Строго выпуклые игры на единичном квадрате

Функция φ(x) называется выпуклой, если для любых двух точек z₁ и z₂ из множества Z выполняется неравенство:

φ(λz₁ + (1-λ)z₂ ) λφ(z₁) + (1- λ)φ(z₂),

Если неравенство строгое, то и функция строго выпуклая (если неравенство выполняется строго, то вторая производная φ˝(z)>0).

Опр. Игра Г=<X,Y,a> называется игрой на единичном квадрате, если X=[0,1] и Y=[0,1], а целевая функция a(x,y) определена для каждой точки этого квадрата.

Опр. Игра Г на единичном квадрате называется непрерывной, если функция платежей a(x,y) непрерывна в каждой точке единичного квадрата по обеим переменным.

Опр. Непрерывная антагонистическая игра на единичном квадрате называется выпуклой, если функция a(x,y) строго выпукла по Y для всех x X. Иными словами, для функции платежей в строго выпуклой игре имеет место неравенство:

a(x, λy₁ + (1-λ)y₂) < λ a(x,y₁) + (1- λ) a(x,y₂), .

Исходя из свойств строгой выпуклости, .

Теорема. В строго выпуклой игре на единичном квадрате 2-ой игрок имеет единственную оптимальную стратегию, которая является чистой. Цена игры в этом случае v(a), где а — функция платежей.

v(a) = = , где y* — оптимальная чистая стратегия 2-го игрока.

Х* — множество стратегий 1-го игрока, состоящее из тех х* Х*, для которых выполняется условие a(x*,y*) = v(a).

х* — тоже чистые стратегии, они называются существенными стратегиями, а остальные – несущественными.

Нахождение существенных стратегий 1-ого игрока основано на выполнении следующих свойств.

1. Если y*=1, то у 1-го игрока существует стратегия х₁, для которой

.

Геометрическое истолкование:

При уменьшении y a(x,y) возрастает.

2. Если y*=0, то среди стратегий 1-го игрока существует такая стратегия х₂, что , y=y*.

3. Если имеется значение стратегии 0<y*<1, то у 1-го игрока найдутся 2 существенные стратегии х₁ и х₂,для которых имеет место условие

, y=y* , y=y*

Наиболее оптимальной стратегией 1-ого игрока является вероятностная смесь стратегий х₁ и х₂, причем х₁ — с вероятностью р, х₂ — с вероятностью (1-р).

— уравнение, позволяющее определить р.

Доказывается, что решение этого уравнения единственно и принадлежит интервалу .

Пример. Пусть имеется игра Г=<X,Y,a>, x,y [0,1], функция выигрыша a(x,y) = (x-y)².

1). Рисуем график функции платежей (выигрыша):

2). Проверим функцию платежей на выпуклость.

Функция платежей строго выпукла по у. Имеем дело со строго выпуклой игрой на единичном квадрате.

Найдем v=v(a). Для этого рассмотрим функцию:

.

Построим таблицу:

y*=0.5

v(a)=0.25

Отсюда видим, что в нашем случае 0<y*<1, а следовательно, у 1-го игрока есть две существенные стратегии: х₁ и х₂. Для их нахождения рассмотрим зависимость

v(a)=a(x,y*)=(x-y*)²=(x-0.5)²=0.25

x₁=0, x₂=1 — две существенных чистых стратегии 1-го игрока.

Проверим, что эти решения действительно являются существенными стратегиями (проверка на противоположность производных).

следовательно, оптимальная стратегия 1-го игрока есть вероятностная смесь по стратегиям х=х₁ и х=х_2. Найдем эти вероятности.

p=0.5

Покажем, что найденное решение является точкой равновесия. Рассмотрим проигрыши 2-ого игрока при оптимальной стратегии 1-ого:

a(x*,y) = p*(x₁ - y)² + (1-p*)(x₂ - y)² = 1/2(-y)² + 1/2(1-y)² , y, следовательно минимум 1/4.

a(x,y*) — выигрыш 1-ого игрока при условии, что 2-ой примет свою оптимальную чистую стратегию.