim F(x) = F(xо).
х —> хо—О
□ 1. Первое свойство следует из определения (2.1) и свойств вероятности (п. 1.11, 1.12).
2. Пусть А = {X < х\}, В ~ {X < х2). Если х\ < х2у то событие А влечет событие В (п. 1.4), т. е. А С В. Но тогда согласно свойству 4 (п. 1.12), имеем Р(А) ^ Р{В), т.е. Р{Х < х{\ < Р{Х < х2} или F(xl)^F(x2).
Геометрически свойство 2 очевидно: при перемещении точки х вправо по числовой оси вероятность попадания случайной точки X в интервал (~оо,х") не может уменьшаться.
3. Третье свойство вытекает непосредственно из того, что {X < —оо} — 0, а {X < -|-оо} — П; согласно свойствам вероятности (п. 1.11, 1.12), имеем: F(-oo) = Р{Х < -оо} ^ Р{0} = О, оо) = = Р{Х < +оо} = Р{П} - 1.
4. Так как а < 6, то очевидно, что {X < b} — {X < а}-\-{а ^ X < Ь} (это хорошо видно на рис. 19).
Так как слагаемые в правой части — несовместные события, то по теореме сложения вероятностей (п. 1.11) получаем Р{Х < Ь} — = Р{Х < а} + Р{а < X < b}. Отсюда следует Р{а < X < Ь} - = Р{Х <b}~ Р{Х < а} = F(b) - F(a).
5. Свойство 5 проиллюстрируем далее на примере 2.2. ■
{£<ь} ___________
{X < а} а {а^Х <Ь] Рис. 19
Всякая функция F(x), обладающая свойствами 1-3, 5, может быть функцией распределения некоторой случайной величины.
Заметим, что формула (2.2) (свойство 4) справедлива и для н.с. в., и для д. с. в.
С помощью функции распределения можно вычислить вероятность события {X ^ х}:
7 Р{Х > х} = 1 - F(x). (2.3)
Можно дать более точное определение н.с. в.
Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.
Используя свойство 4 можно показать, что «вероятность того, что н.с. в. X примет заранее указанное определенное значение а, равна нулю».
Действительно, применим формулу (2.2) к промежутку [а, ж): Р{а ^ X < х] = F(x)~F(a). Будем неограниченно приближать точку х к а. Так как функция F(x) непрерывна в точке а, то lim F(x) = F (а). В
x—ta
пределе получим Р{Х = а] = lim F(a;) — F(a) — F(a) — F(a) = 0. Если
x—>o
функция F(x) везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения с. в. равна нулю.
Следовательно, для н. с. в. справедливы равенства
Р{а ^ х < Ь} = Р{а <x<b} = P{a^x^b} = Р{Х <Е (о,6]}.
Действительно,
Р{а ^ х < 6} = Р{Х = а) + Р{а < х < b} = Р{а < х < 6}
и т.д.
Функция распределения д. с. в. имеет вид
= (2.4)
xt<x
Здесь суммирование ведется по всем г, для которых хг < х. Равенство (2.4) непосредственно вытекает из определения (2.1).
Пример 2.2. По условию примера 2.1 (п. 2.2) найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
О Будем задавать различные значения х и находить для них F(x) = = Р{Х < х}:
1. Если х ^ 0, то, очевидно, F(z) = Р{Х < 0} = 0;
2. Если 0 < х ^ 1, то F(x) - Р{Х < х} ~ Р{Х
3. Если 1 < х ^ 2, то F(x) = Р{Х -0} + Р{Х = 1} = i + Щ = Щ]
4. Если 2 < х < 3, то = Р{Х = 0} + Р{Х = 1} + = 2} = L 4-1^ + 20 = 46.
б"1" 56^ 56 56'
5. Если 3 < х, то F(ar) = Р{Х = 0} + Р{Х = 1 } + Р{Х = 2} + Р{Х =
(2.5) |
h 56 Итак,
г0, | если | |
56 ' | если | 0 < х < |
56 ' | если | 1 < х < |
46 56 ' | если | 2 < х < |
Л | если | 3 < х. |
Строим график F(x), рис. 20.
F(x)> 1
46/56
>Рз
г |
Р2 |
16/56? /56
El
Рис. 20
Как видим, функция распределения д. с. в. X есть разрывная, со скачками рг в точках х1у функция, «непрерывная слева» (при подходе к точке разрыва слева функция F(x) сохраняет значение). Ее график имеет ступенчатый вид.
Отметим, что, пользуясь равенством (2.4), функцию распределения можно сразу записать в виде (2.5)
'0, | ||||
+ | ||||
+ | + | |||
+ | + | |||
L 56 |
Упражнения
1. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6, а для второго —- 0,8. Найти и построить функцию распределения с. в. X — числа попаданий в мишень.
2. Убедиться, что функция
(, __ ГО, если х < 0,
\l — если х > 0
является функцией распределения некоторой случайной величины. Найти Р{0 ^ х < 1} и построить график F(x).
3. Дана функция распределения
при X |
0, при х < 0, Fx{x) = { прих < V2,
> у/2.
Найти вероятность того, что в результате четырех испытаний с. в. X трижды примет значение, принадлежащее интервалу (0; 1).
Плотность распределения и ее свойства
Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины (помимо функции распределения) является плотность распределения вероятностей. Напомним (см. п. 2.3), что: с. в. X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.
Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения, плотностью вероятностей или просто плотностью) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения.
