Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величи­ну. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, характеризующие отдельные существенные свойства (черты) закона распределения с. в. Такие чи­сла принято называть числовыми характеристиками с. в.

Важнейшими среди них являются характеристики положения: ма­тематическое ожидание (центр распределения с. в.), мода, медиана; ха­рактеристики рассеяния: дисперсия (отклонение значений с. в. от ее центра), среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X, имеющей закон распределения pi — Р{Х = а^}, г = 1,2,3,..., п, назы­вается число, равное сумме произведений всех ее значений на соответ­ствующие им вероятности.

Математическое ожидание (сокращенно: м.о.) обозначается через MX (или: М[Х], MiX), EX, т_х, а_х). Таким образом, по определению

MX = ^Xi'Pi. (2.9)

«=1

Если число возможных значений с. в. X бесконечно (счетно), то

оо

mx ^Yl ^'p*' (^2Л°)

г=1

причем ряд в правой части предполагается сходящимся (в противном случае с. в. X не имеет м. о.).

Формулы (2.9) и (2.10) можно записать в виде MX = J2^xiPi-

г

Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том,

п

что оно является средним значением с. в. Действительно, т. к. £ Pi ⁼ ^

t=i

то

п

п Е ^хгРг

MX = ^ ] XiPi — ~ — ^среднее •

£ Pi

г—1

Математическим ожиданием н. с. в. X с плотностью вероятности fix), называется число

J x-f{x)dx. (2.11)

— оо

Интеграл в правой части равенства (2.11) предполагается абсолютно сходящимся, т.е.

ос

J |ж| • fix) dx < оо

—оо

(в противном случае н.с. в. X не имеет м. о.).

Формула (2.11) является интегральным аналогом формулы (2.9). Заменяя в ней «прыгающий» аргумент Х{ на непрерывно меняющий­ся х, вероятность pj — элементом вероятности fix) dx ifix) dx = = F'ix)dx = dF(x) » A Fix) = F(x + Ax)-Fix) = P{x < X < x + Ax}), получим равенство (2.11).

Отметим, что MX имеет ту же размерность, что и с. в. X. Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоян­ной, т. е.

Мс = с.

2. Постоянный множитель выносится за знак м-о., т.е.

М(сХ) = сМХ.

3. М. о. суммы с. в. равно сумме их м. о., т. е.

М(Х + У) = MX + MY.

4. М. о. отклонения с. в. от ее м. о. равно нулю, т. е.

М(Х - MX) == 0.

5. М. о. произведения независимых с. в. равно произведению их м. о., т. е. если X и У независимы, то

М{Х ■ У) = MX ■ MY.

Q 1. Постоянную с можно рассматривать как д. с. в. X, принимающую лишь одно значение с вероятностью 1. Поэтому Мс = с • Р{Х = с} = = с • 1 = с.

2. Так как д. с. в. сХ принимает значения cxt (i = 1,п) с вероятно­стями pi, то

п п

МсХ = ^ • Pi = С ^ = сМХ. i=l i=l

3. Так как д. с. в. X+Y принимает значения х\+yj с вероятностями Pij = = x_t,y - yj}, то

71 771 71 771 71 771

M(X + У) = ^ + i/j)^ Х]^ ^Py + X] S ⁼

г~ 1 г—1 j—1 г—1 j = l

n m m n n m

= ^ +XI ^уэ YLvv ^ *^pi+£■ ^рз^{= MX+MY}-

j = l ji=l г—1 г—1

При доказательстве воспользовались, в частности, тем, что

т п

= ^{Рг и =р}з-

j=l г—1

Действительно: так как

m т

£{Х = У = У,} = {X = х_г} £{У - j/,} = {X = x_t) ■ П = {X - j_t},

j=l

TO

Pt

/ m

S=i *

аналогично получаем

п

»=i

Свойство 3 распространяется на произвольное конечное число слагае­мых.

4.Согласно свойствам 1 и 3, имеем: М(Х-МХ) = МХ-М(МХ) = = MX — MX = 0. Отметим, что разность X — MX (или X — т\) назы­вается отклонением с. в. X от ее м. о. MX и обозначается символом X:

X — X - MX.

