Вычисление ДИ в декартовых координатах





Вычисление ДИ в полярных координатах

Пусть область D записывается системой неравенств в полярных координатах:

Такая область называется правильной в полярной системе координат, если каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках.

По определению .

Т. к. значение двойного интеграла не зависит от способа разбиения области D на элементарные части, то сделаем это разбиение координатными линиями полярной системы координат (лучами из полюса и концентрическими окружностями).

Переведенный в полярные координаты двойной интеграл сведен к повторному по имеющейся записи области D неравенствами для переменных и . В результате получаем формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах:

.

Обратите внимание, что в правой части формулы присутствует множитель - это якобиан (определитель Якоби) преобразования, который находится следующим образом:

 

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть в трехмерной области V пространства OXY задана функция . Разобьем произвольным образом область V на элементарные подобласти , в каждой подобласти зафиксируем произвольную точку ( ) и составим трехмерную интегральную сумму .

Тройным интегралом от функции по ограниченной области V называется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров элементарных областей , если этот предел не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек :

.

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла и одного однократного либо к вычислению трех повторных интегралов. Если область V ограничена сверху поверхностью , снизу поверхностью , с боков – прямым цилиндром, вырезающим на плоскости OXY область D, то .

Рис. 9

С помощью тройного интеграла объем тела, изображенного на рис. 9, вычисляют по формуле: .

Вычисление Тройного интеграла в цилиндрических координатах

Рассмотрим цилиндрическую систему координат: Оrφz, которая совмещена с декартовой системой координат Оxyz(рис. 2.19).

При этом

Вычислим Якобиан перехода от декартовой системы к цилиндрической:

Следовательно,

Тогда тройной интеграл примет вид:

Вычисление тройного интеграла в сферических координатах

Рассмотрим сферическую систему координатОρΘφ, совмещённую с декартовой системой Оxyz. При этом максимальные пределы изменения сферических координат таковы: 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ ∞

Из рис. 2.21 нетрудно вывести следующие формулы, связывающие декартовые и сферические координаты:

с помощью которых получим Якобиан преобразования:

Таким образом, переход к сферическим координатам в тройном интеграле осуществляется по формулам:

Вычисление ПИ-1

Поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности S определяется следующим образом:

где частные производные и равны

а означает векторное произведение. Вектор перпендикулярен поверхности в точке .

Абсолютное значение называется элементом площади: оно соответствует изменению площади dS в результате приращения координат u и v на малые значения du и dv (рисунок 1).





Читайте также:
Тест мотивационная готовность к школьному обучению Л.А. Венгера: Выявление уровня сформированности внутренней...
Основные научные достижения Средневековья: Ситуация в средневековой науке стала меняться к лучшему с...
Конфликтные ситуации в медицинской практике: Наиболее ярким примером конфликта врача и пациента является...
История русского литературного языка: Русский литературный язык прошел сложный путь развития...

Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь
0.012 с.