К дискуссии о школьном образовании 4 глава

«Способными» же в итоге оказываются те дети, кото­рые по какому-то счастливо-случайному стечению обстоя­тельств умудряются все-таки выглянуть в «окно», забитое досками неверных представлений. Где-то между этими до­сками сохраняются «щели», в которые пытливый ребенок иной раз и заглядывает. И оказывается «способным»...

А эти неверные представления об исходных математи­ческих понятиях органически связаны с теми антикварны­ми философско-гносеологическими представлениями о понятиях вообще и об отношениях этих понятий с реаль­ностью вне мышления, с которыми научная философия давно разделалась и распрощалась.

Философско-логический анализ первых страниц учеб­ника, который вводит первоклассника в царство матема­тических понятий, — учебник арифметики, — демонстри­рует этот факт бесспорно. Он внушает ребенку абсолютно ложное (с точки зрения самой математики) представление о числе.

Как задается ребенку «понятие» числа, этого фунда­ментального и самого общего основания всех его дальней­ших шагов в области математического мышления?

На первой странице очень натурально и наглядно нари­сован мячик, рядом с ним — девочка, яблоко (или вишен­ка), жирная палочка (или точка) и, наконец, цифровой знак «единицы».

На второй странице — две куклы, два мальчика, два ар­буза, две точки и цифра «2» («два»). И так далее — вплоть до десяти, до этого «предела», назначенного дидактикой для первоклассника сообразно с его возрастными («природ­ными») возможностями...

Предполагается, что «усвоив» эти десять страниц, ребе­нок «усвоит» счёт, а вместе с ним — «понятие числа».

Умение считать он, действительно, таким образом усва­ивает. Но вот что касается «понятия числа», — то вместо него ребенок незаметно для себя проглатывает совершен­но ложное представление о числе, — такое представление об этом важнейшем понятии, которое даже хуже тех обы­вательских, донаучных представлений, с которыми он приходит в школу. И это ложное представление чуть позже будет ему очень сильно мешать при усвоении более слож­ных шагов на поприще математического мышления.

В самом деле, если бы первоклассник обладал нужны­ми для этого аналитическими способностями, то на вопрос «Что такое число?» он ответил бы после усвоения указан­ных страниц примерно следующее.

Число — это название, выражающее то абстрактно-общее, что имеют между собой все единичные вещи. Исходная цифра натурального ряда — это название единичной

вещи,«двойка» — название «двух» единичных вещей и т. д. Единичная же вещь — это то, что я вижу в простран­стве как резко и отчетливо отграниченное, «вырезанное» контуром из всего остального, окружающего ее, мира, — будь то контур мячика или шагающего экскаватора, девоч­ки или тарелки с супом. Недаром, чтобы проверить — усво­ил ребенок эту премудрость или нет, ему показывают пред­мет (безразлично какой) и спрашивают — «сколько?», же­лая услышать в ответ — «один (одна, одно)». А далее — два, три и т. д.

Но ведь само собой понятно, что любой мало-мальски грамотный в математике человек рассмеется, услышав такое объяснение «числа», по праву расценит его как детски-наивное и неверное.

В самом деле — это лишь частный случай числового вы­ражения действительности. А ребенок вынужден усваивать его как самый общий, как представление о «числе вообще».

В итоге же получается, что уже ближайшие шаги в сфе­ре математического мышления, которые он неуверенно делает под присмотром учителя, заводят его в тупик и сби­вают с толку. Скоро оказывается, что единичный предмет, который ему показывают, вовсе не обязательно называется словечком «один», что это может быть и «два» (две поло­винки), и три, и восемь, и вообще сколько угодно. Оказы­вается, что число «1» есть все что угодно, но только не на­звание единичной, чувственно-воспринимаемой «вещи». А чего же? Какую реальность обозначают числовые знаки?

Теперь этого вам уже не скажет и ребенок, обладающий самыми тонкими и гениальными аналитическими способ­ностями... И не скажет потому, что в его голове отложились два взаимоисключающих представления о числе, которые он никак не соотносит, не «опосредует». Они просто нахо­дятся «рядом», как два стереотипа, в его «второй сигналь­ной системе».

