Связь звукового давления с колебательной скоростью

Звуковое поле - одна из форм существования материи, проявляемая в виде кинетической и потенциальной энергии, колеблющихся материальных тел - звуковых волн в твердой, жидкой и газообразной средах, обладающих свойствами упругости формы и объекта [6-8]. Частоты звуковых (слышимых) колебаний находятся в полосе частот от 20 до 20000Гц. Инфразвуковые, ультразвуковые и гиперзвуковые колебания органом слуха человека не воспринимаются.

Колеблющееся тело, являющееся источником звука, приводит в движение примыкающие к нему частицы упругой среды, которые, в свою очередь, заставляют колебаться соседние с ним частицы. Процесс распространения колебаний в упругой среде называют волной. Направление распространения звуковых волн называют звуковым лучом, а поверхность, соединяющую все точки с одинаковой фазой колебания частиц - фронтом волны. Фронт волны в каждый момент времени перпендикулярен звуковому лучу.

В отличие от твердых тел, где возможно распространение волн как с продольным, та и с поперечным направлением смещения частиц по отношению к направлению распространения волн, в жидкостях и газах волна распространяется только в направлении колебательного движения самих частиц среды. Такой процесс характерен для продольных волн или волн сжатия, представляющих собой последовательность чередующихся сгущений и разрежений частиц среды.

Расстояние между двумя соседними сгущениями (разрежениями) называется длиной волны l. В чередующихся, например, в воздухе, слоях сжатия или разряжения среды происходит изменение давления по сравнению с атмосферным (статическим) давлением. Разность между мгновенным давлением звукового поля в данной точке и статическим (атмосферным) называют звуковым давлением: . Звуковое давление - величина знакопеременная. В моменты сжатия среды оно положительно: > , а в момент разряжения - отрицательно, т.е. < (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Звуковое давление в системе СИ измеряется в Паскалях. Давление в 1 Паскаль (Па) создается при действии силы в 1 ньютон (Н) на поверхность площадью 1м². Ясно, что 1 Па в 10⁵ раз меньше 1 атмосферы. В акустике типичные значения давлений при информационном обмене лежат в пределах 100 Па. Скорость распространения звука в воздухе сильно зависит от метеорологических условий и температуры. В последнем случае с достаточной для практики точностью можно записать: , где Т – абсолютная температура, а размерность скорости звука – м/с.

Колебательное движение частиц среды при распространении звуковой волны характеризуется также колебательным смещением (от положения покоя), которое происходит с определенной скоростью, именуемой колебательной: . Производная по времени от колебательной скорости образует колебательное ускорение.

Не следует путать эту скорость со скоростью распространения звука - . Скорость звука есть величина постоянная для этой среды, и зависит от внешних факторов. Колебательная скорость, обычно, на несколько порядков меньше , и возрастает с увеличением частоты и амплитуды акустического сигнала.

Колебательную скорость считают положительной, если частицы среды смещаются в направлении движении волны, и отрицательной, если эти движениявстречные. Если источник звука совершает колебания по гармоническому закону с линейной частотой , то за время T, в течение которого происходит один период колебательного процесса, фронт звуковой волны перемещается на расстоянии, численно равное длине волны - . Очевидно, что одну секунду волна распространится на расстояния численно равные .

Выделим в звуковом поле элементарный объем воздуха, заключенный между боковыми поверхностями , находящимися на расстоянии друг от друга перпендикулярными к направлению звуковых лучей.

Очевидно, что масса воздуха в выделенном объеме равна , где - плотность среды. Среда в рассматриваемом объеме находится под действием разности давлений и . Следовательно, сила, под действием которой может происходить движение этого объема воздуха: .

