Апостериорные распределения вероятности.

Предположим, имеется априорная информация о состоянии природы q(z). Далее проведем единичный эксперимент, в результате которого произошел один из возможных исходов эксперимента . Очевидно, правильно поставленные эксперименты должны уточнять состояние природы по сравнению с его априорной информацией. Это уточнение определяется как условная вероятность:

.

Полная вероятность исхода у: .

При дискретном состоянии :

.

Рассмотрим пример определения апостериорной информации:

«Задача о технологическом контроле».

z	q(z)
	0,6	0,25	0,6	0,15	0,15	0,36	0,09	0,88	0,86	0,22
	0,4	0,05	0,15	0,8	0,02	0,06	0,32	0,12	0,14	0,78
P(y)=	0,17	0,42	0,41

Эта таблица позволяет повысить значение апостериорных вероятностей.

Знание апостериорных вероятностей состояния природы позволяет воспользоваться принципом максимального правдоподобия для принятия соответствующей чистой стратегии. При этом знание апостериорных вероятностей состояния природы позволяет принимать то состояние, которое является наиболее согласованным с опытными данными. Рассмотрим этот принцип подробнее.

Принцип максимального правдоподобия.

Данный метод очень часто используют для выбора решения в двух альтернативных задачах. Задачу можно сформулировать следующим образом: имеются два состояния природы и можно принять два решения в каждом из этих состояний. Для каждого исхода эксперимента можно определить отношение правдоподобия:

.

Если , определяемая таким образом, больше k, то принимается решение ;

Если <k, то принимается решение ;

Если =k, то решения равнозначны.

Проиллюстрируем данный принцип на следующем примере:

«Задача РЛС (РЛС — радиолокационная станция)».

Индикатор кругового обзора (сигнал на мониторе) может появиться в 2 случаях:

- в контролируемом секторе появилась цель и есть отметка;

- цели нет, но есть отметка за счет помех (ложная цель).

В данной задаче существуют 2 состояния природы:

— цель есть, — цели нет.

Принимают решение:

— цель есть, — цель отсутствует.

При реализации данных решений могут быть допущены ошибки:

— “ложная тревога” (цели нет — ошибка первого рода );

— пропуск цели (ошибка 2 рода ).

Определение байесовских решений с

Использованием апостериорных вероятностей.

Если в результате проведения единичного эксперимента произошел конкретный исход , то, по-видимому, для этого исхода и следует решать задачу по выбору решения. Это можно проделать, посчитав апостериорные вероятности состояния природы z при исходе y: .

При этом известно, что Z — множество состояний природы, X — возможные решения. Такая задача отличается от задачи без эксперимента тем, что вместо апостериорных вероятностей природы используются априорные вероятности, то есть .

Используя аналогию этой задачи можно определить средние значения потерь статистика: .

Байесовский принцип выбора стратегий сводится к тому, чтобы выбрать такое , при котором .

Рассмотрим байесовский принцип на примере двуальтернативной задачи: