Функциональные узлы РЭС представляют собой планарные конструкции. Поэтому основной расчетной моделью узлов является прямоугольная пластина при определенных условиях закрепления на сторонах.
Расчет частоты свободных колебаний прямоугольных пластин производится на основе следующих допущений:
- изгибные деформации пластины при вибрации по сравнению с ее толщиной малы, упругие деформации подчиняются закону Гука;
- пластина имеет постоянную толщину, нейтральный слой пластины не подвержен деформациям растяжения-сжатия;
- материал пластины идеально упругий, однородный и изотропный;
- все прямые, нормальные к поверхности нейтрального слоя до деформации, остаются прямыми и нормальными к ней после деформации.
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний пластины имеет вид
(7.1)
где z = z(x,y, t) — виброперемещение пластины, определяемое в точке с координатами х, у; т — масса пластины; D=Eh3/12(1-ε2) — жесткость пластины на изгиб (цилиндрическая жесткость); Е, ε - соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала; h - толщина пластины.
Точное решение уравнения (7.1) получено для свободных колебаний прямоугольных однородных пластин, две противоположные стороны которых свободно опираются, при любом закреплении двух других сторон.
В случае свободного опирания всех сторон частота свободных коле-
баний пластины может быть найдена по формуле
ω0 = π2[(i/a)2 + (j/b)2] 
,
где i,j - число полуволн синусоиды, укладывающихся вдоль сторон пластины; a,b - размеры сторон; ρ - плотность материала пластины. Реальные конструкции функциональных узлов, приводимые к расчетным моделям пластины, по основным параметрам не соответствуют требованиям однородной пластины, а разновидность внутренних структур конструкций РЭС ведет к многообразию краевых условий пластин. Поэтому для расчета частоты свободных колебаний функциональных узлов, как правило, используются соотношения, полученные в результате приближенного решения уравнения (7.1) по методу Рэлея или по методу Ритца.
|
|
Согласно методу Рэлея частота свободных колебаний ω0 определяется в результате сопоставления выражений для кинетической и потенциальной энергий колебаний системы. Метод позволяет учесть нагружение платы функционального узла установленными на ней элементами и получить соотношение для расчета частоты свободных колебаний пластины, справедливое при любых краевых условиях.
Формула Рэлея, позволяющая найти частоту свободных колебаний основного тона нагруженной пластины, имеет вид
(7.2)
где α1 - коэффициент, характеризующий зависимость частоты свободных колебаний пластины от краевых условий; a - большая сторона пластины; тэ,т0 - приведенные к площади пластины массы элементов и самой пластины.
Коэффициент α1 вычисляется через отношение сторон пластины β=a/b. Формулы для расчета α1 приведены в табл. 7.1. На схемах закрепления пунктирной линией обозначено свободное опирание стороны пластины, штриховкой — жесткое закрепление.
Выражение (7.2) обеспечивает удовлетворительную точность лишь при расчете частоты свободных колебаний основного тона. С ростом номера тона точность результатов расчета существенно снижается.
С помощью метода Ритца, являющегося развитием метода Рэлея, получены формулы расчета частот свободных колебаний пластины на основном тоне и обертонах для различных краевых условий. Широкое применение находит формула
|
|
(7.3)
где αi - коэффициент, зависящий от способа закрепления пластины, соотношения ее сторон и номера тона колебаний; т - масса пластины, приведенная к площади; КЭ - коэффициент, учитывающий нагрузку пластины размещенными на ней элементами.
Значение αi. находят в результате решения дифференциального уравнения колебаний прямоугольной пластины при заданных краевых условиях. Для определенных комбинаций краевых условий и отношений сторон пластины αi - табулирован.
Для упрощения процедуры расчета круговой частоты свободных колебаний пластины основного тона формула (7.3) преобразуется к виду:
(7.4)
где 
- частотная постоянная; a - большая сторона пластины, мм; 
- поправочный коэффициент на материал пластины; Е, Е с - модули упругости материала пластины и стали; ρ, ρс - их плотности; 
- поправочный коэффициент на нагружение пластины равномерно размещенными на ней элементами; т э - масса элемента; тП - масса пластины.
Значения частотной постоянной С для некоторых схем закрепления пластины приведены в табл. 7.2.
Таблица 7.2
| Условия на сторонах | Значение частотной постоянной С | ||||||||
| a/b= 0,1 | a/b= 0,2 | a/b= 0,5 | a/b= 1,0 | a/b= 1,5 | a/b= 2,0 | a/b= 2,5 | a/b= 3,0 | a/b= 4,0 | |
| 23,1 52,0 52,1 0,08 0,5 | 23,8 52,4 52,6 0,3 2,1 | 28,6 55,3 57,2 2,04 12,9 | 45,8 67,3 83,8 8,2 51,9 | 74,4 90,9 141,4 18,4 115,8 | 114,5 127,6 228,7 32,6 207,6 | 166,0 176,9 343,7 51,0 324,4 | 228,9 238,8 458,4 73,5 467,1 | 389,3 396,7 847,6 130,6 816,6 |
Обозначенные цифрами в табл. 7.2 условия на сторонах пластины имеют следующее смысловое содержание:
|
|
1 – все стороны пластины свободно опираются;
2 – короткие стороны жестко защемлены, длинные – свободно опираются;
3 – все стороны пластины жестко защемлены;
4 – одна из длинных сторон пластины жестко защемлена, остальные – свободны;
5 – длинные стороны пластины жестко защемлены, короткие – свободны.
Построение расчетных моделей функциональных узлов производится на основе анализа реальных конструкций и выявления характерных особенностей, оказывающих существенное влияние на динамические процессы при вибрации. Ниже приводятся примеры моделирования некоторых конструкций функциональных узлов.
Узел, выполненный на печатной плате, закрепляемой в четырех точках по углам (рис. 7.1,а), представляют расчетной моделью пластины, равномерно нагруженной радиоэлементами, со свободным опиранием всех сторон (рис. 7.1,6). Принятый способ закрепления обосновывается тем, что при изгибных колебаниях основного тона на каждой стороне пластины укладывается полуволна, узлы перемещения совпадают с точками крепления платы. Поэтому наличие точек закрепления не сказывается на параметрах колебаний.
Расчетной моделью узла на печатной плате с размерами сторон а и b, закрепленной в шести точках по контуру (рис. 7.2, а), служит прямоугольная пластина с размерами сторон а/2, и b, свободно опирающаяся по контуру, с равномерно распределенной нагрузкой (рис. 7,2, б).
Основной тон свободных колебаний определяется полуволной, укладывающейся вдоль сторон α/2 и b пластины.
Конструкция функциональной ячейки блока разъемного типа (рис. 7.3, а) может быть представлена расчетной моделью в виде нагруженной прямоугольной пластины с жестким закреплением двух сторон, на которых установлены контрольная колодка 3 и электрический соединитель 2, и свободным опиранием двух других сторон (рис. 7.3, б). Принятая схема закрепления обосновывается тем, что электрический соединитель и контрольная колодка по сравнению с печатной платой имеют значительно большую жесткость на изгиб, а расстояние между стенками направляющих, с помощью которых плата устанавливается в блоке, в большинстве случаев существенно превышает толщину печатной платы.
Каркасные конструкции функциональных ячеек (печатная плата закреплена на рамке по контуру) обычно моделируют пластиной с жестким закреплением всех сторон.