Энергетический баланс потока (уравнение Бернулли)

У д е л ь н а я э н е р г и я ж и д к о с т и

Жидкость, независимо от того, находится ли она в состоянии покоя или движения, обладает некоторым запасомэнергии,равнымсуммевнутренней,потенциальной и кинетической энергий.

Внутренняя энергия представляет собой энергию молекул жидкости, всегда совершающих поступательные и вращательные движения и потому обладающих кинетической энергией этих движений. Скорость и, следовательно, энергия движения молекул увеличиваются с повышением температуры. К внутренней энергии относятся также потенциальная энергия молекул, зависящая от сил притяжения между ними, и энергия внутримолекулярных колебаний, которая определяется колебательным движением атомов, входящих в состав молекулы. Внутренняя энергия обозначается через U и выражается в джоулях (дж).

Потенциальная энергия жидкости состоит из потенциальной энерг ии

давления и потенциальной энерг ии полож ения.

Общее выражение потенциальной энерг ии давления можно получить, определив давление поршня на некоторый объем жидкости в сосуде (рис. 6-

6). Если поршень находится под действием груза Р, то жидкость находится

под давлением р

Р,, где s — площадь поршня.

1) Потенциальная энергия давления в данном случае равна

потенциальной энергии груза, представляющей собой произведение Ph.

Заменяя Р через ps и учитывая, что sh

V, получим, что потенциальная

энергия давления равна pV, т.е. произведению давления на объем жидкости

2) Потенциальная энергия положения определяется высотой z центра тяжести объема жидкости над некоторой произвольно выбранной горизонтальной плоск остью О—О (рис. 6-6), называемой плоскостью сравнения. Очевидно, потенциальная энергия положения равна Gz, где G —

вес жидкости в объеме V. Так как масса жидкости m

G (g — ускорение силы

тяжести), то потенциальная энергия положения равна mgz.

Рис. 6-6. К определению потенциальной энергии жидкости

К инетическая энергия жидкости, движущейся со скоростью w,

mw 2

определяется по формуле.

Полная энерг ия ж идк ости равна сумме внутренней, потенциальной и

кинетической энергий:

w 2

E U V

mgz.

(6-23)

Сумма внутренней и потенциальной энергий давления называется

энтальпией (теплосодержанием) и обозначается через I:

I U V.

(6-24)

Соответственно полная энергия жидкости выражается равенством

E mgz

w, Дж.

(6-25)

У дельная энергия жидкости, т. е. энергия 1 кг жидкости, может быть найдена делением обеих частей уравнения (6-23) или уравнения (6-25) на

массу жидкости т:

w 2 w 2

Eуд.

z z, Дж / кг.

2 2

(6-26)

где u — внутренняя энергия 1 кг жидкости, дж /кг;

— объем, занимаемый 1 кг жидкости, м3/кг;

i — энтальпия 1 кг жидкости, дж /кг.

Если и и i выражены в ккал, р — в кгс/м2, a E — в кгс м, то уравнение (6-

26) примет следующий вид:

Eуд. A p

gz w 2

gc 2 gc

i gz

A gc

w 2

2 gc

, Дж / кг.

где A — термический эквивалент работы (1/427 ккал/кгс м);

gc — коэффициент перехода от джоулей к кгс м, равный 9,81 кгс м.

У равнение Бернулли

При движении жидкости по трубопроводу без дополнительного подвода

энергии (источника работы или тепла) или ее отвода удельная энергия жидкости по закону сохранения энергии не будет изменяться. Поэтому при перемещении жидкости от некоторог о сечения I—I до сечения II—II (рис. 6-

7) удельные энергии жидкости в этих сечениях будут одинак овы:

1 1

u z w 1

z w 2.

1 1 2 2 2 2 2

6-7. Графическое изображение уравнения Бернулли:

а — для идеальной жидкости; б — для реальной жидкости

У читывая, что 1, где — плотность жидкости, получим следующее выражение энергетическ ого баланса:

u p 1

z w 1

p 2 z

2.(6-27)

1 1 2 2 2 2

I) Рассмот рим движ ение идеальной к апельной ж идк ости (ри с. 6-7, а), для

к оторой, к ак и для любой к апельной ж идк ости, Идеальная

жидкость движется без трения, поэтому, при отсутствии подвода тепла, ее температура и внутренняя энергия не будут изменяться. Следовательно, в

данном случае u 1

2. Тогда уравнение энергетического баланса примет вид:

z p 1 1

p 2 w 2.