Это очень легко выявить, столкнув их в «ошибке», в от­крытом противоречии.

Покажите ему игрушечный поезд, сцепленный из трех вагонов и паровозика. Сколько?

Один (поезд)? Четыре (составных части поезда)? Три и один (паровоз и вагоны)? Шестнадцать (колес)? Шестьсот пятьдесят четыре (грамма)? Три пятьдесят (цена игрушки в магазине)? Одна вторая (комплекта)?

Здесь обнаруживается все коварство абстрактного во­проса «сколько?» на который его ранее приучили давать бездумно абстрактный ответ, не уточняя — «чего?»,.. И даже отучая от такого желания уточнить, если оно у него было, как от желания, которое надо оставить перед входом в храм математического мышления, где в отличие от мира его непосредственного опыта и вкусная конфета, и отвра­тительная ложка касторки значат «одно и то же» — а имен­но «одно», единицу»...

Такая абстракция, на которую ребенка «натаскивают» первые страницы обучения «счету», приучающие начисто отвлекаться от всякой качественной определенности «еди­ничных вещей», приучающие к мысли, что на уроках мате­матики «качество» вообще нужно забыть во имя чистого количества, во имя числа, для понимания ребенка непоси­льна. Он ее может только принять на веру, — так, мол, уж принято в математике, в противоположность реальной жизни, где конфету от касторки он все же продолжает раз­личать...

Предположим, что ребенок твердо «усвоил» вышеразъясненное представление о «числе» и «счете», и что три ар­буза — «одно и то же», что и три пары ботинок, — «три» без дальнейших разъяснений.

Но тут ему сообщают новую тайну, — три аршина нель­зя складывать с тремя пудами, — это — «не одно и то же», и что, прежде чем «складывать» — располагать в один счет­ный ряд — надо предварительно убедиться, что имеешь дело с одноименными (однокачественными) вещами, что бездумно складывать и вычитать можно только «неимено­ванные числа», а именованные — нельзя... Еще один стере­отип, причем — прямо противоположный. Какой же из них следует «применить», «включить» в данном случае?

Почему в одном случае надо и можно «складывать» два мальчика с двумя вишенками, а в другом — не надо и нельзя? Почему в одном случае это — «одно и то же», а именно — единичные чувственно-воспринимаемые вещи без дальнейших разъяснений, а в другом — «не одно и то же», — разноименные, разнородные (хотя и тоже единич­ные) вещи?

В самом деле — почему?

Учитель этого не объясняет. Он просто показывает — на «наглядных примерах» что в одном случае надо действовать

так, а в другом — эдак. Тем самым ребенку внушаются два готовых абстрактнейших представления о «числе» и не дается его конкретного понятия, то есть понимания...

Это очень напоминает дидактические принципы обу­чения «уму», высмеянные мудрой народной сказкой.

— Дурень, а дурень, чем на печке лежать — пошел бы, потерся около людей — ума набрался!

Послушный и прилежный дурень увидел мужиков, что таскали мешки с пшеницей, и ну — тереться то об одного, то об другого...

— Дурень ты, дурень, тут надо было сказать — таскать вам, не перетаскать!

Дурень послушно следует и этому ценному указанию...

Учителя и здесь полагали, что «конкретно» — с помо­щью нагляднейшего словечка — «потереться» — объясни­ли ему, как можно «набраться ума».

Но ведь ребенок, как и дурень в сказке, не понимает мудреных иносказаний взрослых. Он их понимает буква­льно, охватывая в их словах и объяснениях только то, что ему близко и понятно из его собственного жизненного опыта. И поскольку его опыт гораздо беднее, чем опыт взрослых и выражающие этот опыт слова, то он в этих сло­вах улавливает лишь часть заключенного в них смысла, понимая их буквально абстрактно. То есть односторонне, очень общо. В результате вместо конкретного понимания (и под видом такового) он усваивает и принимает к сведе­нию и к руководству крайне абстрактно-общий (а потому и коварно-двусмысленный) рецепт... То же и с «числом».

Сначала школьнику объясняют, что число (один, два, три и т. д.) — это словесный или графический знак, выра­жающий то общее, что имеется в любых чувственно-воспринимаемых единичных вещах, безразлично каких — будь то мальчики или яблоки, чугунные гири (пуды) или деревянные рейки (аршины).

Когда же он прилежно начинает действовать на основе этого абстрактного представления о числе («абстрактное» вовсе не значит здесь, как и везде, «ненаглядное»; оно, напротив, предельно наглядно; абстрактное здесь — бед­ное, тощее, одностороннее, неразвитое, слишком общее, столь же «общее», как и словечко «потереться»), начинает складывать пуды с аршинами, — ему говорят

 

с укоризной — «неспособный ты, неспособный! Тут надо было впе­ред посмотреть — одноименные ли это вещи...»

Прилежный и послушный ученик готов складывать только одноименные. Не тут то было. В первой же задачке ему встречаются не только «мальчики» и не только «яблоки», а именно мальчики вперемешку с яблоками, а то еще — и со зловредными девочками, каждая из которых хо­чет получить на яблоко больше, чем каждый мальчик...

Оказывается, что не только можно, но и нужно склады­вать и делить числа, выражающие разноименные вещи, де­лить яблоки на мальчиков, складывать мальчиков с девоч­ками, делить килограммы на метры и умножать метры на минуты...

Числа одноименные в одном случае и смысле оказыва­ются разноименными в другом и в третьем. В одном случае приходится включать один стереотип, а в другом — прямо противоположный. Какой же из них надо применить в данном? Какое из задолбленных правил вспомнить? А «правил» тем больше, чем дальше. И все разноречивые.

И начинает сбитый с толку ребенок действовать мето­дом «проб и ошибок», тыкаться туда и сюда. Когда же этот хваленый и малопродуктивный метод окончательно заво­дит его в тупик и никак не дает ответа, совпадающего с тем, что напечатан в конце задачника, ребенок начинает нер­вничать, плакать и в конце концов впадает либо в истерику, либо в состояние так называемой «ультрапарадоксальной фазы» — в мрачное оцепенение, в тихое отчаяние.

Каждый из нас эту картину наблюдал и наблюдает, увы, каждый вечер почти в каждой квартире. Разве подсчита­ешь, сколько горьких слез пролито детишками над домаш­ними заданиями по арифметике? Зато известно, как много детей переживает обучение арифметике как тягостную по­винность, даже — как жестокое мучительство, а потому об­ретает к ней на всю жизнь отвращение. Во всяком случае — таких больше, чем тот счастливый процент «способных, талантливых, одаренных», которые видят в ней интересное занятие, поприще для упражнения своих творческих сил, изобретательности, находчивости.

И природа тут ни капельки не виновата.

Виновата дидактика. Виноваты те представления об от­ношении «абстрактного к конкретному», «общего — к еди­ничному», «качества — к количеству», мышления — к чувственно

воспринимаемому миру, которые до сих пор, увы, лежат в основе многих дидактических разработок.

Элементарный анализ приведенных первых страниц учебника по арифметике показывает, что представления обо всех этих логических категориях находятся на том уровне развития логики как науки, который эта почтенная наука пережила во времена Яна-Амоса Коменского и Джона Локка.

Представление о «конкретном» как о чувственно-наглядном; представление, ведущее на практике к тому, что под видом «конкретного» ребенку вдалбливается в го­лову самое что ни на есть «абстрактное». Представление о «количестве» (о числе), как о чем-то таком, что получается в результате полнейшего отвлечения от всех и всяких «ка­чественных» характеристик вещей, в результате отождест­вления мальчиков с пудами, а яблок — с аршинами, а не в результате анализа четко выявленного качества, как это показала Логика уже более 150 лет назад... Представление о понятии как о слове-термине, выражающем то абстракт­но-общее, что имеется «у всех вещей» данного рода; это поверхностное представление о понятии и ведет к тому, что вместо (и под видом) конкретного понятия ребенок усваива­ет лишь абстрактное словесно зафиксированное представле­ние. Представление о «противоречии», как о чем-то «нехо­рошем» и «нетерпимом», как лишь о показателе неряшли­вости и неточности мышления, как о чем-то таком, от чего следует поскорее избавиться путем словесных «уточне­ний» и терминологических манипуляций...

