Свойства степенных рядов





Отметим здесь, без доказательства, три важных свойства степенных рядов.

1.Сумма степенного ряда

(2)

является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости .

2.Ряд

, (4)

полученный почленным дифференцированием ряда (2), является степенным рядом с тем же, что и ряд (2), интервалом сходимости . Сумма ряда (4) .

Замечание. Ряд (4) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна , и так далее. Таким образом, сумма ряда (2) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости . Сумма ряда полученного из ряда (2) – кратным дифференцированием, равна . Область сходимости степенного ряда при дифференцировании не изменится.

3. Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости ряда (2). Тогда имеет место равенство

(5)

Формула трапеций Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников Подынтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную. Геометрически площадь криволи нейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций.

Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в ряд Тейлора

Ряд Тейлора.Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, z0D. Обозначим L окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, . Представим множитель в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: (так как | zz0| < | tz0| , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , так как . Итак, .
Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана
Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, z0D, то функция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (zz0)n. Этот ряд абсолютно сходится к f(z) внутри круга | zz0| < r, где r - расстояние от z0 до границы области D (до ближайшей к z0 точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.
Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.

Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора

Рассмотрим задачу, обратную поставленной в разд. 30.4. Пусть функция бесконечно дифференцируема в т. Составим для

нее ряд Тейлора. Его сумма не всегда будет совпадать с функцией Например, функция бесконечно дифференцируема при х = 0, причем поэтому для нее ряд

Маклорена Его сумма при х 0. Выясним, при каких условиях

О: Многочленом Тейлора степени п называется частичная сумма

Остаточным членом ряда Тейлора называется

(30.8)

Т: Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в т. функция являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора (30.6), необходимо и достаточно, чтобы

Используя определение сходящегося ряда и выражение (30.8), имеем следующую цепочку: — сумма (30.6)

Приведем запись остаточного члена в форме Лагранжа [4. С. 168]:

(30.9) где находится между и х.





Читайте также:
Развитие понятия о числе: В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах...
Основные признаки растений: В современном мире насчитывают более 550 тыс. видов растений. Они составляют около...
Методы лингвистического анализа: Как всякая наука, лингвистика имеет свои методы...
Методы исследования в анатомии и физиологии: Гиппократ около 460- около 370гг. до н.э. ученый изучал...

Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь
0.01 с.