Дифференциальные уравнения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение

F(x, y, y^/, y^//, …, y⁽ⁿ⁾)=0,

которое связывает независимый аргумент х, неизвестную функцию у и ее производные y, y^/, y^//, …, y⁽ⁿ⁾.

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется функция y = φ(x) которая при подстановке в уравнение превращает его в верное тождество. График этой функции называется интегральной кривой.

Для дифференциального уравнения n–го порядка

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y^/, y^//, …, y⁽ⁿ^-1))

задача Коши формулируется следующим образом: для заданных начальных условий у₀ = у(х₀), у^/(х₀), …, у⁽ⁿ^-1)(х₀) найти решение уравнения y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y^/, y^//, …, y⁽ⁿ^-1)), удовлетворяющее начальным условиям.

Функция у = ψ(х, С₁, С₂, …, С_n), где С₁, С₂, …, С_n – произвольные постоянные, называется общим решением уравнения F(x, y, y^/, y^//, …, y⁽ⁿ⁾)=0, если выполняются два условия:

1) для любых значений С₁, С₂, …, С_n функция у = ψ(х, С₁, С₂, …, С_n) является решением дифференциального уравнения F(x, y, y^/, y^//, …, y⁽ⁿ⁾)=0;

2) для любой точки М₀(х₀, у₀, , , ) (n + 1)-мерного пространства существуют такие константы , , …, , при которых график решения у = ψ(х, С₁, С₂, …, С_n) проходит через точку М₀(х₀, у₀, , , ).

Общее решение, записанное в неявном виде, называется общим интегралом. Если в общем решении у = ψ(х, С₁, С₂, …, С_n) зафиксированы константы С₁, С₂, …, С_n, то у = ψ(х, С₁, С₂, …, С_n) называется частным интегралом. Решить дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение или общий интеграл.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными.

Любое дифференциальное уравнение вида φ(x) dx = ψ(y) dy называется уравнением с разделенными переменными.

Уравнение, которое приводится к виду φ(x) dx = ψ(y) dy, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Приведем его к виду φ(x) dx = ψ(y) dy:

Если равны дифференциалы, то равны неопределенные интегралы . Отсюда получаем – общий интеграл и у = Сх – общее решение.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение (х² – 1)у^/ + 2ху² = 0 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 1.

Решение. (х² – 1)dy = - 2ху² dx

Таким образом, получаем общий интеграл у() = 1.

Подставляем начальное условие у(0) = 1: 1(0 + С) = 1 С = 1.

Отсюда получаем частный интеграл у() = 1.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Функция f(x, y) называется однородной функцией m-го измерения, если f(λx, λy) = .

Дифференциальное уравнение вида

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

где P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения, называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнение P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 можно привести к виду у^/ = f(x, y), где f(x, y) – однородная функция нулевого измерения.

С помощью замены y = ux, где u – новая неизвестная функция, уравнение P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 3.

Решение. Так как является однородным уравнением. Сделав замену y = ux, получим

Линейные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида a₁(x)y^/ + a₀(x)y = b(x) или y^/ + p(x)y = q(x).

Уравнение вида y^/ + p(x)y = уⁿq(x), где n ≠ 0, n ≠ 1, называется уравнением Бернулли.

Для решения линейного уравнения можно применить подстановку

y = uv,

y^/ = u^/v + uv^/,

где u и v – функции от х. Тогда уравнение y^/ + p(x)y = q(x) примет вид

u^/+ p(x)uv + uv^/ = q(x),

u^/+ (p(x)uv + uv^/) = q(x),

u^/+ u(p(x)v + v^/) = q(x).

Если потребовать, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. p(x)v +v^/ = 0, то из этого уравнения можно найти v, затем найдем u, а, следовательно, из y = uv найдем у.

Пример 4. .