Статистическая оценка параметров.

Тема 2.

Реализация случайного выбора.

1. Реализация случайного выбора.
2. Распределение качественных и количественных признаков.
3. Выборочные характеристики и их свойства.
4. Распределение выборочных характеристик.

Реализация случайного выбора.

Реализация эмпирической функции распределения.

Совокупность (Х₁, Х₂, …. Х_п) п независимых случайных величин Х_i, распределенных по одному и тому же закону, совпадающему с законом распределения случайной величины Х, называется выборкой объема п из генеральной совокупности Х (величины Х_i представляют собой п экземпляров одной и той же случайной величины Х).

Если (Х₁, Х₂, …. Х_п) – выборка, то последовательность чисел (х₁, х₂, …. х_п) называется реализацией этой выборки.

Важнейшее значение для описания некоторой случайной переменной Х имеет функция распределения вероятностей F (Х) = .

Если функция распределения неизвестна, можно на основе реализации (Х₁, Х₂, …. Х_п) выборки объема п из генеральной совокупности Х построить некоторое приближение к F(Х) с помощью функции , где n (x) – число значений Х_i, меньших чем х). Эта функция представляет собой реализацию эмпирической функции распределения W_n(х).

Если (Х₁, Х₂, …. Х_п) некоторая выборка, а (х₁, х₂, …. х_п) – её реализация, тогда выборочная функция называется выборочным средним, а реализацией выборочного среднего.

Если выборка извлекается из генеральной совокупности случайной переменной Х с математическим ожиданием , тогда Е ()= .

Реализация выборочной дисперсии составляет .

Если выборка извлекается из генеральной совокупности с математическим ожиданием и дисперсией

, тогда Е() =

Статистическая оценка параметров.

Рассмотрим вопрос о том, как на основе некоторой выборки (Х₁, Х₂, …. Х_п) найти оценку определенного параметра (например, математического ожидания или дисперсии) распределения случайной переменной Х.

Истинное значение некоторого параметра «а» обозначим через , его оценку с помощью некоторой выборочной функции через « », а реализацию выборочной функции через .

1. Оценка = (х₁, х₂, …, х_п) некоторого параметра «а» называется симметричной, если выборочная функция (х₁, х₂, …, х_п) является симметричной.

2. Оценка = (х₁, х₂, …, х_п) некоторого параметра «а» называется несмещенной, если Е = .

3. Оценка = (х₁, х₂, …, х_п) некоторого параметра «а» называется состоятельной, если её значение при n 0 с вероятностью 1 сходится к истинному значению , т.е. Р =1.

4. Оценка = (х₁, х₂, …, х_п) некоторого параметра «а» называется эффективной, если среди всех других возможных оценок она обладает наименьшей дисперсией:

D () = Е = min.

Оценка для математического ожидания некоторой случайной переменной Х является симметричной, состоятельной и несмещенной, а для случая, когда величина Х распределена по нормальному закону, также и эффективной.

Оценка для дисперсии случайной переменной Х является симметричной, состоятельной и несмещенной, а в случае нормального распределения величины Х также и эффективной.

5. Пусть Х – нормально распределенная случайная величина, неизвестное математическое ожидание и дисперсию которой требуется оценить. Обозначим а₁= , а₂= и введем эти обозначения в выражение плотности вероятностей нормального распределения

= = :

; .

Полученная с помощью некоторой выборочной функции = (х₁, х₂, …, х_п) конкретная оценка = (х₁, х₂, …, х_п) параметра «а» не дает, однако, возможности судить о том, как точно найденная оценка воспроизводит истинное значение параметра «а», даже если она является несмещенной и эффективной. Разумеется, величину разности нельзя определить точно, если распределение Х и величина не известны, так как есть всего лишь реализация случайной величины . Однако можно найти некоторую область, которая с вероятностью Р содержит истинное значение параметра «а». Если, например, F(Х) – функция распределения величины , то можно рассчитать вероятность

Р = Р

Если задано, то Р определяет вероятность того, что случайная переменная отличается от менее чем на , или вероятность того, что истинное значение параметра менее чем на отличается от оценки .

Истинное значение с вероятностью Р, задаваемой выражением Р = , находится между - и + , то есть в интервале , представляющем собой реализацию интервала

интервал называется обычно доверительным, а вероятность Р – доверительной вероятностью.

6. Если с 95%-ной надежностью, требуется обеспечить ошибку , возникает вопрос о том, какой минимальный объем выборки (n) для этого потребуется.

Задача здесь может быть поставлена так:

Найти минимальное целое число «n», для которого с вероятностью Р = 0,95 отклонение .

Для всякой заданной вероятности Р с помощью таблицы нормированного нормального распределения можно найти соответствующее значение .

При Р/2=0,95/2=0,475 находим Е = 1,96.

С учетом этого : При известной

Таким образом, для достижения требуемой точности здесь потребуется сделать около 100 опытов.

Тема 3.