Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)
Под фигурой Ω будем понимать ограниченное замкнутое тело с вкл. гран. Множ. Диаметр d фигурыΩ будем называть максимальное из расстояний между двумя точками этой фигуры. Для эллипса – большая ось. Под мерой ω для плоской фигуры и поверхности будем понимать площадь S, для линии – длину линии, для пространственного тела объём.
Определённый интеграл по фигуре Ω от заданной на ней функции f(p) называется предел n-интегральной суммы, когда 
. В случае когда фигура плоск. обл.Д, интеграл называется двойным.
Масса фигуры переменной плотности
. Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)
,
если подынтегральная функция 
, 
, задает
плотность 
линейная 
распределения поверхностная (
)
массы по 
объемная (
)
в зависимости от размерности фигуры, 
, , 
на .
Геометрический смысл ДИ (двойного интеграла)
Вычислим V цилиндрического тела. Сверху ограниченного поверхностью z=f(x,y) проекция поверхности на плоскость xoy =>область Д и цилиндр. образующ. кот. // oz
Разобьем область Д на n-цилиндрических тел основаниями которых будут элементы области ∆ 
. Возьмём произвольную точку 
в области ∆ и h-z=f (), тогда ∆ 
=f()* ∆ , a V ≈ 
=>
V= 
Двойной интеграл – V цилиндрического тела с основанием Д ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y)
Замечания: 1. Если объём ограниченный сверху z=f(x,y), снизу z=f1(x,y), то V= 
2. Если f(x,y)≤0 неопред. в области Д, то ДИ от этой функции = V цилиндрического тела взятому со знаком «-»
Геометрический смысл Кр И -1
1. Дугу кривой  или  в пространстве XOYZ разбиваем на n малых частей точками M 0= A, M 1,…, Mn = B; обозначаем длины хорд  , (Рис. 13)
| 
|
2. Вычисляем значения функции f (x, y, z) в произвольно выбираемых точках 
на i -той части разбиения и умножаем их на соответствующие длины хорд Δ li: 
, 
3. Составляем интегральную сумму
и вычисляем её предел при λ → 0, где 
– это ранг разбиения.
4. Если предел интегральной суммы существует, является конечным и не зависит ни от способа разбиения дуги (l) на элементарные части, ни от выбора на них точек 
, то он называется криволинейным интегралом I рода от функции
f (x, y, z) по линии l:
|
Свойства определённого интеграла по фигуре
пусть функция f(p) 
непрерывна на фигуре Ф т.е. ОИ по фигуре Ф существует, тогда выполняются следующие свойства:
1. 
f1(p)∓f2pdw= f1pdw∓ f2pdw
2. kf(p)dw=k f(p)dw
3. если фигуру Ф разбить на конечное число частей, то интеграл равен сумме частей интегралов.
4. если 
dw=w ,
то 
dl=l, 
ds=s,d σ=σ, 
dv=v
5. если f1(p)<f2(p), то f1pdw< f2pdw
6. 
/f(p)dw/≤ /f(p)/dw
7. оценка интеграла по фигуре. Если m и M наибольшее и наименьшее значение функции f(p) на фигуре Ф, то mw ≤ f(p)dw≤Mw
8. (о среднем значении) если функция f(p) непрерывна на Ф с
мерой w, то найдется точка Р ∈Ф, то f(p)dw= (Po)w
Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода
волинейный интеграл 
легко сводится к определенному интегралу. Примем за параметр длину дуги 
отсчитываемую от точки А по кривой 
получим параметрическое представление кривой 
где 
—
длина дуги 
Пусть в (25.3) промежуточным точкам 
соответствует 
т.е. 
Тогда
Последняя сумма является интегральной для определения интеграла 
т.е.
(25.4)
Эта формула доказывает существование криволинейного интеграла 1 рода от функции 
(х,у), непрерывной в D, если 
D — непрерывная кусочно-гладкая кривая.
Рассмотрим формулы для вычислений криволинейного интеграла в следующих случаях:
а) 
х = x(t), у = y{t), 
где x{t) и y{t) непрерывно
дифференцируемы на 
тогда (см. разд. 18.3)
т.е. из (25.4) имеем
Формула может быть обобщена на пространственный случай, т.е. если 
х = x(t), у = y(t), z = z(t), 
непрерыв-
на в D, 
В, тогда
Аналогично записывается формула для большего числа переменных.