Если игра не имеет седловой точки, то возникают затруднения в определении цены игры и оптимальных стратегий игроков. Рассмотрим, например, игру:
B(y) 
В этой игре 
и 
. Следовательно, первый игрок может гарантировать себе выигрыш, равный 4, а второй может ограничить свой проигрыш 5. Область между 
и 
является как бы ничейной и каждый игрок может попытаться улучшить свой результат за счет этой области. Каковы же должны быть в этом случае оптимальные стратегии игроков?
Если каждый из игроков применяет отмеченную звездочкой стратегию (
и 
), то выигрыш первого игрока и проигрыш второго будут равны 5. Это невыгодно второму игроку, так как первый выигрывает больше, чем оно может себе гарантировать. Однако если второй игрок каким-либо образом раскроет замысел первого о намерении использовать стратегию , то он может применить стратегию 
и уменьшить выигрыш первого до 4. Правда, если первый игрок раскроет замысел второго применить стратегию , то, используя стратегию 
, он увеличит свой выигрыш до 6. Таким образом, возникает ситуация, когда каждый игрок должен хранить в секрете ту стратегию, которую он собирается использовать. Однако, как это сделать? Ведь если партия играется многократно и второй игрок применяет все время стратегию , то первый игрок скоро разгадает замысел второго и, применив стратегию , будет иметь добавочный выигрыш. Очевидно, что второй игрок должен менять стратегию в каждой новой партии, но делать это он должен так, чтобы первый не догадался, какую стратегию применит он в каждом случае.
Секретность можно сохранить, если каждый раз выбирать стратегию случайным образом, используя для этого какой-либо механизм случайного выбора.
|
|
Для механизма случайного выбора выигрыши и проигрыши игроков будут случайными величинами. Результат игры в этом случае можно оценить средней величиной проигрыша второго игрока. Вернемся к примеру. Так, если второй игрок использует стратегию и случайным образом с вероятностями 0.5; 0.5, то при стратегии первого игрока среднее значение его проигрыша будет:
,
а при стратегии первого игрока
.
Следовательно, второй игрок может ограничить свой средний проигрыш значением 4,5 независимо от стратегии, применяемой первым игроком.
Таким образом, в ряде случаев оказывается целесообразным не намечать заранее стратегию, а выбирать ту или иную случайным образом, используя какой-либо механизм случайного выбора. Стратегию, основанную на случайном выборе, называют смешанной стратегией, в отличие от намеченных стратегий, которые называются чистыми стратегиями.
Дадим более строгое определение чистых и смешанных стратегий.
Пусть имеется игра 
без седловой точки:
. Обозначим частоту использования чистой стратегии 
первого игрока через 
, 
(вероятность использования i-ой стратегии). Аналогично обозначим частоту использования чистой стратегии 
второго игрока через 
, 
(вероятность использования j-ой стратегии). Для игры с седловой точкой существует решение в чистых стратегиях 
. Для игры без седловой точки существует решение в смешанных стратегиях, то есть когда выбор стратегии осуществляется на основании вероятностей. Тогда
— множество чистых стратегий 1-го игрока;
— множество смешанных стратегий 1-го игрока;
|
|
— множество чистых стратегий 2-го игрока;
— множество смешанных стратегий 2-го игрока.
Рассмотрим пример: пусть имеется игра 
Второй игрок выбирает вероятность 
. Оценим средний проигрыш второго игрока при применении им стратегий 
и 
соответственно:
.
Если первый применяет свою стратегию 
, а второй будет применять свою стратегию 
, то 
будет определять средний выигрыш первого игрока:
, 
.
В общем случае игры 
выигрыш первого игрока и проигрыш второго будет определен:
,, 
, 
, 
.
Опр.: Игра 
называется смешанным расширением игры 
.
Выигрыш первого игрока в смешанном расширении игры равен проигрышу второго игрока.