X — множество стратегий статистика, аналогичное множеству стратегий в антагонистических играх. Если множество X — дискретное, X = (x 
,…, x 
), тогда можно рассматривать множество ситуаций и множество выигрышей статистика в этих ситуациях: (x 
, z 
), i = 
, j = 
П = (a 
) n*m
Эта функция П называется функцией потерь. Значение функции потерь позволяет игроку 1 (статистику) принимать предпринимать правильные действия.
Пример: Задача о яйцах и креме.
| Состояние яйца | ||
| Действие | Z1 - хорошее | Z2- испорченное |
| долить в остальные 5 яиц, x1 | крем из 6 яиц | крема нет, загублено 5 хороших яиц |
| вылить разбитое яйцо на блюдце для контроля, x2 | крем из 6 яиц, но надо мыть посуду (блюдце) | крем из 6 яиц, надо мыть блюдце "с отвращением" |
| выбросить яйцо, не глядя, x3 | крем из пяти яиц, загублено 1 яйцо | крем из 5 яиц |
Если каким-либо образом оцифровать описание ситуации в виде значений функций потерь, то получим игру с природой.
В описании игры с природой наблюдается полная аналогия с антагонистической игрой. Статистик может принимать чистые стратегии x 
X и их вероятностные оценки p = p(x ) P, (X, P) — пространство стратегий статистика.
А = (a ), i = ; j =
X = 
,…, 
, m — чистые стратегии статистика;
n — чистые состояния природы;
Z = 
,…, 
Если используются смешанные стратегии, то каждому из состояний чистой стратегии сопоставляется значение p , i = . Определим вероятность использования смешанных стратегий.
x~ 
,…, 
q~ 
,…, 
— вероятность состояний природы.
Если эти вероятности известны, то можно определить сравнительные вероятности статистика в этой игре:
M[S 
, S 
] = 
a *p *q
S — множество (X*P)
S — множество (Z*Q)
p = 
; q = 
M[S , S ] = p 
*A*q
Задачу статистика в этой игре можно определить как нахождение такого S 
, при котором его выигрыш M[S , S ] 
max. Эта стратегия S может быть как чистой, так и смешанной.
|
|
Исходя из этого, в матрице платежей (a ) можно рассматривать доминирующие и доминируемые стратегии.
Доминирование по строкам и доминирование по столбцам теряет смысл, т. к. природа не выиграет и не проиграет, её безразлично её состояние.
С учётом этого матрица платежей X = ,…, не в полной мере характеризует достоинства и недостатки каждой стратегии игроков.
Используют другую форму описания игры, которая более полно отражает степень удачливости в выборе игроков. Одним из таких показателей является матрица рисков:
A = 
Номер столбца матрицы совпадает с состоянием природы, номер строки характеризует стратегию игрока. B = max a — максимальный выигрыш статистика при данном состоянии природы j.
R = (r ), i = , j =
r = B - a — разница между максимальным выигрышем и выигрышем, который получит статистик, выбирая стратегию x .
Матрица рисков: R = 
. В матрице рисков хотя бы один из элементов в каждом столбце должен равняться нулю.
Пример: А = 
; R = 
Если условием выбора стратегии является максимум среднего выигрыша, то по матрице рисков R min. Если же вероятности состояния природы известны (q ), то условие максимума среднего выигрыша и условие минимума среднего риска дают одни и те же стратегии.
Если V 
= 
; V 
= max V или r = 
; r =min r , то решение будут одинаковыми.
Пример: Матрица платежей: А = 
; q = (0,2; 0,5; 0,3)
V 
= 1*0,2+ 3*0,5+ 1*0,3 = 2
V 
= 2*0,2+ 0,5+ 1,2 = 2,1
V = 2,1; V 
является предпочтительной стратегией: она даёт больший средний выигрыш x .
R = 
r = 0,2+ 0,9 = 1,1
|
|
r = 1 x — риск минимален.
О вероятностях состояния природы в лучшем случае известны их некоторые оценки q’. На практике достоверность этих оценок является слишком низкой для того, чтобы использовать их при оценке качества выбора решений статистика.
В таких условиях лучше:
1. Не пользоваться этими оценками и для выбора решения использовать критерий, который не пользуется понятием вероятности состояния природы;
2. Cчитать все состояния природы равновероятными q = 1/n, i= .
Критерий, позволяющий принять задачу выбора решения, называется критерием выбора решений при неопределённости.