Обозначается плотность распределения н.с.в. X через fx(x) (или рх(х)) или просто f(x) (или р(х)), если ясно о какой с. в. идет речь. Таким образом, по определению
f(x)=F*(x). (2.6)
Функцию f(x) называют также дифференциальной функцией распределения; она является одной из форм закона распределения случайной величины, существует только для непрерывных случайных величин.
Установим вероятностный смысл плотности распределения. Из определения производной следует
AF(x) F(x + As) - F(x)
tlx) = lim —----- — nm ------------ r-----------.
Лх-»о Ax Дж-и) Ax
Но согласно формуле (2.2), F(x + Да:) — F(x) = P{x < X < x + Да;}.
P{x<X<x + Arr} Отношение —————г —— представляет собой среднюю вероят-
Да;
ность, которая приходится на единицу длины участка [х,х + Да:), т.е. среднюю плотность распределения вероятности. Тогда
/(х) = lim Р{**Х<х + Лх} J V ' Дя-Ю Ах ' К J
т. е. плотность распределения есть предел отношения вероятности попадания с. в. в промежуток [х\ х + Да:) к длине Ах этого промежутка, когда Да: стремится к нулю. Из равенства (2.7) следует, что
Р{х ^ X < х + Да:} » f(x)Ax.
То есть плотность вероятности определяется как функция f{x), удовлетворяющая условию Р{х ^ X < х + dx} ~ f(x)dx; выражение f{x) dx называется элементом вероятности.
Отметим, что плотность f(x) аналогична таким понятиям, как плотность распределения масс на оси абсцисс или плотность тока в теории электричества.
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
1. f(x) неотрицательная, т.е.
f(x) > 0.
2. Вероятность попадания н. с. в. в промежуток [а,- 6] равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от а до Ь, т. е.
Ь
Р{а^Х ^ 6} = J f{x) dx. (2.8)
а
3. Функция распределения н. с в. может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле
X
F(x)= J f(t)dt
-оо
4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности н. с. в. в бесконечных пределах равен единице, т. е.
оо
J f(x)dx = 1. —оо
Q 1. Плотность распределения f(x) — неотрицательная функция: F(x) — неубывающая функция (п. 2.3), следовательно, F'{x) ^ 0, т.е. f(x) ^ 0. Это означает, что график плотности f(x), называемый кривой распределения, не ниже оси абсцисс; плотность может принимать сколь угодно большие значения.
2. Так как F(x) есть первообразная для плотности f{x), то по формуле Ньютона-Лейбница имеем
ь
J f(x) dx = F(b) — F{a).
a
Отсюда в силу свойства 4 функции распределения (формула (2.2)), получаем
ь
j f(x) dx — Р{а ^ X ^ Ь}.
а
Геометрически эта вероятность равна площади S фигуры, ограниченной сверху кривой распределения f(x) и опирающейся на отрезок [о; Ь] (рис. 21).
Рис. 21 |
3. Используя свойство 2, получаем:
X X
dt |
F {x) - Р{Х <х} = Р{-оо < X < х} = J f{x)dx = J f(t)
(буква t для ясности).
4. Полагая в формуле (2.8) а = —оо и Ь = +оо, получаем достоверное событие X 6 (—оо; +оо). Следовательно,
-f-oo
J f{x) dx = оо < X < +00} = P{Q} = 1.
Геометрически свойство нормировки означает, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения f(x) и осью абсцисс, равна единице. ■
Можно дать такое определение непрерывной случайной величины: случайная величина X называется непрерывной, если существует неотрицательная функция f(x) такая, что при любом х функцию распределения F(x) можно представить в виде
х
F(x)= J f(t)dt.
-оо
А затем получить, что j(x) — F'{x). Отсюда следует, что F(x) и f(x) являются эквивалентными обобщающими характеристиками с. в. X.
Как отмечалось ранее (п. 2.3) для н.с.в. X, вероятность события {X = с}, где с — число, равна нулю. Действительно,
с
\ |
р{Х = с} - Р{с < X ^ с} = J f{x) dx = 0.
Отсюда также следует, что
Р{Х? [a-b)} = Р{Х е [о; b]} = Р{Х G (а;6)}.
Пример 2.3. Плотность распределения с. в. X задана функцией f(x) =
_ —значение параметра а. 1+ аг
О Согласно свойству 4 плотности, имеем
+оо d
—Q—^dx = 1, т.е. a lim / ——х ■■ = 1, т.е. a- lim arctffx|rf= 1
l+ж2 <f-++ooj 1+ж2 » lc
-оо с^-оо с С-»-оо
или а • ^ — ("^г)) = 1 и, наконец, получаем атг = 1, т. е. а = ^. •
Упражнения
1. Случайная величина X задана функцией распределения:
{ |
0, при х ^ — 1,
а(х + I)2, при - 1 < х < 2, 1, при о: > 2.
Найти значение о, построить графики и /(ж).
2. Кривая распределения н.с.в. X имеет вид, указанный на рис. 22. Найти выражение для fx (я), Функцию распределения Fx(x), вероятность события {Xef^;!)}.
№ | м | |
1 0 | X |
Рис. 22 |
3. Является ли плотностью распределения некоторой с. в. каждая из
следующих функций:
a) fix) = х при х G (-оо; +оо); 7Г(1 + X)
б)fix) = [b
(О, при х (1; 1];
f/„\ _ /°> ПРИ х <0и х>2,