(Пример)
| Цель изучения дисциплины | Целями освоения дисциплины «Функциональный анализ» являются: - изучение структуры множества суммируемых функций; - построение теории интеграла Лебега и изучение его свойств; -изучение метрических и топологических пространств; - изучение банаховых пространств; - применение результатов функционального анализа к исследованию интегральных уравнений; - выявление существующей связи между собой ряда теорем классического математического анализа, отобразив их на основные принципы функционального анализа; - изучение основ теории обобщенных функций. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата (магистратуры) | Дисциплина является одной из основных дисциплин базовой (общепрофессиональной) части профессионального цикла учебного плана подготовки бакалавра по направлению 01.03.01. «Математика». Дисциплина «Функциональный анализ» является логическим продолжением курса математического анализа и действительного анализа. Для ее изучения необходимы базовые знания курсов математического анализа, аналитической геометрии и алгебры. Данная дисциплина является предшествующей для изучения следующих дисциплин: «Теория вероятностей и математическая статистика», «Математические методы в экономике», «Теория игр», «Макроэкономика», «Статистика» и др. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Компетенции, формируемые в результате освоения учебной дисциплины | Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций: ОК-7- способность к самоорганизации и самообразованию; ОПК-1 - готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности; ПК-1 - способность к определению общих форм и закономерностей отдельной предметной области; ПК-2- способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание постановок классических задач математики; ПК-3- способность строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Содержание дисциплины | Раздел 1. Возникновение функционального анализа как самостоятельного раздела математики.Современное развитие функционального анализа и его связь с другими областями математики. Раздел 2. Метрические и топологические пространства: множества, алгебра множеств. Счетные множества и множества мощности континуум. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества Компактные множества в метрических пространствах. Критерий Хаусдорфа. Полнота и пополнение.Теорема о стягивающихся шарах. Принцип сжимающих отображений. Топологические пространства. Раздел 3. Мера и интеграл Лебега: Построение меры Лебега на прямой. Общее понятие аддитивной меры. Лебеговское продолжение меры. Измеримые функции и их свойства. Определение интеграла Лебега. Класс суммируемых функций. Предельный переход под знаком интеграла. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана. Интеграл Стилтьеса. Теорема Радона-Никодима. Прямое произведение мер и теорема Фубини. Пространства L1, Lp (p>1). Неравенства Гельдера и Минковского. Раздел 4. Банаховы пространства: Определение линейного нормированного пространства. Банаховы пространства. Сопряженное пространство, его полнота. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала. Общий вид линейных функционалов в некоторых банаховых пространствах. Линейные операторы, норма оператора. Сопряженный оператор, обратный оператор, спектр и резольвента. Теорема Банаха об обратном операторе. Компактные операторы. Компактность интегральных операторов. Понятие об индексе. Теорема Фредгольма. Примеры использования теоремы Фредгольма. Раздел 5. Гильбертовы пространства: Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ортогональные системы. Неравенство Бесселя. Базисы и гильбертова размерность. Теорема об изоморфизме. Ортогональное дополнение. Общий вид линейного функционала. 40. Самосопряженные и унитарные операторы. Ортопроекторы. Теорема Гильберта о компактных эрмитовых операторах. Функциональное исчисление. Приведение оператора к виду умножения на функцию. Спектральная теорема. Неограниченные самосопряженные операторы. Примеры. Раздел 5. Линейные топологические пространства и обобщенные функции: Полинормированные пространства. Функционал Минковского. Нормируемость и метризуемость. Топологии в сопряженном пространстве. Слабая компактность в сопряженном пространстве. Основные пространства гладких функций. Пространства обобщенных функций. Операции над обобщенными функциями. Преобразование Фурье. Раздел 6. Элементы линейного анализа. Слабый и сильный дифференциал нелинейного функционала. Экстремум функционала. Классические задачи вариационного исчисления. Вторая вариация. Условия Лежандра и Якоби. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Знания, умения и навыки, получаемые в процессе изучения дисциплины | В результате изучения дисциплины студент должен: - знать: основные определения и понятия теории, уметь приводить их иллюстрирующие примеры и контрпримеры. Знать признаки и критерии упомянутых множеств. Понимать значение банаховского принципа неподвижной точки в применении его к классическим теоремам существования. Знать процесс построения меры Лебега посредством продолжения ее с полукольца множеств на наименьшее кольцо, порожденное этим полукольцом. Знать определение и свойства интеграла Лебега на множествах конечной меры.. Знать свойства пространства всех ограниченных линейных операторов и три основные теоремы функционального анализа: теорему Хана-Банаха, теорему Банаха-Штеингауза, а также теорему Банаха об обратном операторе. Понимать значение компактных операторов в теории Рисса о решении линейных операторных уравнений в банаховых пространствах. Знать основные факты теории гильбертовых пространств и теории линейных векторных пространств; - уметь: работать с открытыми, замкнутыми, компактными и ограниченными множествами в метрических пространствах. Уметь находить норму ограниченного линейного оператора в линейных нормированных пространствах. Уметь находить решения линейных операторных уравнений в банаховых пространствах. - владеть:способами ориентации в профессиональных источниках информации (журналы, сайты, образовательные порталы и т.д.); способами взаимодействия с другими субъектами образовательного процесса; различными средствами коммуникации в профессиональной педагогической деятельности. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Объем дисциплины и виды учебной работы |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Используемые ресурсы информационно-телекоммуникационной сети «Internet», информационные технологии, программные средства и информационно-справочные системы | В ходе обучения используются средства для обеспечения коммуникации, которые включают несколько форм: электронную почту, Internet. При помощи этих средств преподаватель и обучаемые совместно используют информацию, сотрудничают в решении общих проблем, публикуют свои идеи или комментарии, участвуют в решении задач и их обсуждении. Возможности использования электронной почты: С помощью электронной почты преподаватель может немедленно распространить ответы на наиболее часто возникающие вопросы; С помощью электронной почты обучаемые могут посылать текущие отчеты о выполнении домашних заданий, презентациях и т.д.; Возможность использования Internet: Специфика технологий Internet заключается в том, что они предоставляют обучаемым и педагогу огромные возможности выбора источников информации, необходимой в образовательном процессе: Размещение базовой и дополнительной информации, необходимой для учебного процесса, на сайте кафедры Размещение ссылок на разнообразные базы данных ведущих библиотек, информационных, научных и учебных центров Используется стандартное программное обеспечение (MSExcel и др. (заполняется в соответствии с требованиями направления подготовки, особенностями учебной дисциплины). Просьба не копировать! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Формы текущего и рубежного контроля | Групповые дискуссии, тесты, домашние задания, презентации, рефераты (заполняется в соответствии с требованиями направления подготовки, применяемыми образовательными технологиями, ФОС).Просьба не копировать! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Форма промежуточного контроля | 5 семестр – зачет; 6, 7 семестр - экзамен |
Приложение 5
Макет программы практики