Все это представления, которые на сегодняшний день, с точки зрения современной Логики, с точки зрения Диа­лектики, как Логика и теория познания современного ма­териализма, должны быть расценены как поверхностные, архаически-наивные и, скажем уж прямо, — как реакци­онные.

Чтобы школа могла учить мыслить и чтобы она дейст­вительно делала это, надо решительно перестроить всю дидактику на основе современного — марксистско-ленинского — понимания всех логических категорий, то есть понятий, выражающих как раз подлинную природу развивающегося мышления. Иначе все разговоры о совер­шенствовании дидактики останутся лишь благими поже­ланиями, а основанный на этой дидактике учебный процесс

и впредь будет формировать «способные умы» лишь в виде исключений из правила. Иначе в отношении «ода­ренных» мы по-прежнему будем возлагать все свои надеж­ды на милости матушки-природы. Будем ждать этих ред­ких милостей, вместо того, чтобы их взять.

И просвет в этом отношении уже намечается.

В лаборатории Института психологии АПН РСФСР под руководством Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова на­чаты исследования, специально направленные на то, чтобы подвести под педагогический процесс прочный фундамент современных философско-логических пред­ставлений о «мышлении» и его связи с «созерцанием» (с наглядностью»), о связи «всеобщего» — с «единич­ным», «абстрактного» с «конкретным», «логического» — с «историческим» и т. д¹.

Индивидуальное усвоение научных знаний здесь стре­мятся организовать так, чтобы оно в сжато-сокращенной форме воспроизводило действительный процесс рожде­ния и развития этих знаний. Ребенок при этом с самого на­чала становится не потребителем готовых результатов, запечатленных в абстрактных дефинициях, аксиомах и по­стулатах, а, так сказать, «соучастником» творческого про­цесса.

Это, конечно, ни в коем случае не означает, что каждый ребенок здесь вынужден самостоятельно «изобретать» все те формулы, которые сотни, а может быть и тысячи лет на­зад уже изобрели для него люди ушедших поколений, со­здатели этих формул. Но повторить логику пройденного пути он должен. Тогда эти формулы усваиваются им не как магические абстрактные рецепты, а как реальные, совер­шенно конкретные общие принципы решения реальных же, конкретных задач.

«Конкретные общие принципы» — это звучит несколь­ко парадоксально для человека, привыкшего думать (вернее — говорить), что «общее» — значит «абстрактное», а «конкретное» — «единичное», чувственно-наглядное.

Между тем с точки зрения понятий диалектики это во­все не парадокс, вовсе не неожиданное соединение взаимоисключающих терминов. С точки зрения диалектики

¹ См.: В.В. Давыдов. Связь теорий обобщения с программированием обу­чения. Сб. «Исследования мышления в советской психологии». — М.: Изд. «Наука», 1966.

понятие именно и есть «конкретно-всеобщее», в отличие от «абстрактно-общего» термина, выражающего односто­роннее представление о вещах, пусть самое наглядное.

Так, в лаборатории Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова убедились, что принятая методика преподавания счета (описанная нами выше) дает детям не понятие числа, а лишь два абстрактных, притом противоречащих одно дру­гому, представления о числе. Два частных случая числово­го выражения реальных вещей — вместо действительно об­щего принципа. При этом один частный случай выдается этой методикой за «общий», а другой — как более слож­ный, как «конкретный».

Один раз число выражает количество единичных вещей, а другой раз — количество их «составных частей».

Поняв это, в лаборатории пришли к выводу, что надо делать наоборот. Сначала нужно объяснить детям действи­тельно общую природу числа, а уже потом показывать два «частных случая» его применения.

Но, само собой ясно, что ребенку не сообщишь «поня­тия числа», очищенное от каких бы то ни было следов «на­глядности», от связи с каким-нибудь одним «частным слу­чаем». Поэтому надо искать и найти такой «частный» (а потому наглядный, чувственно-предметный) случай, где число и необходимость действий с числом выступали бы перед ребенком в общем виде. Нужно искать такое «част­ное», которое выражало бы только «общую» природу чис­ла, а не подсовывало бы ему вместо этого опять лишь «ча­стное».

Пытаясь решить эту задачу — отчасти психологиче­скую, отчасти — логическую и математическую, сотрудни­ки лаборатории пришли к выводу, что неправильно вообще начинать обучение детей математике с «числа», — то есть с операции счета, сосчитывания. Безразлично — «единич­ных вещей» или их «составных частей»¹.

Есть все основания полагать, что действия с «числами», составляющие традиционную «арифметику», далеко не са­мые «простые», а арифметика вовсе не составляет самого «первого этажа» математического мышления. Скорее таким

¹ Подробный анализ этой проблемы см. в кн. «Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы) / Под ред. Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова. — М.: «Просвещение», 1966.

этажом оказываются некоторые понятия, обычно от­носимые к «алгебре».

Опять парадокс. Ведь по традиции считается издавна, что «алгебра» — это вешь более сложная, чем «арифмети­ка», посильная лишь шестикласснику и в «истории мате­матики» оформившаяся позже ее.

Анализ показывает, что и в истории знания «алгебра» необходимо должна была возникнуть не позже «арифмети­ки». Конечно, речь идет о действительной истории матема­тического развития людей, а не о истории математических трактатов, которая отражала подлинную историю лишь «задним числом», а потому — кверх ногами.

Как показывают исследования, простейшие количест­венные соотношения, которые описывает «алгебра», и в истории были осознаны раньше, чем человек вообще «изобрел» число и счет. В самом деле, раньше, чем люди изобрели число, счет, сложение, вычитание, деление и ум­ножение чисел, они по необходимости должны были поль­зоваться такими словами, как «больше», «меньше», «даль­ше», «ближе» «потом», «раньше», «равно», «неравно» и т. п. Именно в этих «словах» нашли свое выражение общие ко­личественные (пространственно-временные) соотноше­ния между вещами, явлениями, событиями.

Но в специально-математических трактатах эта стадия математического развития мышления, естественно, за­фиксирована не была. И если реальная история развития математического мышления началась раньше, чем появи­лись первые теоретические трактаты по математике, то и «логическая» последовательность преподавания матема­тики (= развития математической способности) должна начинать с действительного «начала».

С правильной ориентировки человека в количествен­ном плане реальной действительности, а не с числа, кото­рое представляет собою лишь позднюю (а потому и более сложную) форму выражения количества, лишь частный слу­чай «количества».

Поэтому надо начинать с действий, выделяющих для человека этот «количественный» план рассмотрения окру­жающего мира, чтобы потом придти к «числу» как к разви­той форме выражения «количества», как к более позднему и сложному умственному отвлечению.

Принцип совпадения «логического с историческим» — великий принцип диалектической логики. Но его проведе­ние предполагает одну опять-таки диалектически-ковар­ную деталь. А именно, — логическое должно соответство­вать действительной истории предмета, а не истории тео­ретических представлений относительно этой истории.

Анализируя историю политической экономии, Карл Маркс отметил важнейшее (с точки зрения диалектики) обстоятельство — «Историческое развитие всех наук толь­ко через множество перекрещивающихся и окольных пу­тей приводит к их действительной исходной точке. В отли­чие от других архитекторов наука не только рисует воздуш­ные замки, но возводит отдельные жилые этажи здания, прежде чем она заложила его фундамент». [«К критике поли­тической экономии». — С. 46].

Да, действительный «логический фундамент», на кото­ром держатся верхние этажи, наука «открывает» в своем предмете лишь задним числом.

