• Главная
• Избранное
• Популярное
• Новые добавления
• Случайная статья

Вычисление статических моментов фигуры

статические моменты фигуры на плоскости. Пусть в декартовой системе координат на плоскости задана фигура, ограниченная кривыми , x = a, x = b и для x I [a; b] .

Если плотность постоянна (r = 1), то статические моменты фигуры относительно осей координат выражаются формулами:

;

.

Пример 3. Вычислить статический момент фигуры, ограниченной линиями относительно оси ОХ.

Решение. Кривые пересекаются в точках (0;0) и (1;1). На отрезке xI [0,1] выполняется неравенство , поэтому

.

Вычисление координат центра тяжести фигуры

ентр тяжести фигуры, заданной на плоскости, имеет координаты

,

где – статические моменты фигуры относительно осей координат; S – площадь фигуры.

Пример 5. Определить координаты центра тяжести области, ограниченной первой аркой циклоиды x = a(t – sint), y = a(1 – cost), , a > 0 и осью ОХ.

Решение. Вычислим площадь фигуры и статические моменты:

;

;

.

Подставив полученные результаты в формулы, найдем координаты центра тяжести:

.

Вычисление моментов инерции фигуры

Момент инерции фигуры можно вычислять относительно плоскостей, осей координат и начала координат:

,

здесь есть квадрат расстояния точки , , до
соответствующего объекта. Например, если или , – плотность распределения массы по фигуре , то

, , –

моменты инерции материальной фигуры относительно соответствующей координатной плоскости;

, , –

моменты инерции материальной фигуры относительно соответствующей оси координат;

– момент инерции материальной
фигуры относительно начала координат.

Кр И-2, определение, вычисление, свойства, связь с Кр И-1, физический смысл

Если существует конечный предел при интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).

2 При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

Вычисление

Связь между криволинейными
интегралами 1 и 2 рода.

В

Зададим касательный вектор движения по прямой

,

А

,а этот интеграл является интегралом первого типа.

Аналогично определим криволинейный интеграл второго рода в .

Рассмотрим векторное поле , для которого является радиус вектором, тогда

, и

Кривая L задается системой .

По определению:

,

а это криволинейный интеграл второго рода в пространстве. Независимость от выбора параметра доказывается также, как и в

Пусть

r

F( x,y ) = (f(x,y),g(x,y)) − сила, действующая на материальной точку М(x,y) ориентированной кривой L

r

ванной кривой L. Тогда работа, совершаемая силой F(x,y ) при перемещении точки М вдоль

ориентированной кривой L, равна

W = ∫ f ( x,y)dx + g(x,y)dy.

Формула Грина

Если D - односвязная область, то (граница области D) - простая замкнутая кривая, обход по которой совершается против часовой стрелки. Если D - неодносвязна, то - совокупность замкнутых кривых, обход по которым совершается так, что D остается слева.

Поиск по сайту: