Задачи контрольных работ по кинематике

Задача К1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.

 

Точка М движется в плоскости xy (рис. 18). Закон движения точки задан уравнениями x=f₁(t), y=f₂y(t), где x, y – в сантиметрах, t – в секундах (табл. 3, рис. 18).Найти уравнение траектории и изобразить эту траекторию на чертеже; определить в момент времени t=t₁ скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории. Все векторы изобразить на чертеже в масштабе.

 

Таблица 3 – Данные к задаче К1

 

Номер варианта данных	x = f1(t), см	t = t1, c
	3-2t2
	10t2
	4t2-5
	10-t2
	t2-4
	2t3
	5t2
	4t2+1
	3t2+2
	3t2

 

Рисунок 18 – К задаче К1

Задача К2. Определение скоростей и ускорений точек твёрдого тела при поступательном и вращательном движениях.

 

По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить в момент времени t=t₁ скорость и ускорение точки М и изобразить все векторы на чертеже в масштабе (табл. 4, рис. 19, 20)

 

Таблица 4 – Данные к задаче К2

 

Номер варианта данных	Радиусы колес, см.	Уравнение движения груза 1 x=x(t), см.	t=t1 , с
R2	r2	R3
				100t2+10	0,1
				12t+4t2
				80t2	0,25
				8t+2t2
				25t2	0,1
				5t+30t2	0,5
				7+40t2	0,2
				60t2+5t	1/3
				10t3+2t
				2t4	0,5

 

М 0	М 1
М 2	М 3
М 4	М 5
М 6	М 7
М 8	М 9

 

Рисунок 19 – К задаче К2

Задача К3. Кинематический анализ плоского механизма.

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В. Найти для заданного положения механизма скорости точек А, В, С, D, угловые скорости звеньев 2, 3, 4, ускорение точки В и угловое ускорение звена 2. Схемы механизмов помещены на рисунке 20, 21, а необходимые данные в таблице 5. Точка С находится в середине звена АВ.

Таблица 5 – Данные к задаче К3

 

Номер варианта данных	Размеры, см	ω1, с-1	ε1, с-2
О1А	АВ	СD	DO2

 

 

Рисунок 20 – К задаче К3

 

Рисунок 21 – К задаче К3

 

30°

 

Рисунок 22 – К задаче К3

Задача К4. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки.

 

Прямоугольная пластина со сторонами a=40см, b=30 см или круглая пластина радиуса R=20 см вращается вокруг неподвижной оси по закону φ=ƒ₁(t). По пластине движется точка М по закону S=AM=ƒ₂(t). Найти в момент t₁=1c абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М. Все векторы изобразить на чертеже (табл. 6, рис. 23).

 

Таблица 6 – Данные к задаче К4

Номер варианта данных	φ=ƒ1(t), рад	S=AM=ƒ2(t), см
Рис. 0-5	Рис. 6-9
	4t2-t	5t2+20t	R(4t2-2)
	6t2	20(t-t2)+15	Rt2
	3t-t2	5(3t2+2)	R(4t2-3)
	6t2-3t3	10t2+10	R(2t2-1)
	2t+t2	6(3t+2t2)	R(3t2-1)
	5t-6t2	4t+16t2	R(4t2-2)
	3t2-2t3	2t2+18	R(3t2-2t)
	5t2+t	t2+10	R(2t2-t)
	2t-t3	2t2+202	R(3t2-t)
	4t2+t	t2+15	R(3t2-2t)

 

О	О

 

Рисунок 23 – к задаче К4

Методические указания к решению задач по кинематике

Кинематика точки

 

Для изучения движения точки применяются три способа [1]:

1) Векторный способ. Положение точки определяется её радиусом-вектором относительно некоторого неподвижного центра О в рассматриваемой системе отсчёта (рис. 24). При движении точки радиус-вектор изменяется, т.е. является векторной функцией времени:

. (13)

 

Уравнение (13) называется векторным уравнением движения точки. Траекторией точки является геометрическое место концов радиуса-вектора , построенное в выбранной системе отсчёта, т.е. годограф вектора .

