Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, характеризующие отдельные существенные свойства (черты) закона распределения с. в. Такие числа принято называть числовыми характеристиками с. в.
Важнейшими среди них являются характеристики положения: математическое ожидание (центр распределения с. в.), мода, медиана; характеристики рассеяния: дисперсия (отклонение значений с. в. от ее центра), среднее квадратическое отклонение.
Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X, имеющей закон распределения pi — Р{Х = а^}, г = 1,2,3,..., п, называется число, равное сумме произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.
Математическое ожидание (сокращенно: м.о.) обозначается через MX (или: М[Х], MiX), EX, тх, ах). Таким образом, по определению
MX = ^Xi'Pi. (2.9)
«=1
Если число возможных значений с. в. X бесконечно (счетно), то
оо
mx ^Yl ^'p*' (2Л°)
г=1
причем ряд в правой части предполагается сходящимся (в противном случае с. в. X не имеет м. о.).
Формулы (2.9) и (2.10) можно записать в виде MX = J2xiPi-
г
Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том,
п
что оно является средним значением с. в. Действительно, т. к. £ Pi = ^
t=i
то
п
п Е хгРг
MX = ^ ] XiPi — ~ — ^среднее •
£ Pi
г—1
Математическим ожиданием н. с. в. X с плотностью вероятности fix), называется число
J x-f{x)dx. (2.11)
— оо
Интеграл в правой части равенства (2.11) предполагается абсолютно сходящимся, т.е.
ос
J |ж| • fix) dx < оо
—оо
(в противном случае н.с. в. X не имеет м. о.).
Формула (2.11) является интегральным аналогом формулы (2.9). Заменяя в ней «прыгающий» аргумент Х{ на непрерывно меняющийся х, вероятность pj — элементом вероятности fix) dx ifix) dx = = F'ix)dx = dF(x) » A Fix) = F(x + Ax)-Fix) = P{x < X < x + Ax}), получим равенство (2.11).
|
Отметим, что MX имеет ту же размерность, что и с. в. X. Свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной, т. е.
Мс = с.
2. Постоянный множитель выносится за знак м-о., т.е.
М(сХ) = сМХ.
3. М. о. суммы с. в. равно сумме их м. о., т. е.
М(Х + У) = MX + MY.
4. М. о. отклонения с. в. от ее м. о. равно нулю, т. е.
М(Х - MX) == 0.
5. М. о. произведения независимых с. в. равно произведению их м. о., т. е. если X и У независимы, то
М{Х ■ У) = MX ■ MY.
Q 1. Постоянную с можно рассматривать как д. с. в. X, принимающую лишь одно значение с вероятностью 1. Поэтому Мс = с • Р{Х = с} = = с • 1 = с.
2. Так как д. с. в. сХ принимает значения cxt (i = 1,п) с вероятностями pi, то
п п
МсХ = ^ • Pi = С ^ = сМХ. i=l i=l
3. Так как д. с. в. X+Y принимает значения х\+yj с вероятностями Pij = = xt,y - yj}, то
71 771 71 771 71 771
M(X + У) = ^ + i/j)^ Х]^ ^Py + X] S =
г~ 1 г—1 j—1 г—1 j = l
n m m n n m
= ^ +XI уэ YLvv ^ *pi+£■ рз= MX+MY-
j = l ji=l г—1 г—1
При доказательстве воспользовались, в частности, тем, что
т п
= Рг и =рз-
j=l г—1
Действительно: так как
m т
£{Х = У = У,} = {X = хг} £{У - j/,} = {X = xt) ■ П = {X - jt},
j=l
TO
Pt |
/ m
S=i *
аналогично получаем
п
»=i
Свойство 3 распространяется на произвольное конечное число слагаемых.
4.Согласно свойствам 1 и 3, имеем: М(Х-МХ) = МХ-М(МХ) = = MX — MX = 0. Отметим, что разность X — MX (или X — т\) называется отклонением с. в. X от ее м. о. MX и обозначается символом X:
X — X - MX.
