Получили уравнение плоской волны

или

23. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении. Волновой вектор. Уравнение сферической волны. Волновое уравнение.

Уравнение произвольной плоской волны имеет вид:

a, b, g - углы между направлением волны и координатными осями.

- скалярное произведение.

Волновой вектор задает направление волны.

l<l_x<¥

Графическое представление плоской волны(j₀=0).

1) Зависимость смещения от времени при фиксированных координатах.

x₂>x₁, x₂ – сдвигается вправо.

2) Зависимость смещения от координат при фиксированном времени.

t₂>t₁

Найдем разность фаз колебаний в зависимости от разности хода волны.

Получим волновое уравнение, т.е. ДУ, которому подчиняется волна (ДУ волны).

Сферические волны:

«+» – сжимается, «-» - расширяется.

24. Скорость распространения упругих волн. Энергия, переносимая упругой волной. Вектор Умова.

Волновой процесс (волна) – процесс распространения колебаний в среде (волны на поверхности жидкости, упругие волны, электромагнитные волны). В неограниченных изотропных средах упругие волны распространяются адиабатически, без дисперсии. В анизотропных средах могут возникать волны с разл. частотой. В твердых телах (г. п., м-лы) могут распространяться продольные волны Vp, обусловленные деформациями сжатия-растяжения; поперечные волны Vs, вызываемые деформациями сдвига, и поверхностные волны Релея. В жидкостях поперечные волны не возникают.

Упругие (механические) волны – механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

Волновое движение сопровождается переносом энергии от источника колебаний в различные точки среды. Эта энергия складывается из кинетической энергии колеблющихся частиц и потенциальной энергии деформированных участков среды.

Энергия, переносимая волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Плотностью потока энергии или интенсивностью волны называется количество энергии, переносимое волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Пусть участок волнового фронта площадью за время переместился на расстояние , вследствие чего частицы среды в объеме цилиндра высотой и основанием приводятся в колебательное движение (рис.8.4). Обозначим через среднюю энергию частиц, содержащихся в единичном объеме (плотность энергии). Если считать, что плотность энергии везде одинакова, то за время через площадку пройдет энергия . Тогда интенсивность волны равна

(8.3)

или, в векторной форме,

.

Вектор называется вектором Умова. Он перпендикулярен фронту волны, указывает направление распространения энергии и по модулю равен плотности потока энергии. Объемную плотность энергии можно выразить через энергию каждой частицы и количество частиц в единице объема:

,

(8.4)

где – плотность среды. Подставив это выражение в (8.3), получим:

.

Таким образом, интенсивность упругой волны пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату собственной частоты колебаний частиц, плотности среды и скорости распространения волны.

25. Звуковые волны. Характеристики звука. Скорость звука. Эффект Доплера.

Звук — это волновой процесс. В твердых телах звук распространяется в виде продольных и поперечных волн. Поскольку жидкости и газы практически не имеют упругости сдвига, то в таких средах звук распространяется только в виде продольных волн.

Звук характеризуется интенсивностью (силой) и составом и частотой связанных с ним волновых процессов. Различают следующие характеристики звука: громкость, тембр и высоту.

Скорость звука — скорость распространения упругих волн в среде: как продольных (в газах, жидкостях или твёрдых телах), так и поперечных, сдвиговых (в твёрдых телах). Определяется упругостью и плотностью среды: как правило, в газах скорость звука меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях — меньше, чем в твёрдых телах. Также, в газах скорость звука зависит от температуры данного вещества, в монокристаллах — от направления распространения волны. Обычно не зависит от частоты волны и её амплитуды; в тех случаях, когда скорость звука зависит от частоты, говорят о дисперсии звука. Скорость распространения звука в воздухе при комнатной температуре равна 340 м/сек. В воде звук распространяется со скоростью 1450 м/с, в стекле — 5600 м/сек.

Рассмотрим явление Доплера для звука. Пусть источник звука движется к наблюдателю со скоростью υ₂. Скорость звука обозначим через u, а частоту — через ν. Длина звуковой волны в случае неподвижного источника но при движении источника со скоростью υ₂ за один период длина волны уменьшится на Тогда длина звуковой волны, которую зафиксирует наблюдатель,

Итак, наблюдатель будет воспринимать звук меньшей длины волны λ'. При этом частота воспринимаемых колебаний увеличится и составит

Нетрудно убедиться, когда источник звука будет удаляться от наблюдателя, частота воспринятого им звука будет

Если до неподвижного источника приближаться наблюдателя со скоростью υ₁, то при более частых «встречах» с гребнями волн частота воспринимаемых колебаний увеличится:

Так то

При движении наблюдателя от неподвижного источника соответственно получим

В общем случае, когда одновременно движутся источник и наблюдатель, связь частоты воспринятого звука ν' и частоты звука источника ν выражаться объединенной формуле

где u — скорость звука; υ₁ — скорость движения наблюдателя; υ₂ — скорость источника звука относительно неподвижной системы координат.

Следовательно, на основании этого выражения можно сделать такой вывод: уменьшение расстояния между источником звука и наблюдателем всегда сопровождается увеличением частоты воспринятого звука, и наоборот, увеличение расстояния между источником звука и наблюдателем приводит к уменьшению частоты воспринятого звука.