статические моменты фигуры на плоскости. Пусть в декартовой системе координат на плоскости задана фигура, ограниченная кривыми 
, x = a, x = b 
и для x I [ a; b ] 
.
Если плотность постоянна (r = 1), то статические моменты фигуры относительно осей координат выражаются формулами:
;
.
Пример 3. Вычислить статический момент фигуры, ограниченной линиями 
относительно оси ОХ.
Решение. Кривые 
пересекаются в точках (0;0) и (1;1). На отрезке xI [0,1] выполняется неравенство 
, поэтому
.
Вычисление координат центра тяжести фигуры
ентр тяжести фигуры, заданной на плоскости, имеет координаты
,
где 
– статические моменты фигуры относительно осей координат; S – площадь фигуры.
Пример 5. Определить координаты центра тяжести области, ограниченной первой аркой циклоиды x = a (t – sin t), y = a (1 – cos t), 
, a > 0 и осью ОХ.
Решение. Вычислим площадь фигуры и статические моменты:
;
;
.
Подставив полученные результаты в формулы, найдем координаты центра тяжести:
.
Вычисление моментов инерции фигуры
Момент инерции фигуры можно вычислять относительно плоскостей, осей координат и начала координат:
,
здесь 
есть квадрат расстояния точки 
, 
, до
соответствующего объекта. Например, если 
или 
, 
– плотность распределения массы по фигуре 
, то
, 
, 
–
моменты инерции материальной фигуры относительно соответствующей координатной плоскости;
, 
, 
–
моменты инерции материальной фигуры относительно соответствующей оси координат;
– момент инерции материальной
фигуры относительно начала координат.
Кр И-2, определение, вычисление, свойства, связь с Кр И-1, физический смысл
Если существует конечный предел при 
интегральной суммы 
, не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается
|
|
.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).
2 При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:
Вычисление 
Связь между криволинейными
интегралами 1 и 2 рода.
В
Зададим касательный вектор движения по прямой
, 
А
,а этот интеграл является интегралом первого типа.
Аналогично определим криволинейный интеграл второго рода в 
.
Рассмотрим векторное поле 
, для которого 
является радиус вектором, тогда
, и
Кривая L задается системой 
.
По определению:
,
а это криволинейный интеграл второго рода в пространстве. Независимость от выбора параметра доказывается также, как и в 
Пусть
r
F(x,y) = (f(x,y),g(x,y)) − сила, действующая на материальной точку М(x,y) ориентированной кривой L
r
ванной кривой L. Тогда работа, совершаемая силой F(x,y) при перемещении точки М вдоль
ориентированной кривой L, равна
W = ∫ f (x,y)dx + g(x,y)dy.
Формула Грина
Если D - односвязная область, то 
(граница области D) - простая замкнутая кривая, обход по которой совершается против часовой стрелки. Если D - неодносвязна, то - совокупность замкнутых кривых, обход по которым совершается так, что D остается слева.