Правила округления результатов и погрешностей измерений:
1. Результат измерения округляют до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасывают до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности
Пример. Результат 4,0800, погрешность 0,001. Решение. Результат округляют до 4,080
2. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остальные цифры числа не изменяют. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают.
Пример. Число 174437 при сохранении четырех значащих цифр должно быть округлено до 174400, число 174,437 — до 174,4.
3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу.
Пример. При сохранении трех значащих цифр число 12567 округляют до 12600, число 125,67 до 126.
4. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней — неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.
Пример. Число 232,5 при сохранении двух значащих цифр округляют до 232, а число 233,5 до 234.
5. Погрешность результата измерения указывают двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной — если первая цифра равна 3 или более.
6. Округление результатов измерений производят лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками
Если руководствоваться этими правилами округления, то количество значащих цифр в числовом значении результата измерений дает возможность ориентировочно судить о точности измерения. Это связано с тем, что предельная погрешность, обусловленная округлением, равна половине единицы последнего разряда числового значения результата измерения.
Погрешности измерений:
Основная задача физических измерений состоит в том, чтобы дать оценку истинного значения измеряемой величины и определить погрешность измерения.
Результаты измерений принято записывать в следующей форме:
Хизм = á Х ñ ± Dx,
где Хизм - измеряемая физическая величина, Х - оценка её истинного значения, Dx - абсолютная погрешность.
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ – отклонение результата измерения Х от истинного значения Хи измеряемой величины:
(1.1.)
О точности измерения удобно судить по относительной погрешности. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ – отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:
(1.2.)
Если абсолютная погрешность измерения не известна, то относительная погрешность равна:
(1.3)
где 
– это первая значащая цифра числа a, n – общее число значащих цифр в этом числе.
ПРИВЕДЕНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ – отношение абсолютной погрешности измерительного прибора к нормирующему значению ХN. Приведенную погрешность также выражают в процентах
(1.4)
ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ – качество измерения, отражающее близость его результата к истинному значению измеряемой величины.
(1.5.)
ПОПРАВКА – равна систематической погрешности по величине и обратна ей по знаку 
.
Х = Х п+ 
, (1.6)
где Х п – значение ФВ снятое с прибора.
ЦЕНА ДЕЛЕНИЯ ШКАЛЫ:
…..(1.7)
где С – цена деления; Хк – конечное значение; N – полное число делений на шкале прибора.
…..(1.8)
где n – порядковый номер деления.
Формулы для оценки абсолютной и относительной погрешности для значения функции и переменных
Пример 1.
1. Температура в масляном термостате измеряется образцовым палочным стеклянным термометром и поверяемым парогазовым термометром. Первый показал 111 °С, второй 110 °С. Определите истинное значение температуры, погрешность поверяемого прибора, поправку к его показаниям и оцените относительную погрешность термометра.
| Дано: t1 = 111°С t2 = 110°С | Решение:
1. Истинное значение – это показания образцового прибора, т.е. t = 111°С.
2. Погрешность поверяемого прибора:
Δ= t д- t и,
где t д – действительное значение, t и – истинное значение.
Δ= 110 °С – 111 °С = –1 °С.
3. Поправка – это погрешность измерения, взятая с обратным знаком: ∇ x = +1°С.
4. Относительная погрешность термометра:
Ответ: t = 111°С;Δ= – 1°С; ∇= +1°С; δ = 0,9%.
|
| Найти: tи, Δ, ∇, δ |
Пример 2.
Погрешность измерения одной и той же величины, выраженная в долях этой величины: 1×10-3 – для одного прибора; 2×10-3 – для другого. Какой из этих приборов точнее?
| Дано: Δ 1 = 1·10-3 Δ 2 = 2·10-3 | Решение:
Точности характеризуются значениями, обратными погрешностям,
т.е. для первого прибора это 1/(1×10-3) = 1000, для второго 1/(2×10-3) = 500; 1000>500. Следовательно, первый прибор точнее второго в 2 раза.
Ответ: точнее первый.
|
Найти:
|
ВАРИАНТЫ
1.1. Определите относительную погрешность измерения в начале шкалы (для 30 делений) для прибора с абсолютной погрешностью равной 0,5, имеющего шкалу 100 делений. Насколько эта погрешность больше погрешности на последнем – сотом делении шкалы прибора?
1.2. Используя линейку с максимальной длиной 30 см, измерили два объекта контроля: l1 = 12 мм и l2 = 255 мм. Измерение какого объекта более точное? Ответ обоснуйте математическим неравенством.
1.3. При измерении времени в беге на 100 м использовался электронный секундомер с относительной инструментальной погрешностью 0.2 %. Ответьте, можно ли говорить о том, что показанный результат 8,70 с является новым рекордом, если время действующего рекорда было равно (8,745 ± 0.001) с. Ответ обоснуйте математическим неравенством.
1.4. На бензоколонке заливают бензин с абсолютной систематической погрешностью Δ = – 0,1 л при каждой заправке. Вычислите относительные погрешности, возникающие при покупке 16 л и 40 л бензина. Определите выгоду от приобретения в течение года 1360 литров по цене 18 руб./л при покупках по 16 л по сравнению с покупкой по 40 л.
1.5. При измерении длины используется метровая линейка с коэффициентом линейного расширения α = 10-5 м/ºС. Вычислите дополнительные максимальные абсолютные погрешности линейки, связанные с изменением температуры в диапазоне от –40 до +40 ºС, если линейка была изготовлена при температуре +20 ºС.
1.6. В цепь с сопротивлением R = 49 Ом и источником тока с Е = 10 В и R вн = 1 Ом включили амперметр сопротивлением R I = 1 Ом. Определите показания амперметра I и вычислите относительную погрешность d его показания, возникающую из-за того, что амперметр имеет определенное сопротивление, отличное от нуля; классифицируйте погрешность.
1.7. К зажимам элементов с Е = 10 В и r = 1 Ом подсоединим вольтметр с сопротивлением Rи = 100 Ом. Определите показания вольтметра и вычислите абсолютную погрешность его показания, возникновение которой обусловлено тем, что вольтметр имеет не бесконечно большое сопротивление; классифицируйте погрешность.
1.8. Какое средство измерения толщины изделия с волнистостью 0,035 мм является оптимальным для однократного измерения: штангенциркуль (цена деления 0,05 мм) или микрометр (цена деления 10 мкм)? Ответ обоснуйте математическим неравенством.
1.9. Измеряется мощность трехфазного тока двумя ваттметрами. Какова наибольшая погрешность измерения, если стрелка первого ваттметра показывает 120 делений и погрешность этого прибора не более 0,5%, а стрелка второго ваттметра показывает 40 делений и погрешность прибора 1%.
1.10. Двумя пружинными манометрами на 600 кПа измерено давление воздуха в последней камере компрессора. Один манометр имеет погрешность 1% от верхнего предела измерений, другой 4%. Первый показал 600 кПа, второй 590 кПа. Назовите действительное значение давления в камере, оцените возможное истинное значение давления, а также погрешность измерения давления вторым манометром.
Практическое занятие №2