Разложение в ряд Маклорена простейших функций




(1+ x) m =1+ + + +

+…+ .

Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям: а) вычисление значений функции; б) вычисление ОИ; в) решение диф. Уравнений

Функции

Продемонстрируем описанный метод на примере уравнения Кеплера

y = a + x sin y,

играющего важную роль в астрономии. Здесь y - эксцентрическая аномалия планеты, a - ее средняя аномалия, x - эксцентриситет орбиты планеты. Считая y неизвестной функцией от x, будем искать ее в виде

y = c0 + c1x + c2x2 + _

Разложив sin y по формуле (5) в ряд Тейлора по степеням y и подставив вместо y ряд (6), после возведения этого ряда в степени и приведения подобных членов получим

Из этого равенства, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, найдем последовательно неизвестные

и саму функцию

Доказано, что это разложение верно при | x | < < 0,6627_

2 Требуется вычислить интеграл: .

Разложим подынтегральную функцию в ряд:из равенства получаем

это сходящийся ряд и мы его можем интегрировать почленно:

Пусть a=0,8, тогда

 

3 приближенного решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. Не вдаваясь в сложные теоретические обоснования, рассмотрим дифференциальное уравнение Бесселя

x2y" + xy' + (x2 - n2)y = 0,

где n - постоянная (необязательно целая), x - независимая переменная, а y = y(x) - искомая функция. Решения этого уравнения, называемые функциями Бесселя, нашли применение практически во всех областях современного естествознания.

Будем искать y в виде обобщенного степенного ряда

где p, ak - неизвестные постоянные, причем a0? 0. Дифференцируя этот ряд дважды под знаком суммы, подставим выражения функции y и ее производных y', y" в уравнение (7). Затем сделаем приведение подобных членов, и коэффициенты полученного ряда приравняем нулю. После этого получим бесконечную систему уравнений

a0(p2 - n2) = 0, a1[(p + 1)2 - n2] = 0, ak[(p + k)2 - n2] + ak - 2 = 0, k = 2, 3, 4, _,

откуда находим p =? n, a1 = a3 = a5 = _ = 0,

В случае нецелого n функции y1(x) и y2(x), соответствующие значениям p = n и p = - n, являются линейно-независимыми и любое другое решение дифференциального уравнения (7) имеет вид y = c1y1(x) + + c2y2(x), где c1, c2 - постоянные. В случае целого n эти функции отличаются друг от друга только постоянным множителем, поэтому определяют лишь одно из двух линейно-независимых решений дифференциального уравнения.

50 Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье функций заданных на [- ], [0,2 ], [-l,l], а также чётных и нечётных функций, функций заданных на [0, ]

Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда

Этот ряд может быть также переписан в виде .

Где Ak — амплитуда k -го гармонического колебания,

— круговая частота гармонического колебания,

θ k — начальная фаза k -го колебания, k -я комплексная амплитуда

Пусть f (x) - четная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = f (x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

= ; =

= 0 , где n =1,2,...

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2 L выглядит так: Пусть теперь f (x) - нечетная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = - f (x). Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: , где n =1,2,...Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2 L выглядит так:

Если функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то , где ,

, ,

Рядом Фурье для функции в интервале называется тригонометрический ряд

, (6)

где коэффициенты ряда , , (n =1, 2, 3,…) вычисляются по формулам Фурье:

; (n =1, 2, 3,…); (n =1, 2, 3,…). (9)

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2023 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: