Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

Дифференциальное уравнение колебаний

, (1) т – масса маятника, g – ускорение свободного падения. . (2)

, где J – момент инерции маятника относительно оси OZ, – угловое ускорение. , где , и подставим Mz из (2) тогда . Поделив на J, получим , Получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний .

 

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити и совершающая колебания под действием силы тяжести.

Дифференциальное уравнение колебаний

, (1) т – масса маятника, g – ускорение свободного падения. . (2)

, где J – момент инерции маятника относительно оси OZ, – угловое ускорение. , где , и подставим Mz из (2) тогда . Поделив на J, получим , Получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний .

Приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника, имеющего такой же период колебаний как у данного физического маятника

.

Электромагнитные колебания в LC-контуре. Дифференциальное уравнение колебаний.

Колебательный контур (или LC-контур) – это электрическая цепь, в которой происходят свободные электромагнитные колебания.

Дифференциальное уравнение колебаний

Электромагнитные колебания в LC-контуре. Энергия электрическая, магнитная, полная

Колебательный контур (или LC-контур) – это электрическая цепь, в которой происходят свободные электромагнитные колебания.

 

7. Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты. Метод векторных диаграмм.

 

 

8) Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты. Вывод уравнения эллипса.

Уравнение Эллипса

 

9) Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот. Фигуры Лиссажу.

Фигуры Лиссажу

10). Сложение однонаправленных колебаний близких частот. Биения.

 

 

11). Затухающие механические колебания. Вывод деф уравнения.

 

12). Затухающие механические колебания. Решение деф уравнения. Период и частота.

11. Затухающие механические колебания. Вывод дифференциального уравнения.

Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.

e

Mсопр

Mупр

Z

Рассмотрим систему, совершающую крутильные затухающие колебания. Она представляет из себя брусок, подвешенный на струне, концы которой закреплены. На брусок для увеличения момента инерции может быть положено кольцо. После отклонения бруска на небольшой угол j от положения равновесия система будет совершать свободные крутильные колебания.

Получим дифференциальное уравнение затухающих крутильных колебаний. Чтобы выяснить, как изменяется со временем угол j (t) запишем основной закон динамики вращательного движения

 

, (1)

где: J – момент инерции бруска, – угловое ускорение,

– момент сил упругости, – момент сил сопротивления.

Уравнение (1) спроектируем на ось OZ

,

где: – проекция углового ускорения,

– проекция силы упругости,

k – коэффициент упругости,

– проекция силы сопротивления (эта формула справедлива для малых скоростей вращения),

– угловая скорость,

r – коэффициент сопротивления.

Уравнение (1) в скалярной форме примет вид

,

.

Обозначим – коэффициент затухания и – циклическая частота собственных колебаний, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний

(2)

12. Затухающие механические колебания. Решение дифференциального уравнения. Период и частота колебаний.

дифференциальное уравнение затухающих колебаний

(2)

 

Решением уравнения (2) при малом затухании w ₀ > b является уравнение затухающих колебаний

(3)

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени

,

здесь А ₀ – амплитуда в начальный момент времени t = 0.

j

t

A 0 e–bt

Рис.2.

График затухающих колебаний.

Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты

.