Стац. состояние k | Тип орбиты и её номер | Орбитальное число n | Скорость в перицентре V/n1×106 , м×с | Скорость в апоцентре V/a1·106, м×c | Перицентральный радиус r/п1×10-10, м | Апоцентральный радиус r/а1×10-10 , м |
I | Круговая | 2,186500611 | 2,186500611 | 0,529177249 | 0,529177249 | |
II | 1-я круговая 2-я эллиптическая | 1,093228498 4,080011431 | 1,093228498 0,292931642 | 2,116751219 0,283589719 | 2,116751219 3,949885269 | |
III | 1-я круговая 2-я эллиптическая 3-я эллиптическая | 0,728816306 1,908068681 4,247877841 | 0,728816306 0,278383469 0,125045849 | 4,762707838 1,212793217 0,272382215 | 4,762707838 8,312608374 9,252977104 | |
IV | 1-я круговая 2-я эллиптическая 3-я эллиптическая 4-я эллиптическая | 0,546611523 1,210882086 2,039985368 4,303484883 | 0,546611523 0,246749450 0,146464359 0,069429114 | 8,467047101 2,866620271 1,134367330 0,268862656 | 8,467047101 14,06746452 15,79969878 16,66514681 |
Продолжение табл. 5.2
Стац. состояние К | Тип орбиты и её номер | Зарядовое число, z/ | Длина большой оси орбиты ×10-10, м | Длина малой оси орбиты ×10-10, м | Полная энергия Е×10-19, Дж | Период обращения ×10-16, с |
I | Круговая | 1,000026596 | 1,058354498 | 1,058354498 | 21,78687544 | 1,520657574 |
II | 1-я круговая 2-я эллиптическая | 1,000006648 1,000013297 | 4,233502438 4,233474988 | 4,233502438 2,116737494 | 5,446501565 5,446573992 | 12,16574593 12,16558416 |
III | 1-я круговая 2-я эллиптическая 3-я эллиптическая | 1,000002954 1,000004432 1,000008865 | 9,525415676 9,525401591 9,525359319 | 9,525415676 6,350267727 3,175119773 | 2,420649477 2,420656632 2,420678093 | 41,05969589 41,05957452 41,05921049 |
IV | 1-я круговая 2-я эллиптическая 3-я эллиптическая 4-я эллиптическая | 1,000001662 1,000002216 1,000003324 1,000006648 | 16,93409420 16,93408479 16,93406611 16,93400946 | 16,93409420 12,70056359 8,467033055 4,233502366 | 1,361611812 1,361613322 1,361616339 1,361625391 | 97,32693805 97,32683021 97,32661453 97,32596751 |
Радиусы круговых орбит, перицентральные и апоцентральные радиусы эллиптических орбит можно определить по формуле
.
Эффективные зарядовые числа для электрона, движущегося по круговым орбитам, в атоме водорода определим по формуле
,
а при движении по эллиптическим орбитам по формуле
.
Длину большой оси эллипса можно вычислить по формуле (116), но проще по формуле
.
Длину малой оси находим по формуле
.
Полную энергию вычислим по формуле (125), которая для атома водорода примет вид
.
Для атома водорода формула (128) также упростится:
.
На основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы. Каждая орбита характеризуется только двумя квантовыми числами k и n. В атоме водорода зарядовое число z равно единице только для электрона, неподвижного относительно ядра. Для электронов, движущихся по орбитам, зарядовое число z/ больше единицы. У электронов, находящихся в одном стационарном состоянии, но движущихся по орбитам с разными значениями n, длины больших осей имеют разные значения и соответственно разные у них будут и полные энергии. В атоме водорода достаточно с высокой точностью экспериментально определить параметры первой боровской орбиты. Параметры остальных возможных орбит можно с той же точностью определить расчетом по вышеприведенным формулам. На рис. 5.1 изображены в масштабе возможные орбиты для четырех стационарных состояний электрона в атоме водорода.
