Для равновесия пространственной произвольной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций на пространственные декартовы оси координат и суммы моментов всех сил системы относительно этих осей равнялись нулю:
, 
, 
,
Если сила и данная ось не находятся в одной плоскости, то проецировать силу на эту ось следует согласно схеме, изображенной на рис. 12, а именно:
, 
,,
,
|
, 
.
Рисунок 12 – Проекции силы на оси
Моментом силы относительно данной оси называется алгебраический момент проекции силы на плоскость перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси и этой плоскости (рис. 13), т.е.:
Рисунок 13 – Момент силы относительно оси
Момент считается положительным, если при наблюдении с положительного направления оси проекция силы 
стремится вращать тело вокруг оси против часовой стрелки. В противном случае момент силы относительно данной оси считается отрицательным.
Для упрощения записи момента силы 
относительно оси бывает удобно разложить ее на составляющие 
, 
, 
по координатным осям, тогда в соответствии с теоремой Вариньона моменты силы относительно этих осей будут равны:
,
,
.
Моменты силы относительно координатных осей можно также записывать по аналитическим формулам:
где x, y, z – координаты точки приложения силы;
, 
, 
– проекции силы на оси координат.
Пример 1. Однородная прямоугольная рама ABCD находится в равновесии. Вес рамы G =1 кН; Р =2 кН, 
|| 
; AD = BC =60 см; AB = CD =100 см; 
(рис. 14).
Найти реакции опор А и В (А – шаровой шарнир, В – петля (цилиндрический шарнир)), а также реакцию невесомого жесткого стержня СЕ.
Решение: Рассмотрим в равновесии раму ABCD. На раму действуют сила тяжести 
, сила 
, реакция 
стержня СЕ и составляющие реакций опор А и В: 
(рис. 15).
|
|
Составим шесть уравнений равновесия:
; 
(1)
; 
(2)
; 
(3)
(4)
(5)
(6)
Из уравнении (1) – (6) находим:
кН;
кН;
кН;
кН.
Рисунок 14 – К примеру 1 Рисунок 15 – К примеру 1
Пример 2. Твердое тело в виде двух однородных прямоугольных тонких плит, жестко соединенных между собой под прямым углом, находится в равновесии (рис. 16). Вес большей плиты Р 1=5 кН, вес меньшей плиты Р 2=3 кН. На тело действуют пара сил с моментом 
, лежащая в плоскости меньшей плиты, и силы F 1=6 кН и F 2=8 кН (
).
Определить реакции опор А и В (А – шаровой шарнир, В – цилиндрический шарнир), а также реакцию невесомого жесткого стержня 1. При вычислениях принять а =0,6 м.
Решение: Рассмотрим в равновесии твердое тело, состоящее из двух однородных прямоугольных плит. На тело действуют силы тяжести 
и 
, силы 
и 
, пара сил с векторным моментом 
(
плоскости действия пары сил, т.е. || ), реакция стержня 1 
и составляющие реакций опор А и В: 
(рис. 17).
Рисунок 16 – К примеру 2
Рисунок 17 – К примеру 2
Для определения шести неизвестных реакций N, XA, YA, ZA , YB, ZB составляем шесть уравнений равновесия действующей на тело пространственной произвольной системы сил:
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Для записи моментов сил 
и 
относительно осей координат раскладываем их на составляющие 
, 
, 
, 
(эти составляющие входят в уравнения) и применяем теорему Вариньона.
Далее решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции:
Из уравнения (7) получаем:
кН;
|
|
Из уравнения (10):
кН;
Из уравнения (11):
Из уравнения (9):
кН;
Из уравнения (12):
кН;
Из уравнения (8):
кН.