Скорость и ускорение точки при заданном уравнении движения (13) равны:

 

 

 

Рисунок 24 – Система отчета

 

(14)

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения. Вектор ускорения всегда направлен в сторону вогнутости траектории точки или по её касательной (рис. 24). Векторный способ изучения движения точки обычно применяется в теоретических выкладках.

2) Координатный способ. Положение точки в выбранной, например, прямоугольной декартовой системе координат OXYZ определяется координатами:

(15)

 

При движении точки её координаты являются функциями времени. Выражения (15) называются уравнениями движения точки в координатной форме. Уравнение траектории точки получается из уравнений движения (15) исключением из них времени t как параметра.

Скорость и ускорение точки определяются через их проекции на оси координат:

(16)

(17)

 

Модуль касательного ускорения точки можно вычислить по формуле:

. (18)

Нормальное ускорение точки определяется через полное и касательное ускорения:

. (19)

Из формулы определяется радиус кривизны траектории:

(20)

План решения задач

1) По заданным уравнениям движения точки (как правило, на плоскости) исключением из них времени t получить уравнение траектории точки.

2) В выбранном масштабе изобразить траекторию на рисунке.

3) Определить положение точки в заданный момент времени. Для чего следует подставить этот момент в уравнения движения и вычислить координаты точки. По найденным координатам изобразить положение точки на траектории.

4) По формулам (16) – (20) для заданного момента времени определить:

– скорость точки;

– ускорение точки;

– касательное и нормальное ускорения точки;

– радиус кривизны траектории.

5) В масштабе изобразить на рисунке в ранее найденном положении точки векторы скорости, полного, касательного и нормального ускорений.

3) Естественный способ. Положение точки на заданной траектории определяется дуговой координатой S (рис. 25). Уравнение движения точки в естественной форме имеет вид:

 

(21)

 

Проекция скорости точки на направление орта касательной и модуль скорости определяются следующим образом:

(22)

 

 

Рисунок 25 – Положение точки на заданной траектории

 

Проекции ускорения на оси естественного трёхгранника, а также модуль полного ускорения определяются по формулам:

(23)

где r – радиус кривизны траектории точки.

 

План решения задач

 

1) Определить положение точки на траектории в заданный момент времени. Для этого следует подставить этот момент времени в уравнение движения (21) и вычислить дуговую координату точки. Изобразить найденное положение точки на траектории.

2) По формулам (22), (23) для заданного момента времени определить следующие величины:

– скорость точки;

– касательное, нормальное и полное ускорения точки.

3) В выбранном масштабе изобразить на рисунке в рассматриваемом положении векторы скорости, касательного, нормального и полного ускорений точки.

Пример 1. Движение точки М задано уравнениями:

, (24)

где x, y – в см,

t – в с.

 

Определить траекторию, скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент времени t= 2c.

Решение:. Находим уравнение траектории движения точки. Для этого исключаем из уравнений движения (24) время t, а именно:

.

Окончательно уравнение траектории имеет вид:

, (25)

При этом в соответствии с уравнениями движения (24) координаты точки должны удовлетворять условиям:

 

. (26)

 

На рисунке 26 изображаем траекторию в виде гиперболы, расположенной согласно условиям (26) в четвёртом квадранте.

Вычисляем координаты точки для момента времени t = 2с:

 

 

Рисунок 26 – К примеру1

 

см.

По найденным координатам изображаем точку на траектории (рис.26).

Далее по формулам (16) определяем скорость точки:

.

В момент времени t = 2 с:

см/с,

см/с.

Аналогично, в соответствии с формулами (17), находим полное ускорение:

при t = 2 с:

см/с².

Определяем по формулам (18), (19) касательное и нормальное ускорения точки:

см/с²,

см/с².

Находим радиус кривизны траектории. По формуле (1.8) имеем:

см.

Найденные векторы скорости, полного, касательного и нормального ускорений точки в выбранном масштабе показываем на рисунке 26.