Эта с. в. X называется также центрированной с. в.
|
5. Так как с.в. X и У независимы, то ptJ ~ Р{Х = хг;У ~ у?} = = Р{Х — хг} ■ Р{У = у^,} = рг • р3. Следовательно,
МХУ - £ £ Р{Х = а;,; У = =
.,,, ■ ■ ■ S^ ^
n m
£ =pty = ^ >=Е^ Е =мх ■MY-
■=п=1 ' I * ~ ' 1=1 3=1
Свойства м. о., доказанные для д. с. в., остаются справедливы и для непрерывных с. в. Так, например,
оо оо
МсХ — J cxf(x) dx — с J xf(x)dx = cMX.
Пример 2.4. В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных: 10 по 500 руб, 50 по 50 руб, 100 по 10 руб, 150 по 1 руб. Найти математическое ожидание выигрыша на один билет.
О Ряд распределения с. в. X — суммы выигрыша на один билет таков:
X | |||||
p | 0,01 | 0,05 | од | 0,15 | 0,69 |
(Контроль: Y^Pi ~!■) Находим MX:
MX = 500 • 0~01 + 50 • 0,05 + 10 • 0,1 + 1 • 0,15 + 0 • 0,69 - 8,65 руб. •
Дисперсия
нч| Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожи
дание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.
Обозначается дисперсия через DX (или D[X], Dx, D(X)). Таким образом, по определению
DX = М{Х - MX)2, (2.12)
или DX — MX2, или DX = М(Х — тх)2. Дисперсия характеризует разброс значений с. в. X относительно ее м. о. Из определения дисперсии следуют формулы для ее вычисления:
dx = - mx)2 ■ pi — для д. с. в. x, (2.13)
i
+оо
DX= J (х- MX)2 • f(x) dx — для н. с. в. X. (2.14)
—оо
На практике дисперсию с. в. удобно находить по формуле
DX = MX2 - {MX)2. (2.15)
\ |
Она получается из формулы (2.12): DX = М(Х2 ~2Х-МХ + (МХ)2) = = MX2 - М{2Х - MX) + М{МХ)2 = MX2 - 2MX • MX + (MX)2 = = MX2 - (MX)2.
Это позволяет записать формулы для ее вычисления ((2.13) и (2.14)) в другом виде:
DX^Yl^'Pi-iMX)2, (2.16)
i
+СЮ
DX = J x2-f(x)dx-(MX)2. (2.17)
-оо
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной равна нулю, т.е.
Dc = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат, т. е.
|
DcX = c 2 DX.
3. Дисперсия суммы независимых с. в. равна сумме их дисперсий, т. е. если X и У независимы, то
D(X + Y) = DX + DY.
4. Дисперсия с. в. не изменится, если к этой с. в. прибавить постоянную, т. е.
D(X + с) = DX.
5. Если с. в. X и Y независимы, то
D(XY) = MX2 ■ MY2 - (MX)2 • (MY)2.
□ 1. Dc - M(c - Mc)2 = M(c - cf = MO = 0.
2. DcX = M{cX-M(cX))2 = M{cX-cMX)2 = M(c2(X-MX)2) = = c2M{X - MX)2 = c2DX.
3. Используя формулу (2.15), получаем D(X + Y) = M(X 4- Y)2 - ~{M{X + Y))2 = M X2 + 2M XY + MY2 — (M X)2 — 2M X - MY — (MY)2 = = MX2 - (MX)2 + MY2 - (MY)2 + 2(MXY - MX ■ MY) = DX + DY + + 2(MX ■ MY - MX • MY) = DX DY.
Отметим, что если с. в. X и У зависимы, то
D(X + Y) = DX + DY + 2 М((Х MX) • (У - MY)).
4. D(c + Х) = М((с 4-Х) - М(с + X))2 = М(Х - MX)2 = DX. Доказательство свойства 5 не приводим. I
Свойства дисперсии, доказанные выше для дискретных случайных величин, остаются справедливыми и для непрерывных с. в.