И этот «фундамент» предполагался «верхними этажа­ми», но не был ясно понят, показан и проанализирован. Он предполагался в смутном, неотчетливо сформулиро­ванном виде, часто в качестве «мистических» представле­ний. Так случилось, например, и с дифференциальным ис­числением, Ньютон и Лейбниц это исчисление «открыли», научили людей им пользоваться, но сами не могли понять — почему, на каких реальных основаниях держится вся его сложная конструкция, то есть — какие более «простые» понятия и действия она реально предполагает. Это было установлено лишь позже — Лагранжем, Эйлером и другими теоретиками.

Число и счет в действительности предполагали и пред­полагают в качестве своих реальных предпосылок ряд представлений, до понимания коих математика (как и «все науки») докопалась лишь «задним числом». Здесь идет речь как раз об общих предпосылках и того, и другого. О тех понятиях, которые должны быть развиты (и усвоены) раньше, чем число и счет. Потому, что они имеют более об­щий характер, и потому — логически более просты.

Если же говорить о тех математических «знаках», с по­мощью которых эти наиболее общие и простые понятия фиксируются, то это не цифры, а скорее те знаки, которые:щвним-давно использует алгебра.

Это — знаки равенства, неравенства. Знак «больше» (>), знак «меньше» (<). И все эти знаки обозначают отно­шения величин. Именно «величин» — то есть любых вели­чин, неважно каких в частности, выраженных числом или не выраженных, пространственно-геометрических или временных. Отношения величин вообще.

Само собой понятно, что представление о «величине» и в истории мышления появилось у людей раньше, чем уме­ние точно измерять эти величины тем или иным способом и выражать их «числом».

Умение выделять из всего многообразия чувственно-воспринимаемых качеств вещей специально лишь одно, — а именно — их «величину». А затем — умение сравнивать эти «величины» или вещи только как величины. Судить — равны они или нет. Судить, какая из них «больше» или «ближе», какая — «меньше» или «дальше», — в пространст­ве или во времени.

А уж затем, когда обнаружилось, что суждения такого рода слишком «общи», слишком неполны (= «абстракт­ны»), чтобы действовать в мире на их основе, стал возни­кать вопрос, а на сколько именно «больше» («меньше»). И только здесь, собственно, возникла и потребность в «числе» и «счете», и сами «число» и «счет».

По той причине, что без них, без этих более конкретных (сложных, развитых) понятий о количестве, уже нельзя было бы решить более сложных и конкретных предметно-практических задач, связанных с отражением количест­венной определенности окружающего мира...

Человек «изобрел» число вовсе не путем «абстрагирова­ния» от всех и всяких «качеств», не благодаря тому, что нау­чился «не обращать внимание» на разницу камня и мяса, палки и огня. Как раз наоборот — в «числе» и «счете» он на­шел средство более глубокого и конкретного выражения именно качественной (самой важной и первой) опреде­ленности.

Число «понадобилось» человеку там и только там, где жизнь поставила его перед необходимостью сказать друго­му человеку (или самому себе) — не просто «больше» («меньше»), а насколько больше (меньше).

Это предполагает более высокий и развитый способ от­ношения человека к вещам окружающего мира, нежели

тот, на почве которого он научился различать «величины» лишь примерно, приблизительно, — абстрактно.

Число предполагает меру как более сложную, чем «ка­чество» и «количество», категорию, которая позволяет от­ражать количественную сторону выделенного качества точнее (конкретнее), чем прежде. И точно фиксировать это более конкретное представление с помощью цифр, а не просто словечек «больше», «меньше», «равно», «неравно».

От общего, диффузно-нерасчлененного представления о «количестве» он шел к более совершенному, точному, то есть конкретному представлению о том же количестве, — к «числу». И пришел.

И поэтому «число» для него имело с самого начала вполне конкретный, то есть предметно-практический, смысл и значение. Это и было действительное понятие чис­ла, хотя еще и не проанализированное теоретически ни од­ним профессионалом-математиком. Это случилось лишь гораздо позже, — тогда, когда началось уже не только мате­матическое мышление, а и его теоретическое «самосозна­ние». Вначале — превратно-мистическое, как у пифаго­рейцев. А до подлинного теоретического понимания числа математика добралась лишь многие тысячелетия спустя.

Вот с этого-то подлинного начала и в этой подлинной исторической последовательности, которую математика как наука открыла лишь «задним числом», и следует, по-видимому, начинать логическое развитие ума ребенка в области математики.

С того, что сначала нужно научить его ориентиро­ваться самым общим и абстрактным образом в плане ко­личества и овладеть самыми общими и абстрактными отношениями вещей как «величин». И записывать эти отношения на бумаге с помощью знаков «больше», «ме­ньше», «равно», «неравно».

Но ориентироваться в плане количества ребенок обуча­ется при этом вовсе не путем «абстрактных рассуждений», а на самых что ни на есть реальных и понятных ему ситуа­циях. На «уравнивании» палочек, на «комплектовании» винтиков с гайками, коробок с карандашами и т. д. Для ре­бенка это — понятно и интересно.

Для ума ребенка это — тренировка умения самостояте­льно выделять количественно-математический аспект реаль­ных вещей окружающего его многокачественного мира.

 

А не по-попугайски повторять слово «один», когда ему в нос суют единичную чувственно-воспринимаемую «вещь», или слово «два, когда ему суют в нос две таких вещи.

Благодаря этому ребенок уже не ответит бездумно на абстрактно-провокационный вопрос — «сколько?», когда ему покажут одну (две, три и т. д.) единичную чувственно-воспринимаемую вещь, словом «одна», «две» и т. д. Он предварительно осведомится — «а чего сколько?»

А это — показатель, что он уже здесь — в случае числа — мыслит конкретно. А не как рыночная торговка, бездумно навешивающая ярлык словесно-зафиксированной абст­ракции на конкретную вещь и думающая, что тем самым «понимание» этой вещи — исчерпано...

Если ему отвечают на его законный вопрос — «я спра­шиваю, сколько здесь вещей...», он уверенно и точно отве­тит — «одна».

Если же ему уточнят — «сколько сантиметров?», он от­ветит «два», «примерно два», или же скажет — «нужно из­мерить». Он понимает, что выражение через число (цифру) предполагает измерение, меру..

Здесь воспитано разом два важных признака «ума», — во-первых, умение правильно относиться к вопросу («ско­лько?») и умение самому задавать вопрос, уточняющий за­дачу настолько конкретно, чтобы стал возможен точный и однозначный ответ («сколько чего?»). И во-вторых, — уме­ние правильно соотносить числовой знак с реальностью в ее математическом аспекте.

Здесь ум ребенка идет не от наглядных частностей — к абстрактно общему, так как это совершенно неестествен­ный и бесплодный в науке путь, а от действительно всеоб­щего (абстрактного) к обнимаемому им многообразию ча­стностей (то есть к конкретному)¹.

Ибо так развивается и сама наука, усваивающая в све­те исходных принципов все новые и новые «частности». А не наоборот, не уходящая от «частностей» в заоблачные выси тощих абстракций...

Здесь мышление движется все время в чувственно-предметном (а потому и в «наглядном») материале, дви жется по фактам, ни на миг не обрывая связи с ним.

¹ Подробнее об этом см, напр., книгу «Диалектика абстрактного и конк­ретного в «Капитале» К. Маркса. — М.: Изд-во АН СССР, 1960.

Так ребенок осваивает самую чувственно-предметную действительность математических понятий, а не ее плохой заменитель-эрзац, не «наглядные примеры» готовых и не­понятных для него абстракций. У него развивается матема­тическое мышление. В него не нужно вдалбливать груды абстрактных словечек, рецептов, штампованных схем и рецептов «типовых решений», которые он потом никак не может «применить». Поэтому для него вообще не встает потом нелепейшая задача, — а как же «применить» усвоен­ные (то есть задолбленные) общие знания к жизни, к реа­льной действительности. Это общее знание для него с са­мого начала и есть не что иное, как сама действительность, отраженная в ее существенных чертах, то есть в понятиях. В понятиях он усваивает именно действительность, отра­жаемую ими. А не «абстракции», которые он потом никак не может соотнести с «действительностью».