Рис.3.2

Если под действием приложенной силы элементарный объем воздуха с массой приобретает ускорение , то по второму закону Ньютона сила инерции: , откуда переходя к производным, устремив , получим:

. (3.1)

Данное уравнение (3.1) и называют уравнением движения среды при прохождении звука. При такой записи учитывается только одномерное движение по координате . При трехмерном движении, получим:

, (3.2)

где - единичные векторы – орты осей декартовой системы координат. Дополнительной величиной, характеризующей звуковое поле, является потенциал. Различают потенциал скорости и потенциал смещения. Скалярный потенциал скорости определяется как:

. (3.3)

Скалярный потенциал скорости связан со звуковым давлением соотношением:

. (3.4)

В теоретической акустике показано, что при учете адиабатического характера звукового процесса для газовой среды уравнение (3.1) может быть преобразовано (с учетом 3.3 и 3.4) в волновое уравнение:

, (3.5)

где - скорость распространения звука в газовой среде; - оператор-лапласиан. Волновое уравнение может быть записано также для давления и колебательной скорости звука. Для гармонических процессов, протекающих с частотой , волновое уравнение (3.5) можно преобразовать в уравнение Гельмгольца:

, (3.6)

где - волновое число. Общее решение уравнения Гельмгольца (3.6) в декартовых координатах (для волнового процесса, распространяющегося вдоль оси «х »), имеет вид:

. (3.7)

В уравнении (3.7) каждое слагаемое соответствует волне, распространяющейся в «положительном» или «отрицательном» направлении оси «х». Выбор знака зависит от выбора знак во «временном» множителе .

Плоская волна

Колебательный процесс, распространяющийся в среде в виде волны, фронт которой представляет собой плоскость, называется плоской звуковой волной. На практике плоская волна может образовываться источником, линейные размеры которого велики по сравнению с длинной излученной им волн, и если зона волнового поля находится на достаточно большом удалении от него. Но так обстоит дело в неограниченной среде. Если источник огражден каким-либо препятствием, то классический пример плоской волны, это – колебания, возбужденные жестким несгибаемым поршнем в длинной трубе (волноводе) с жесткими стенками, если диаметр поршня значительно меньше длины - излучаемых волн. Поверхность фронта в трубе из-за жестких стенок не меняется по мере распространения волны по волноводу(см. рис. 3.3). Потерями звуковой энергии на поглощение и рассеяние в воздушной среде пренебрегаем.

Рис. 3.3

Если излучатель (поршень) совершает колебания по гармоническому закону с частотой , а размеры поршня (диаметр волновода) значительно меньше длины звуковой волны, то давление, создаваемое около его поверхности, . Очевидно, что на расстоянии х давление будет , где – время пробега волны от излучателя до точки x. Это выражение удобнее записать, как: , где - волновое число распространения волны. Произведение - определяемый фазовый набег колебательного процесса в точке, удаленной на расстояние х от излучателя.

Подставляя полученное выражение в уравнение движения (3.1), проинтегрируем последнее относительно колебательной скорости:

(3.8)

Вообще для произвольного момента времени оказывается, что:

. (3.9)

Правая часть выражения (3.9) – характеристическое, волновое, или удельное акустическое сопротивление среды (импеданс). Само уравнение (3.), иногда, называется акустическим «законом Ома». Как следует из решения, полученное уравнение справедливо в поле плоской волны. Давление и колебательная скорость синфазны, что является следствием чисто активного сопротивления среды.

Пример: Максимальное давление в плоской волне Па. Определить амплитуду смещения частиц воздуха по частоте ?

Решение: Так как , тогда:

, (3.10)

Из выражения (3.10) следует, что амплитуда звуковых волн очень мала, по крайней мере, в сравнении с размерами самих источников звука.

Помимо скалярного потенциала, давления и колебательной скорости звуковое поле характеризуется и энергетическими характеристиками, важнейшей из которых является интенсивность - вектор плотности потока энергии, переносимой волной за единицу времени. По определению - есть результат произведения звукового давления на колебательную скорость.

При отсутствии потерь в среде плоская волна, теоретически, может распространяться без ослабления на сколь угодно большие расстояния, т.к. сохранение формы плоского фронта свидетельствует об отсутствии «расходимости» волны, а, значит, и об отсутствии ослабления. Иначе обстоит дело, если волна обладает искривленным фронтом. К подобным волнам относят, прежде всего, сферическую и цилиндрическую волны.