(1+ x) m =1+ 
+ 
+ 
+
+…+ 
.
Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям: а) вычисление значений функции; б) вычисление ОИ; в) решение диф. Уравнений
Функции
Продемонстрируем описанный метод на примере уравнения Кеплера
y = a + x sin y,
играющего важную роль в астрономии. Здесь y - эксцентрическая аномалия планеты, a - ее средняя аномалия, x - эксцентриситет орбиты планеты. Считая y неизвестной функцией от x, будем искать ее в виде
y = c0 + c1x + c2x2 + _
Разложив sin y по формуле (5) в ряд Тейлора по степеням y и подставив вместо y ряд (6), после возведения этого ряда в степени и приведения подобных членов получим
Из этого равенства, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, найдем последовательно неизвестные
и саму функцию
Доказано, что это разложение верно при | x | < < 0,6627_
2 Требуется вычислить интеграл: 
.
Разложим подынтегральную функцию в ряд:из равенства 
получаем 
это сходящийся ряд и мы его можем интегрировать почленно:
Пусть a=0,8, тогда
3 приближенного решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. Не вдаваясь в сложные теоретические обоснования, рассмотрим дифференциальное уравнение Бесселя
x2y" + xy' + (x2 - n2)y = 0,
где n - постоянная (необязательно целая), x - независимая переменная, а y = y(x) - искомая функция. Решения этого уравнения, называемые функциями Бесселя, нашли применение практически во всех областях современного естествознания.
Будем искать y в виде обобщенного степенного ряда
где p, ak - неизвестные постоянные, причем a0? 0. Дифференцируя этот ряд дважды под знаком суммы, подставим выражения функции y и ее производных y', y" в уравнение (7). Затем сделаем приведение подобных членов, и коэффициенты полученного ряда приравняем нулю. После этого получим бесконечную систему уравнений
a0(p2 - n2) = 0, a1[(p + 1)2 - n2] = 0, ak[(p + k)2 - n2] + ak - 2 = 0, k = 2, 3, 4, _,
откуда находим p =? n, a1 = a3 = a5 = _ = 0,
В случае нецелого n функции y1(x) и y2(x), соответствующие значениям p = n и p = - n, являются линейно-независимыми и любое другое решение дифференциального уравнения (7) имеет вид y = c1y1(x) + + c2y2(x), где c1, c2 - постоянные. В случае целого n эти функции отличаются друг от друга только постоянным множителем, поэтому определяют лишь одно из двух линейно-независимых решений дифференциального уравнения.
50 Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье функций заданных на [- 
], [0,2 
], [-l,l], а также чётных и нечётных функций, функций заданных на [0, ]
Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда
Этот ряд может быть также переписан в виде 
.
Где Ak — амплитуда k -го гармонического колебания,
— круговая частота гармонического колебания,
θ k — начальная фаза k -го колебания, 
— k -я комплексная амплитуда
Пусть f (x) - четная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = f (x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
= 
; 
= 
= 0 
, где n =1,2,...
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2 L выглядит так: 
Пусть теперь f (x) - нечетная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = - f (x). Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: 
, где n =1,2,...Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2 L выглядит так: 
Если функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке 
то 
, где 
,
, 
,
Рядом Фурье для функции 
в интервале 
называется тригонометрический ряд
, (6)
где коэффициенты ряда 
, 
, 
(n =1, 2, 3,…) вычисляются по формулам Фурье:
; 
(n =1, 2, 3,…); 
(n =1, 2, 3,…). (9)