Промежуточные результаты расчета коэффициента корреляции

№ п/п	xi		()2	yi		()2	()()
		-7			-7
		-7			-6
		-6			-5
		-5			-5
		-5			-4
		-4			-3
		-4			-3
		-2			-2
		-1			-2
		-1			-1
		-1			-1
					-1
сумма

Рассчитываем величину коэффициента корреляции по формуле:

Вывод: коэффициент корреляции Пирсона близкий по значению к 1 и положительный – между анализируемыми признаками имеется чёткая линейная зависимость.

Таким образом, визуальный анализ корреляционных полей помогает разобраться в сущности корреляционной взаимосвязи, позволяет высказать предположение о наличии, направленности и тесноте связи. Но точно сказать, имеется связь между признаками или нет, линейная связь или криволинейная, тесная связь или слабая, с помощью этого метода нельзя. Наиболее точным методом выявления и оценки линейной взаимосвязи между признаками является метод определения корреляционных показателей по выборочным данным.

Анализ взаимосвязи ранжированных признаков

Если неизвестен закон распределения признака, т. е. не производилось предварительной проверки рассматриваемых совокупностей на нормальность распределения, следует проверить наличие связи еще и по коэффициенту корреляции Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена используется в случаях, когда переменные имеют ранговую шкалу измерения; распределение данных слишком отличается от нормального или вообще неизвестно; выборки имеют небольшой объём (n < 30).

Для этого необходимо перевести результаты исследования (теста) в баллы. На практике для этого используют ранжирование.

Ранжирование - расстановка элементов системы по признакам значимости, масштабности. Ранжирование данных может производиться по возрастанию или убыванию выделенного признака, при этом различают два следующих случая.

1. Среди объектов нет одинаковых по сравниваемым показателям, т.е. нет эквивалентных объектов (отношение строгого порядка). Составляется упорядоченная последовательность, где объект с первым номером является наиболее предпочтительным из всех объектов, объект со вторым номером менее предпочтителен, чем первый, но предпочтительнее всех остальных и т.п.

2. Для эквивалентных объектов назначают одинаковые ранги, равные среднему арифметическому значению рангов, им присваиваемых (табл. 12). Такие ранги называют связанными.

Таблица 12

Связанные ранги

Связанные ранги могут оказаться дробными числами. Сумма рангов N объектов равна сумме натуральных чисел от 1 до N (комбинации связанных рангов не изменяют эту сумму).

В таблице 12 ранги объектов «Б» и «К» равны:

Ранги 1-го теста _{Б, К} = (4 + 5)/2 = 4,5.

Аналогично рассуждая, для объектов «Г» и «И»:

Ранги 1-го теста _{Г, И} = (7 + 8)/2 = 7,5.

Далее производится расчёт коэффициента ранговой корреляции.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.

Практический расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает этапы:

1) Сопоставить каждому из признаков их порядковый номер (ранг) по возрастанию (или убыванию).

2) Определить разности рангов каждой пары сопоставляемых значений.

3) Возвести в квадрат каждую разность и суммировать полученные результаты.

4) Вычислить коэффициент корреляции рангов по формуле:

где - сумма квадратов разностей рангов, n - число парных наблюдений.

В формуле расчета корреляции Пирсона используется среднее арифметическое и стандартное отклонение коррелируемых рядов, а в формуле Спирмена не используется. Таким образом, для получения адекватного результата по формуле Пирсона, необходимо, чтобы коррелируемые ряды были приближены к нормальному распределению (среднее и стандартное отклонение являются параметрами нормального распределения). Для формулы Спирмена это не актуально. Мощность коэффициента ранговой корреляции Спирмена несколько уступает мощности параметрического коэффициента корреляции.

Рассчитаем коэффициент ранговой корреляции для данных примера 2 (табл. 11) – так как совокупность не тестировалась на нормальность распределения, для этого:

1. Определим ранги величин X и Y (первая и вторая попытки) ̶ пронумеруем стоящие в порядке возрастания значения.

2. Для совпадающих результатов тестирования рассчитаем средний ранг. Например, вариантам с номерами 9, 10 и 11 таблицы 11 соответствует одно значение выполнения физупражнения (x_i = 12), следовательно, ранг ν равен – складываем порядковые номера и делим на количество вариант.

3. Найдём разности рангов каждой пары сопоставляемых значений, возведем в квадрат (табл. 13).

Таблица 13