Эта с. в. X называется также центрированной с. в.

5. Так как с.в. X и У независимы, то p_tJ ~ Р{Х = х_г;У ~ у?} = = Р{Х — х_г} ■ Р{У = у^,} = р_г • р₃. Следовательно,

МХУ - £ £ Р{Х = а;,; У = =

.,,, ■ ■ ■ S^ ^

n m

£ =^pt^y = ^ >=Е^ Е =^мх ■^MY-

■=п=1 ' I * ~ ' ^{1=1 3=1}

Свойства м. о., доказанные для д. с. в., остаются справедливы и для непрерывных с. в. Так, например,

оо оо

МсХ — J cxf(x) dx — с J xf(x)dx = cMX.

Пример 2.4. В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных: 10 по 500 руб, 50 по 50 руб, 100 по 10 руб, 150 по 1 руб. Найти математи­ческое ожидание выигрыша на один билет.

О Ряд распределения с. в. X — суммы выигрыша на один билет таков:

X
p	0,01	0,05	од	0,15	0,69

 

(Контроль: Y^Pi ~!■) Находим MX:

MX = 500 • 0~01 + 50 • 0,05 + 10 • 0,1 + 1 • 0,15 + 0 • 0,69 - 8,65 руб. •

Дисперсия

нч| Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожи­

дание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.

Обозначается дисперсия через DX (или D[X], Dx, D(X)). Таким образом, по определению

DX = М{Х - MX)², (2.12)

или DX — MX², или DX = М(Х — тх)². Дисперсия характеризует разброс значений с. в. X относительно ее м. о. Из определения диспер­сии следуют формулы для ее вычисления:

dx = - mx)² ■ pi — для д. с. в. x, (2.13)

i

+оо

DX= J (х- MX)² • f(x) dx — для н. с. в. X. (2.14)

—оо

На практике дисперсию с. в. удобно находить по формуле

DX = MX² - {MX)². (2.15)

\

Она получается из формулы (2.12): DX = М(Х² ~2Х-МХ + (МХ)²) = = MX² - М{2Х - MX) + М{МХ)² = MX² - 2MX • MX + (MX)² = = MX² - (MX)².

Это позволяет записать формулы для ее вычисления ((2.13) и (2.14)) в другом виде:

DX^Yl^'Pi-iMX)², (2.16)

i

+СЮ

DX = J x²-f(x)dx-(MX)². (2.17)

-оо

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной равна нулю, т.е.

Dc = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возве­дя его в квадрат, т. е.

DcX = c ² DX.

3. Дисперсия суммы независимых с. в. равна сумме их дисперсий, т. е. если X и У независимы, то

D(X + Y) = DX + DY.

4. Дисперсия с. в. не изменится, если к этой с. в. прибавить постоян­ную, т. е.

D(X + с) = DX.

5. Если с. в. X и Y независимы, то

D(XY) = MX² ■ MY² - (MX)² • (MY)².

□ 1. Dc - M(c - Mc)² = M(c - cf = MO = 0.

2. DcX = M{cX-M(cX))² = M{cX-cMX)² = M(c²(X-MX)²) = = c²M{X - MX)² = c²DX.

3. Используя формулу (2.15), получаем D(X + Y) = M(X 4- Y)² - ~{M{X + Y))² = M X² + 2M XY + MY² — (M X)² — 2M X - MY — (MY)² = = MX² - (MX)² + MY² - (MY)² + 2(MXY - MX ■ MY) = DX + DY + + 2(MX ■ MY - MX • MY) = DX DY.

Отметим, что если с. в. X и У зависимы, то

D(X + Y) = DX + DY + 2 М((Х MX) • (У - MY)).

4. D(c + Х) = М((с 4-Х) - М(с + X))² = М(Х - MX)² = DX. Доказательство свойства 5 не приводим. I

Свойства дисперсии, доказанные выше для дискретных случайных величин, остаются справедливыми и для непрерывных с. в.