Рис. 5.1. Орбиты электрона в атоме водорода
Атом гелия
Потенциал ионизации может быть выражен в джоулях, электронвольтах и в см-1. Уточним значения переводных множителей из см-1 в джоули и электронвольты. Потенциал ионизации водорода Е = 21,78687544×10-19 Дж = 13,59829218 эВ = 1,09677583×107 м-1. Отсюда находим
1 эв = 8,065540992×103 см-1; 1 Дж = 5,034112546×1022 см-1.
Потенциал ионизации водорода, выраженный в волновых числах, можно определить по формуле
,
а выраженный в джоулях, - по формуле
.
Поделив правую часть первого уравнения на правую часть второго уравнения и приняв во внимание, что , получим
1 Дж = или 1 эВ = .
Отсюда можно сделать вывод, что волновое число, соответствующее 1 Дж, не зависит от эффекта движения. В настоящее время при определении волнового числа, соответствующего 1 эВ, заряд электрона принят равным 1,60217733·10-19 Кл, т.е. с учетом эффекта движения. Результаты расчетов будут более точны, если волновое число, соответствующее 1 эВ, определять по формуле
1 эВ = ,
где е=1,602156024 · 10-19 Кл. В этом случае 1 эВ=8,065433735 · 103 см-1.
Теперь перейдем к расчету атома гелия. Скорость электрона на первой орбите положительного иона гелия находим по формуле (112)
V = 4,374670768×106 м×с-1.
С учетом эффекта движения
4,375136606×106 м×с-1;
=2,000212970.
По формуле (125) находим ионизационный потенциал Е=87,19702679×10-19 Дж. При расчетах значение b для гелия было принято равным 1,000136117.
Чтобы электрон в атоме гелия достиг оптического предела, требуется затратить энергию, равную 198310,76 см-1 [73] или 39,3933902×10-19 Дж. Энергетический баланс можно выразить следующим уравнением:
=39,3933902×10-19 Дж,
где V/1 и V/2 - скорости электронов на внутренней и наружной орбитах; V/1в - скорость электрона на внутренней орбите после удаления наружного электрона на последнюю из возможных орбит в атоме гелия.
Выразив скорости электронов через Vн, последнее уравнение можно записать в виде
=39,3933902·10-19 Дж. (134)
Многоэлектронный атом будет устойчив только в том случае, если периоды обращения электронов будут кратными периоду обращения электрона на самой нижней орбите. В атоме гелия период обращения наружного электрона Т2 в два раза больше периода обращения внутреннего электрона Т1. Формула (128) позволяет записать
. (135)
Выразив z через z и подставив значения других известных величин в формулу (134), находим z = 1,391442257. По формулам (108), (112) и (135) находим r = 0,380318565×10-10 м,
V = 3,043551045×106м×с-1, z =1,967796512, r =0,268925832×10-10 м, V = 4,4231167×106 м×с-1
Отношение периода обращения наружного электрона во втором стационарном состоянии к периоду[AK1] обращения электрона на внутренней орбите равно
. (136)
Приблизительное значение z можно определить по формуле
,
где Е - энергия, которая требуется для перевода наружного электрона из невозбужденного состояния в возбужденное.
Подставляя в формулу (136) значения z =1,2 и z =2, находим Х=22, . Теперь формулу (134) можно записать в виде
, (137)
где Е =38454,691 см-1 =7,63882226×10-19Дж.
Подставляя в последнее уравнение известные величины, находим z =1,204345354; z =1,997180828; V =1,31715367×106м×с-1; V =4,36850452×106м×с-1; r =1,75760656×10-10м; r =0,264969158×10-10м.
В таблице 5.3 приведены основные параметры орбит электронов в атоме гелия для трех стационарных состояний наружного электрона. Значения величин z/, l /, E, и Т были вычислены соответственно по формулам (137), (116), (125), и (128). Вычисленные значения rn, ra, Vn, Va, и b приведены в работе [72]. На рис. 5.2 изображены в масштабе орбиты электронов в атоме гелия.
Таблица 5.3