(6-28)

1 2 g 2 2 g

Это уравнение, выражающее энергетический баланс движущейся идеальной жидкости, называется уравнением Бернулли. (У равнение (6-28) получается делением на g обеих частей уравнения (6-27), выражающег о энергетический баланс 1 кг жидкости, и, следовательно, представляет собой энергетический баланс 1/g кг жидкости.).

В уравнении (6-28) член z, выражающий потенциальную энергию положения жидкости, имеет размерность длины и называется геометрическим напором.

Член p выражает потенциальную энергию давления жидкости и также

имеет размерность длины:

p м 2

г м

с 2 м 2 м.

кг м

м 3 с 2

Энергия давления может быть измерена при помощи вертикальной пьезометрической трубки. Под действием давления жидкость поднимается в

трубке на высоту h

p, которая называется пьезометрическим, или

статическим напором.

Член

w выражает удельную кинетическ ую энергию движущейся

2 g

жидкости. Этот член, называемый скоростным, или динамическим напором,

также имеет размерность длины:

м 2

w 2 2

м.

g м

с 2

Скоростной напор равен высоте, на которую может подняться струя жидкости, вытекающей вертикально вверх с начальной скоростью w.

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, при движ ении идеальной

ж идкости сумма геометрического, пьезометрического и скоростного

напоров во всех сечениях потока является постоянной величиной.

II) Рассмот рим уравн ение Берн улли для реальной ж идк ости, движ ущейся

с трением. В этом случае при переходе жидкости от сечения I—I до сечения II—II (рис. 6-7,б) часть удельной энергии будет расходоваться на преодоление трения и других сопротивлений. Потерянная при этом энергия

превращается в тепло, вследствие чег о увеличивается внутренняя энергия жидкости (при отсутствии теплообмена с ок ружающей средой). Из уравнения (6-27) получим (при):

gz 1

p 1 w 1

2 2

p 2 w 2

1. (6-29)

В уравнении (6-29) член

u 2 1 выражает увеличение внутренней энергии

1 кг жидкости и равен удельной энергии, затраченной на преодоление сопротивлений между сечениями трубы I—I и II —II. Таким образом, после деления уравнения (6-29) на g, уравнение Бернулли для реальной жидкости можно написать в следующем виде:

z p 1 1

p 2 w 2

. (6-30)

где hП

2 g 2

2 1.

2 g П

Член hП

как и другие члены уравнения (6.30), имеет размерность длины и

называется потерянным напором.

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, при установившемся

движ ении реальной ж идкости сумма геометрического, пьезометрического, скоростного и потерянного напоров в каж дой точке любого сечения потока является постоянной величиной.

Все напоры имеют размерность длины, поэтому уравнение Бернулли наглядно представлено графически (см. рис. 6-7). Все напоры будут изображаться отрезками вертикальной прямой, а их сумма — вертикалью, проведенной от произвольно выбранной плоскости сравнения 0—0 (нулевой уровень) до общей горизонтальной плоскости N — N.

Если в рассматриваемых сечениях поместить открытые изогнутые стеклянные трубки, один конец которых направлен по оси потока, то высота подъема жидкости в трубках будет соответствовать сумме пьезометрического и скоростного напоров. Для реальной жидкости отрезок hп (см. рис. 6-7, б) будет характеризовать величину потерянного напора при ее движении от сечения I—I до сечения II—II.

Сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров

называется ги д р о ди на ми ч ески м нап ор о м

Если соединить уровни жидкости в

стеклянных трубках, получим нисходящую линию A — А (см. рис. 6-7,6), которая называется линией гидродинамического напора, или линией падения напора.

Из рис. 6-7, б видно, что гидродинамический напор реальной жидкости уменьшается в направлении ее движения на величину напора, потерянного между начальным и конечным сечениями потока.

