Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода





Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

Под фигурой Ω будем понимать ограниченное замкнутое тело с вкл. гран. Множ. Диаметр d фигурыΩ будем называть максимальное из расстояний между двумя точками этой фигуры . Для эллипса – большая ось. Под мерой ω для плоской фигуры и поверхности будем понимать площадь S, для линии – длину линии, для пространственного тела объём.

Определённый интеграл по фигуре Ω от заданной на ней функции f(p) называется предел n-интегральной суммы, когда . В случае когда фигура плоск. обл.Д, интеграл называется двойным.

Масса фигуры переменной плотности

. Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

,

если подынтегральная функция , , задает

плотность линейная распределения поверхностная ( )

массы по объемная ( )

в зависимости от размерности фигуры, , ,
на .

Геометрический смысл ДИ (двойного интеграла)

Вычислим V цилиндрического тела. Сверху ограниченного поверхностью z=f(x,y) проекция поверхности на плоскость xoy =>область Д и цилиндр. образующ. кот. // oz

Разобьем область Д на n-цилиндрических тел основаниями которых будут элементы области ∆ . Возьмём произвольную точку в области ∆ и h-z=f ( ), тогда ∆ =f( )* ∆ , a V ≈ =>

V=

Двойной интеграл – V цилиндрического тела с основанием Д ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y)

Замечания: 1. Если объём ограниченный сверху z=f(x,y), снизу z=f1(x,y), то V=
2. Если f(x,y)≤0 неопред. в области Д, то ДИ от этой функции = V цилиндрического тела взятому со знаком «-»

Геометрический смысл Кр И -1

1. Дугу кривой или в пространстве XOYZ разбиваем на nмалых частей точками M0=A, M1,…,Mn=B; обозначаем длины хорд , (Рис. 13)

2. Вычисляем значения функции f (x,y,z) в произвольно выбираемых точках на i-той части разбиения и умножаем их на соответствующие длины хорд Δli: ,

3. Составляем интегральную сумму

и вычисляем её предел при λ → 0, где – это ранг разбиения.

4. Если предел интегральной суммы существует, является конечным и не зависит ни от способа разбиения дуги (l) на элементарные части, ни от выбора на них точек , то он называется криволинейным интегралом I рода от функции

f (x, y, z) по линии l:

Свойства определённого интеграла по фигуре

пусть функция f(p) непрерывна на фигуре Ф т.е. ОИ по фигуре Ф существует, тогда выполняются следующие свойства:

1. f1(p)∓f2pdw= f1pdw∓ f2pdw

2. kf(p)dw=k f(p)dw

3. если фигуру Ф разбить на конечное число частей, то интеграл равен сумме частей интегралов.

4. если dw=w ,

то dl=l , ds=s,d σ=σ, dv=v

5. если f1(p)<f2(p), то f1pdw< f2pdw

6. /f(p)dw/≤ /f(p)/dw

7. оценка интеграла по фигуре. Если m и M наибольшее и наименьшее значение функции f(p) на фигуре Ф, то mw f(p)dw≤Mw

8. (о среднем значении) если функция f(p) непрерывна на Ф с

мерой w, то найдется точка Р∈Ф, то f(p)dw= (Po)w

Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода

волинейный интеграл легко сводится к определенному интегралу. Примем за параметр длину дуги отсчитываемую от точки А по кривой получим параметрическое представление кривой где

длина дуги Пусть в (25.3) промежуточным точкам

соответствует т.е. Тогда

Последняя сумма является интегральной для определения интеграла т.е.

(25.4)

Эта формула доказывает существование криволинейного интеграла 1 рода от функции (х,у), непрерывной в D, если D — непрерывная кусочно-гладкая кривая.

Рассмотрим формулы для вычислений криволинейного интеграла в следующих случаях:

а) х = x(t), у = y{t), где x{t) и y{t) непрерывно

дифференцируемы на тогда (см. разд. 18.3)

т.е. из (25.4) имеем

Формула может быть обобщена на пространственный случай, т.е. если х = x(t), у = y(t), z = z(t), непрерыв-

на в D, В, тогда

Аналогично записывается формула для большего числа переменных.

 





Читайте также:
Основные направления социальной политики: В Конституции Российской Федерации (ст. 7) характеризуется как...
Историческое сочинение по периоду истории с 1019-1054 г.: Все эти процессы связаны с деятельностью таких личностей, как...
Средневековье: основные этапы и закономерности развития: Эпоху Античности в Европе сменяет Средневековье. С чем связано...
Зачем изучать экономику?: Большинство людей работают, чтобы заработать себе на жизнь...

Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь
0.03 с.