Уравнение Бернулли является выражением одного из важнейших законов гидравлики, так как решение ее основных задач связано с определением расхода энергии и вычислением работы или мощности. Пользуясь уравнением Бернулли, определяют скорость и расход жидкости, т. е. пропускную способность аппаратов и трубопроводов. При помощи этого

уравнения рассчитывают также время истечения жидкости и ее

полный напор.

О б о б щ е н н о е у р а в н е н и е Б е р н у л л и

В общем случае реальная жидкость движется по трубопроводу (рис. 6-8), на котором расположены насос (или компрессор) 1, потребляющий работу L, и источник тепла (теплообменник 2) при помощи которого к жидкости подводится тепло Q. При этом возможно возрастание энергии потока между сечениями трубопровода I—I и II—II.

Если при движении жидкости отсечения I—I до сечения II—II к ней подводятся работа L и тепло Q, то энергия жидкости на этом участке уве- личится на L + Q. В этом случае энергетический баланс потока выражается уравнением

Рис. 6-8. К выводу обобщенного уравнения Бернулли:

1 — насос или компрессор; 2 — теплообменник; L — работа; Q —тепло

E 1

E 2,

(6-31)

где E1 и Е2 — полная энергия жидкости в сечениях I—I и II—II.

Выразив E1 и Е2 в соответствии с уравнением удельной энергии

жидкости (6-26) и разделив обе части выражения (6-31) на массу

жидкости m, получим уравнение энергетического баланса:

i 1 z 1 2

w 2

i 2

z 2,

2 2

(6-32)

где l

L подведенная работа, отнесенная к 1 кг жидкости;

Q подведенное тепло, отнесенное к 1 кг жидкости.

Из уравнения (6-32) находим:

l q i 2

gz 2

2 2

2 i gz 1 2

w 2 w 2

i 1

l i 2

z 2 1

2 1,

(6-33)

Согласно уравнению (6-34), работа, сообщаемая движущейся жидкости, включая работу, эквивалентную количеству подведенного тепла, расходуется на повышение энтальпии жидкости, на ее подъем (преодоление силы тяже- сти) и на повышение кинетической энергии жидкости.

Обобщенное уравнение (6-34) может быть упрощено применительно к различным частным случаям, рассмотренным ниже.

Движение капельной (несжимаемой) жидкости. Для несжимаемой

жидкости 1 — (где — плотность жидкости); кроме того, согласно

1 2

уравнению (6-24), i

получим;

p. Сделав подстановку в уравнение (6-33),

l q u 2

p 2 gz 2

p 1 1

1 gz 1 2

(6-35)

Повышение внутренней энергии складывается из подводимого тепла и тепла, в которое превращается работа, затрачиваемая на преодоление сопро - тивлений hП, т. е.

u 2 1

hП..

Поэтому

l p 2 z 2

1 z 1

1 2

hП,

(6-36)

или

2 2

l g z 2

p 2 p 1

w 2 w 1

hП, дж / кг

(6-37)

Таким образом, удельная работа l потребляемая насосом, расходуется на подъем 1 кг жидкости на высоту z2-z1, на повышение давления от p1 до р2 на увеличение кинетической энергии жидкости и на преодоление сопротивле - ний по пути движения жидкости.

Движение сжимаемой жидкости (газа). В большинстве случаев для газов, ввиду их малой плотности, можно пренебречь разностью высот z2 — z1, так как она мала по сравнению с другими членами уравнения энергетического баланса. Тогда общее уравнение (6-34) принимает вид

i 1

l i 2

(6-38)

2 2

2 1,

В этом уравнении l представляет собой работу, затрачиваемую на сжатие

1 кг газа (в компрессоре).

Пример 6-6. Вода в количестве V = 16 м3/ч подается под абсолютным давлением p1 = 3,5 бар (3,57 am) по магистральному трубопроводу диаметром d1 = 75 мм на охлаждение двух аппаратов I и II (рис. 6-9). Диаметр трубы d2 на ответвлении к аппарату I составляет 25 мм, на ответвлении к аппарату II d3 = 46 мм. Абсолютное давление воды на входе в аппарат I р2 = 3,35 бар (3,42 am). Разность геометрических высот z2 — z1 = H1 = 1,4 м. Определить скорость подачи и расход воды в каждом аппарате (сопротивле нием труб пренебречь).